On derivation of maximal Spearman rho and maximal Kendall tau for bivariate distributions

• Autorzy: Kowalczyk T.

Warianty tytułu

PL

O wyznaczaniu maksymalnego rho Spearmana i maksymalnego tau Kendalla dla rozkładów dwuwymiarowych

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

Grade Correspondence Analysis (\textsf{GCA}) is the basic grade procedure introduced in 1995 and applied to many finite multivariate datasets with $m$ rows (cases) and $k$ columns (variables). There are two kinds of this procedure: one ($\textsf{GCA}_S$) maximizes Spearman $rho$ ($\rho^*$), another ($\textsf{GCA}_K$) maximizes Kendall $tau$ ($\tau$). Indices $\rho^*$ and $\tau$ in the \textsf{postGCA} distributions are denoted $\rho^*_{\max}$ and $\tau_{\max}.$ If $\rho^*=\rho^*_{\max}$ then both grade regression functions are non-decreasing; furthermore, if $\rho^*=\rho^*_{\max}$ and the distribution is totally positive dependent of order 2 (i.e., is said to be $\textsf{TP}_2$) then $\rho^*=\rho^*_{\max}$ holds iff $\tau=\tau_{\max}.$ Any bivariate distribution which is $\textsf{TP}_2$ after $\textsf{GCA}_S$ is called $\textsf{preTP}_2.$ Generally, under suitably defined regularity of positive dependence, $\textsf{GCA}_S$ improves not only strength but also regularity of positive dependence. Two first sections of the present paper remind these facts and concepts for bivariate distributions with finite probability tables; next sections extend them onto continuous distributions for which $\textsf{GCA}_S$ is a sequence of {\em increasing rearrangements} for one grade regression function after another until both are non-decreasing. This technique is illustrated in detail for the Sarmanov family of bivariate distributions, the latter being $\textsf{preTP}_2$ and closed under $\textsf{GCA}_S$: any \textsf{postGCA} Sarmanov distribution is also Sarmanov and possesses property $\textsf{TP}_2.$ Moreover, if only one grade regression function of a Sarmanov distribution is increasingly rearranged, the resulting distribution belongs to the Sarmanov family. Section 3 synthesizes the immense literature on bivariate Sarmanov distributions, Section 4 essentially extends the knowledge of strength and regularity of monotone dependence in this family. Section 5 refers to $\textsf{GCA}_K.$

PL

Gradacyjna Analiza Odpowiedniości (Korespondencji) jest podstawową gradacyjną procedurą wprowadzoną w 1995 roku i zastosowaną do wielu skończonych wielowymiarowych zbiorów danych z $m$ wierszami (obiekty) i $k$ kolumnami (zmienne). Istnieją dwa rodzaje tych procedur: jedna ($\textsf{GCA}_S$) maksymalizuje $rho$ Spearmana ($\rho^*$), druga ($\textsf{GCA}_K$) $tau$ Kendalla ($\tau$). Wskaźniki $\rho^*$ oraz $\tau$ w rozkładach \textsf{postGCA} są oznaczane $\rho^*_{\max}$ i $\tau_{\max}.$ Jeśli $\rho^*=\rho^*_{\max}$ to obie regresje gradacyjne są niemalejące; co więcej, jeśli $\rho^*=\rho^*_{\max}$ i rozkład ma własność $\textsf{TP}_2,$ czyli jest całkowicie dodatnio zależny rzędu 2, to równość $\rho^*=\rho^*_{\max}$ zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy $\tau=\tau_{\max}.$ Dowolny dwuwymiarowy rozkład który nie jest $\textsf{TP}_2$ ale zyskuje tę własność po zastosowaniu procedury $\textsf{GCA}_S,$ jest nazywany $\textsf{preTP}_2.$ Ogólnie, $\textsf{GCA}_S$ poprawia nie tylko siłę ale i regularność dodatniej zależności (przy odpowiednio wybranej procedurze pomiaru regularności). Dwie pierwsze sekcje niniejszej pracy przypominają powyżej wspomniane fakty dla dyskretnych rozkładów dwuwymiarowych, następne sekcje dotyczą rozkładów ciągłych w których $\textsf{GCA}_S$ sprowadza się do kolejnego zastosowania procedury tzw. rosnących przestawień do każdej z gradacyjnych funkcji regresji tak długo, aż obie regresje staną się niemalejące. Procedura rosnących przestawień gradacyjnej funkcji regresji zostanie zilustrowana szczegółowo na przykładzie rodziny dwuwymiarowych rozkładów Sarmanova, które są $\textsf{preTP}_2$ bądź $\textsf{TP}_2.$ Rodzina rozkładów Sarmanova jest zamknięta: dowolny rozkład Sarmanova nadal należy po $\textsf{GCA}_S$ do rodziny Sarmanova i posiada własność $\textsf{TP}_2.$ Ponadto, jeśli tylko jedna z gradacyjnych regresji zostanie zamieniona na rosnącą, to powstały rozkład będzie także należeć do rodziny Sarmanova. Sekcja 3 syntetyzuje olbrzymie piśmiennictwo na temat dwuwymiarowych rozkładów Sarmanova; sekcja 4 istotnie rozszerza wiedzę o sile i regularności zależności monotonicznej zmiennych w tej rodzinie. Sekcja 5 odnosi się do $\textsf{GCA}_K.$

