Uogólnienie metody rzutowania naprzemiennego

• Autorzy: Dylewski R.

Warianty tytułu

EN

Generalized relaxed alternating projection method

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

W artykule przedstawiono różne modyfikacje metody rzutowania naprzemiennego (alternating projection method), wprowadzonej przez von Neumanna. Metody te służą do wyznaczania punktu ze zbioru A i punktu ze zbioru B takich, że jest odległością między zbiorami A i B. Wprowadzono uogólnienie prezentowanych metod projekcyjnych, które gwarantuje zbieżność także w przypadku, gdy przekrój zbiorów A i B jest pusty i odległość między zbiorami jest nieznana. W wielu praktycznych problemach mamy taką sytuację, np. w zagadnieniu tomografii komputerowej i zagadnieniu planowania radioterapii.

EN

In the paper there is presented modification of the von Neumann method of alternating projection (AP-method) where A and B are closed and convex subsets of The problem of finding and with if this infimum is attained is dealt with. It is known that in case of the sequence ( ) generated by the AP-method converges weakly to a fixed point of the operator of alternating projection [1]. If the distance is known, one can efficiency apply a modifica-tion of the von Neumann method, which has the form for (relaxation parameter) and (step size) depending on (RAP-method - relaxed alternating projection method) [3]. In this paper the authors propose a generalization of the RAP-method (GRAP-method - generalized relaxed alternating projection method), where it is not supposed that the value (Section 2) is known. Instead of , there is applied its approximation for (with changeable level parameter ) which is updated in each iteration (Section 3). The GRAP-method is also a generalization of the modified relaxed alternating projection method (MRAP-method) [6]. In Section 4 there are presented the results of numerical tests for two problems: (P1), where A, B are closed and convex subsets (Table 1) and (P2), where A is a closed and affine subspace, B is a closed and convex subset (Table 2). The preliminary numerical experiments confirm practical applicability of the GRAP-method even in case when the distance is unknown. These experiments show the superiority of the GRAP-method with respect to the RAP-method, if is unknown.

Słowa kluczowe

PL

metoda rzutowania naprzemiennego; sterowanie poziomem

EN

alternating projection method; level control

• Wydawca: Wydawnictwo PAK
• Czasopismo: Pomiary Automatyka Kontrola
• Rocznik: 2011
• Tom: R. 57, nr 6
• Strony: 679--682
• Opis fizyczny: Bibliogr. 10 poz., tab., wzory

Twórcy

autor

Dylewski R.

• Uniwersytet Zielonogórski, ul. Licealna 9, 65-417 Zielona Góra,

Bibliografia

• [1] Bauschke H. H., Borwein J.: Dykstra’s alternating projection algorithm for two sets, J. Approx. Theory, 79, ss. 418-443, 1994.
• [2] Deutsch F.: The method of alternating orthogonal projections, Approximation Theory, Spline Functions and Applications, Kluwer Academic Publ., The Netherlands, 105-121, 1992.
• [3] Cegielski A., Suchocka A.: Relaxed alternating projection methods, SIAM J. Optimization., 19, ss. 1093-1106, 2008.
• [4] Gurin L. G., Polyak B. T., Raik E. V.: The method of projection for finding the common point in convex sets, USSR Comput. Math. Phys., 7, ss. 1-24, 1967.
• [5] Bauschke H. H., Borwein J.: On projection algorithms for solving convex feasibility problems, SIAM Rev., 38, ss. 367-426, 1996.
• [6] Cegielski A., Dylewski R.: Variable target value relaxed alternating projection method, Comput. Optim. Appl., 47, ss. 455-476, 2010.
• [7] Kim S., Ahn H., Cho S. C.: Variable target value subgradient method, Mathematical Programming, 49, ss. 359-369, 1991.
• [8] Polyak B. T.: Minimization of unsmooth functionals, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 9, ss. 509-521, 1969.
• [9] Dylewski R.: Projection method with level control in convex minimization, Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization, 30, ss. 101-120, 2010.
• [10] Dylewski R.: Sterowanie poziomem w metodach projekcyjnych dla problemów minimalizacji wypukłej nieróżniczkowalnej, Przegląd Elektrotechniczny, 86 (9), ss. 141-144, 2010.