On the accuracy of the finite element solution to the steady state convection-diffusion heat transport equation in the continues steel casting problem

• Autorzy: Hadala B. , Malinowski Z.

Warianty tytułu

PL

Dokładność rozwiązania opartego o elementy skończone równania ustalonego stanu konwekcja-dyfuzja wymiany ciepła w procesie ciągłego odlewania stali

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The steady state convection-diffusion equation plays an important role in description of the heat transfer in many technical problems. Finite element method is widely used to solve such problems. However, in convection dominated problems oscillatory solutions to the temperature field have been observed. Several methods have been proposed to overcame these difficulties. One of the method is known as an upwind finite element scheme [1], other possibilities have been presented In [2]. It has been shown in [3] that in some cases upwind finite element scheme does not give any reasonable results [3]. Transient solutions give satisfactory results, however the computational time is high and in the case of three dimensional problems difficult to accept. The problem is much more complicated because good looking results may give substantial error in the temperature field determination. In the paper the accuracy of several finite element solutions to the heat transfer in the continues steel casting problem have been discussed. The heat balance in the control volume has been computed in order to assess the solutions accuracy. It turned out that Galerkin method gives solutions that may miss the heat balance by 20%. New variational formulation has been proposed to solve steady state convection-diffusion equation. The method uses Hermitian shape function and second order derivatives to the temperature field.

PL

Równanie ustalonego stanu konwekcja-dyfuzja odgrywa ważną rolę w opisie wymiany ciepła w wielu problemach technicznych. Wśród metod numerycznych, umożliwiających rozwiązanie powyższego równania, szerokie zastosowanie znalazła metoda elementów skończonych. Jednakże rozwiązanie równania w warunkach konwekcji w przypadku metody elementów skończonych nie zawsze pozwala uzyskać stabilne rozwiązania. Zaobserwowano wyniki oscylujące wokół temperatury powierzchni. Tego typu problemy próbowano pokonać poprzez zastosowanie odpowiedniej metody. Przejściowe rozwiązania pozwoliły uzyskać satysfakcjonujące wyniki, jednakże czas obliczeniowy okazał się długi i w przypadku trójwymiarowych zagadnień trudny do zaakceptowania. Jednym z istotnych problemów przy doborze odpowiedniej metody są poprawnie zinterpretowane wyniki obliczeń. Niejednokrotnie pozornie dobrze wyglądające wyniki pola temperatury są obarczone istotnym błędem. W pracy oszacowano bilans cieplny w kontrolowanej objętości w procesie ciągłego odlewania stali. Przeprowadzono dyskusję oceny dokładności rozwiązania równania ustalonego stanu konwekcja-dyfuzja przy zastosowaniu wybranych metod opartych o elementy skończone. Zaproponowano nowe wariacyjne sformułowanie umożliwiające rozwiązanie powyższego równania. W metodzie zastosowano funkcje kształtu Hermite'a.

Słowa kluczowe

EN

finite element method; heat balance; convective heat transfer

• Wydawca: Wydawnictwa AGH
• Czasopismo: Computer Methods in Materials Science
• Rocznik: 2009
• Tom: Vol. 9, No. 2
• Strony: 302--308
• Opis fizyczny: Bibliogr. 7 poz., rys.

Twórcy

autor

Hadala B.

autor

Malinowski Z.

• Department of Heat Engineering and Environment Protection Faculty of Metals Engineering and Industrial Computer science Akademia Górniczo-Hutnicza, Mickiewicza 30, 30-059 Kraków,

Bibliografia

• 1.  Heinrich,  J.C.,  Huyakorn,  P.S.,  Zienkiewicz,  O.C.,  An upwind fmite element scheme for two-dimensional convective transport equation, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 11, 1977, 131-143.
• 2.  Malinowski,    Z.,    Numeryczne    modele    w    przeróbce plastycznej   i   wymianie   ciepła,   Wydawnictwa   AGH, Kraków, 2005 (in Polish).
• 3.  Malinowski, Z., Stabilizacja algorytmu MES w rozwiązaniach zagadnienia przewodzenia ciepła w warunkach konwekcji ze źródłem ciepła, Informatyka w Technologii Materiałów, l, 2001, 135-146 (in Polish).
• 4.  Pao, C.V., Numerical Methods for Coupled System of Nonlinear Parabolic Boundary Value Problems, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 151, 1990, 581-608.
• 5.  Pao, C.V., Numerical Methods for Time-Periodic Solutions of Nonlinear Parabolic Boundary Value Problems, Journal of Numerical Analysis, 2, 2001, 647-667.
• 6.  Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., Flannery, B. P., Numerical Recipies in Fortran 77, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
• 7.  Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L., Finite Element Method Fifth   edition,   Vol.   3:   Fluid   Dynamics,   Butterworth-Heinemann, Oxford, 2000.