Słowa kluczowe

EN

Grade Correspondence Analysis (\textsf{GCA}); increasing rearrangement; Kendall tau; maximal Spearman rho; maximal Kendall tau; textsf{postGCA} distribution; textsf{preTP}_2\ distribution; Sarmanov distribution; Spearman rho; textsf{TP}_2,

PL

gradacyjna analiza odpowiedniości; gradacyjna funkcja regresji; maksymalny wskaźnik rho Spearmana; maksymalny wskaźnik tau Kendalla; procedura rosnących przestawień; rozkład textsf{postGCA}; rodzina rozkładów Sarmanova

• Wydawca: Instytut Podstaw Informatyki PAN
• Czasopismo: Prace Instytutu Podstaw Informatyki Polskiej Akademii Nauk
• Rocznik: 2008
• Tom: nr 1011
• Strony: 1--39
• Opis fizyczny: Bibliogr. 48 poz., rys.

Twórcy

autor

Kowalczyk T.

• Instytut Podstaw Informatyki PANul. Ordona 21 01-237 Warszawa Polska,

Bibliografia

• Amblard C. and Girard S. (2002). Symmetry and dependence properties within a semiparametric family of bavariate copulas, Nonpar. Stat. 14,715-727.
• Averous J. and Dortet-Bernadet J.-L. (2000). LTD and RTI dependence orderings, The Can. J. Stat. 28,151-157.
• Bairamov I. and Kotz S. (2002). Dependence structure and symmetry of Huang-Kotz FGM distributions and their extensions, Metrika 56,55-72.
• Bairamov I, Kotz S. and Bekci M. (2001). New generalized Farlie-Gumbel-Morgenstern distributions and concomitants of order statistics, J. Appl. Statis. 28,521-536.
• Bairamov I.G., Balakrishnan and Yagci B. (2002). New Generalized Sarmanov Bivariate Distributions,
• Cambanis S. (1977). Some Properties and Generalizations of Multivariate Eyraud-Gumbel-Morgenstern Distributions, 7,551-559.
• Baker R. (2008). An order-statistics-based methodfor constructing multwariate distributions with fixed marginals, J. Mult. Analysis 99,2312-2327.
• Capéraá P. and Genest C. (1990). Concepts de dépendence et ordres stochastiques pour des lois bidimensionnelles, Can. J. Statistics 18(4), 315-326.
• Casanova Gurrera M. Desamparados (2005). Construction of Bivariate Distributions and Statistical Dependence Operations Universitat de Barcelona, Department d'Estadistica.
• Chernozhukov V., Fernandez-Val L, and Galichon A. (2007). Improving Estimates of Monotone Functions by Rearrangement Working Papers.
• Ciok A., Kowalczyk T., Pleszczyńska E., Szczęsny W. (1995). Algorithms of grade correspondence-cluster analysis, Arch. Infor. Teor. Stos. 7,5-22.
• Cohen L. and Zaparovanny Y.I. Positive quantum joint distributions, J. Math. Phys. 21,794-796.
• Cohen L. (1984). Probability distributions with given multivariate marginals, J. Math. Phys. 25 (8), 2402-2403.
• Colangelo A. (2008). A study on LTD and RTl positive dependence orderings, Stat. Prob. Letters 78,2222-2229.
• Colangelo A., Scarsini M., Shaked M. (2006). Some positive dependence stochastic orders, J. Mult. Analysis 97,46-78.
• Cuadras C.M. (2002). On the Covariance between Functions, Journal of Multivariate Analysis 81, 19-27.
• Cuadras C.M. (2002). Correspondence analysis and diagonal expansions in terms of distribution functions, J. Stat. Plan. Inf. 103,137-150.
• Cuadras C.M. (2002). Diagonal Distributions via orthogonal expansions and test of independence. In: Distributions with given marginals and Statistical Modelling. C.M. Cuadras, J. Fortiana and J.A. Rodriguez-Lallena, eds. Kluwer Ac. Pub., Dordrecht, 35-42.
• de la Pena V. H., Ibragimov R. and Sharakhmetov Sh. (2006). Characterizations of joint distributions, copulas, information, dependence and decoupling, with applications to time series, IMS Lecture Notes-Monograph Series, 2nd Lehmann Symposium - Optimality, v. 49,183-209.
• Drouet-Mari D. and Kotz S. (2001). Correlation and Dependence, Imperial College Press.
