The applications of the decomposition of the real numbers to the linear combination of three natural number's squares to the investigations of the controllability of an infinite dimensional system in the three dimensional space domain

• Autorzy: Respondek J.
• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

This article is devoted to the numerical approach in the investigations of the controllability of the infinite dimensional dynamical systems. Basing on the necessary condition of the controllability the algorithm for determining the eventual non-controllability was presented. Following this aim at first formulated the algorithms devoted for solving in the integer domain of the appropriate equation and determining the multiplicity of the eigenvalues. The outcome of all the algorithms was illustrated by the proper examples.

PL

Artykuł jest poświęcony możliwości zastosowania podejścia numerycznego w badaniach sterowalności nieskończenie wymiarowych układów dynamicznych. Jak wykazano zasadniczą trudność w rozpatrywanym układzie typu parabolicznego stanowi postać funkcji własnych. Otóż przy rosnących do nieskończoności parametrach i,j,k wartości w macierzy sterowalności (79) dążą do zera dla dowolnych funkcji wymuszających. Stanowi to oczywistą trudność w badaniu rzędu tejże macierzy z powodu skończonej reprezentacji liczb rzeczywistych w komputerze w postaci zmiennoprzecinkowej. Z tego powodu nie udało się sformułować algorytmu rozstrzygającego czy układ jest sterowalny. Zamiast tego w oparciu o konieczny warunek sterowalności (85) udało się zaprezentować algorytm stwierdzający ewentualną niesterowalnośc układu. W tym celu konieczny był algorytm wyznaczający krotnośc wartości własnych (76). Sformułowano go korzystając z wcześniej sformułowanego i udowodnionego twierdzenia 1służącego rozwiązywaniu w liczbach całkowitych równania o obu stronach postaci identycznej, z dokładnością do stałego czynnika, jak wzór wyrażający wartości własne(76), i tym samym znajdującego wielokrotne wartości własne. Dokładną krotność wartości własnych wyznaczono w kolejnym algorytmie, którego poprawność udowodniono w oparciu o odpowiednie twierdzenia kombinatoryki . Na koniec zwiększono elastyczność wspomnianego wcześniej algorytm służący stwierdzeniu ewentualnej niesterowalności badanego układu dynamicznego poprzez dynamiczne zwiększanie kresu górnego dziedziny równania 2 i wyeliminowanie w tym celu kolejnego obliczania wcześniej znalezionych rozwiązań. Sprostanie temu celowi wymagało przebudowania pozostałych algorytmów znajdujących krotności wartości własnych. Działanie każdego z algorytmów zaprezentowano na przykładzie jednego układu dynamicznego.

• Wydawca: Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Polskiej Akademii Nauk
• Czasopismo: Archiwum Informatyki Teoretycznej i Stosowanej
• Rocznik: 2003
• Tom: T. 15, z. 2
• Strony: 143--167
• Opis fizyczny: Bibliogr. 23 poz., rys.

Twórcy

autor

Respondek J.

• Instytut Informatyki, Politechnika Śląska, ul. Akademicka 16, 44-100 Gliwice, Poland

Bibliografia

• [1] Aho A. V., Hopcroft J. E., Ullman J. D.: Projektowanie i analiza algorytmów komputerowych. Warszawa, PWN 1983
• [2] Butkowskij A. G.: Charakteristiki sistiem s raspriedieliennymy parametrami, sprawocznoje posobie, Nauka, Moskwa 1979. Glawnaja Redakcja fizyko-matematiczeskoj literatury.
• [3] Fichtencholtz M.: Kurs differiencialnowo i integralnowo iscislenia. Moskwa 1979, Nauka, Gławnąja Redakcja fizyko-matematiczeskoj literatury.
• [4] Kaczorek T.: Teoria sterowania. Warszawa, PWN 1977
• [5] Kaczorek T.: Wektory i macierze w automatyce i elektrotechnice. Warszawa, WNT 1998
• [6] Klamka J.,: Controllability of dynamical systems. Kluwer, Dordrecht, 1991 
• [7] Kudrewicz J.:, Analiza funkcjonalna dla automatyków i elektroników. PWN, Warszawa 1976
• [8] Mitkowski W.: Stabilizacja systemów dynamicznych. WNT, 1991
• [9] Mostowski A., M. Stark M,: Elementy algebry wyższej. Warszawa, PWN 1972 110] Ralston A.: Wstęp do analizy numerycznej. Warszawa, PWN 1975
• [10] Respondek J.: Controllability of dynamical systems with constrained controls. ZN Pol. Śl. seria Automatyka z. 138
• [12] Respondek J.: Controllability of dynamical systems with damping term and constrained controls. ZN Pol. Śl, seria Automatyka z. 138
• [13] Respondek J.: The Analisys of Controllability of a Mechanical System With Distributed Parameters. ZN Pol. Śl, seria Automatyka z. 138
• [14] Respondek J.: Znajdowanie par liczb całkowitych generujących równe sumy kwadratów w kombinacji liniowej. Studia Informática, vol. 4(56), 2003
• [15] Respondek J.: Problemy numeryczne związane z badaniem sterowalności układu parabolicznego w obszarze prostokątnym, Studia Informática, vol. 4(56), 2003
• [16] Sierpiński W.: Arytmetyka teoretyczna. Warszawa. PWN 1968
• [17] Sneddon N.: Równania różniczkowe cząstkowe. Warszawa. PWN 1962
• [18] Tanabe H.:. Equations of evolution.Pitman, London. 1979
• [19] Wilkinson J. H.: “Błędy zaokrągleń w procesach algebraicznych. Warszawa, PWN 1967
• [20] Wirth N.: Algorytmy + struktury danych = programy.Warszawa, WNT 1989
• [21] Wróblewski J.: O równych sumach dwóch kwadratów. Delta 2/2002 str 17 (in polish )
• [22] msdn.microsoft.com
• [23] www.ieee.com