• Farlie D.J. (1960). The performance of some Correlation coefficient for a general bivariate distribution, Biometrika 47,307-323.
• Fisher M. and Klein I. (2007). Constructing generalized FGM copulas by means of certain unvariate distributions, Metrika 65,243-260.
• Huang J.S. and Kotz S. (1984). Correlation structure in iterated Farlie-Gumbel-Morgenstern distributions, Biometrika 71,633-636.
• Huang J.S. and Kotz S. (1999). Modifications of the Farlie-Gumbel-Morgenstern distributions. A tough hill to climb, Metrika 49,135-145.
• Johnson N.L. and Kotz S. (1975). On somegeneralized Farlie-Gumbel-Morgenstern distributions, Commun. Statist. Theor. Meth. 4,415-427.
• Kochar S. and Xu M. (2008). A new dependence ordering with applications, J. Mult. Analysis 99,2172-2184.
• Kowalczyk T. and Pleszczyńska E. (1977). Monotonic Dependence Functions of Bivariate Distributions, Ann. Stat. 5(6), 1221-1227.
• Kowalczyk T., Kowalski A., Matuszewski A. and Pleszczyńska E. (1980). Applications of Monotonic Dependence Functions: Descriptive Aspects, Applicationes Mathematicae XVI(4), 479-591.
•  Kowalczyk T. (2000). Linkbetween grade measures of dependence and of separability in pairs of conditional distributions, Statistics and Probability Let-ters 46,371-379.
• Kowalczyk T., Pleszczyńska E., Ruland F. (2004). Grade Models and Methods for Data Analysis, Studies in Fuzziness and Soft Computing No 151, Springer. Berlin-Heidelberg-New York, 1-477.
• Kowalczyk T. and Niewiadomska-Bugaj M. (2001). An algorithm for maximizing Kendall's tau, Comp. Stat. Data Analysis 37,181-193.
• Lancaster H.O. (1958). The Structure of Bivariate Distributions Ann. Math. Stat. 29,719-736.
• Lee M. T. (1996). Properties and applications of the Sarmanov family of bivariate distributions, Commun. Statist. - Theory Meth., 25,1207-1222.
• Lehmann E.L. (1966). Some concepts of dependence, Annals Math. Statist. 37, 1137-1153.
• Long D. and Krzysztofowicz R. (1995). A Family of Bwariate Densities Constructed From Marginals, J. Amer. Stat. Assoc. 90,739-746.
• Mehmet Yilmaz and Valcin Tuncer (2007). Convex Ordering for Bivariate Distributions, Commun. Statist. Theory Meth. 36,465-472.
• Nelsen R.B. (1994). A characterization of Farlie-Gumbel-Morgenstern distributions via Spearman's rho and chisquared dwergence, Sankhya 56,476-479.
• Nelsen R.B. (1999). An Introduction to Copulas, Springer, New York.
• Bivariate Copulas with Quadratic Sections, Nonparametric Statistics 5,323-337.
• Renyi A. (1959). On measures of dependence, Acta Mathematica X.3-4,441-451.
• Rodriguez-Lallena J.A. and Ubeda-Flores M. (2004). A new class of bivariate copulas, Stat.Prob. Letters 66,315-325.
• Ryff J.V. (1970). Measure Preserving Transformations and Rearrangements, J. Math. Anal. Applic. 31,449-458.
• Santini G. (2007). Modelling Readership Correlations, Worldwide Readership Research Symposium 2007, Vienna 2007.
• Sharakhmetov Sh. and Ibragimov R. (2002). A Characterization of joint Distribution of Two-Valued Random Variables and Its Applications, J. Mult. Analysis 33 389-408.
• Sarmanov O.B. (1958). Maximum correlation coefficient (symmetric case) Dok. Akad. Nauk SSSR120,715-718 (in Russian).
• Sarmanov O.B. (1958). Maximum correlation coefficient (non-symmetric case) Dok. Akad. Nauk SSSR 121,52-55 (in Russian).
• Sarmanoy O.B. (1966). Generalized normal correlation and two-dimensional Frechet classes, Dok. Akad. Nauk SSSR 168,596-599.
• Shubina Maria and Mei-Ling Ting Lee (2004). On Maximum Attainable Correlation and Other Measures of Dependence for the Sarmanov Family of Bivariate Distributions, Commun. Statist. - Theory Meth., 33,1031-1052.