Connections between the primitive 5-th roots of unity and Fibonacci numbers - part I

• Autorzy: Wituła R. , Jama D.

Warianty tytułu

PL

Związki pomiędzy pierwiastkami pierwotnymi stopnia piątego z jedynki a liczbami Fibonacciego - część I

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

W artykule przedstawiono nową, metodę dowodzenia tożsamosci dla liczb Fibonacciego i Lucasa. Bazuje ona na pewnych fundamentalnych tożsamościach dla potęg liczby zwanej złotą, proporcją oraz liczby do niej sprzężonej. Tożsamości te pozwalają także ciekawie powiązać liczby Fibonacciego i Lucasa z wieloma ważnymi ciągami liczbowymi, takimi jak: liczby Bernoullego, współczynniki dwumianowe czy liczby 5-Fibonacciego.

EN

In this paper a new method of investigating the identities for Fibonacci and Lucas numbers is presented. This method is based on some fundamental identities for powers of the number called the golden ratio and the conjugate number to it. Those identities give also possibility to connect in the interesting way Fibonacci and Lucas numbers with many important sequences of numbers, like Bernoulli numbers, binomial coefficients or Fibonacci numbers.

Słowa kluczowe

PL

liczba Fibonacciego; liczba Lucasa

EN

Fibonacci numbers; Lucas numbers

• Wydawca: Wydawnictwo Politechniki Śląskiej
• Czasopismo: Zeszyty Naukowe. Matematyka - Fizyka / Politechnika Śląska
• Rocznik: 2010
• Tom: z. 92
• Strony: 43--60
• Opis fizyczny: Bibliogr. 22 poz.

Twórcy

autor

Wituła R.

autor

Jama D.

• Institute of Mathematics Silesian University of Technology, 44-100 Katowice, ul. Krasińskiego 8 tel. [phone]

Bibliografia

• 1. Alikhani S., Peng Y.: Chromatic zeros and the golden ratio. Appl. Anal. Diliscrete Math. 3 (2009), 120-122.
• 2. Benjamin A.T., Quinn J.J: Proofs that really count. The art of combinatorial \ proof. MAA, Washington 2003.
• 3. Dunlop R.: The golden ratio and Fibonacci numbers. World Scientific, Singapore 2006.
• 4. Eie M.: Topics in number theory. World Scientific, Singapore 2009.
• 5. Eustis A., Shattuck M.: Combinatorial proofs of some formulas for Lrm. Fibonacci Quart. 48 (2010), 62-67.
• 6. Falcon S., Plaza A.: The metallic ratios as limits of complex valued transformations. Chaos Solitons Fractals 41 (2009), 1-13.
• 7. Fu X., Zhou X.: On matrices related with Fibonacci and Lucas numbers. Appl. Math. Comput. 200 (2008), 96-100.
• 8. Gerdemann D.: Combinatorial proofs of Zeckendorf family identities. Fibonacci Quart. 46/47 (2008/2009), 249-261.
• 9. Graham R.L., Knuth D.E., Patashnik O.: Concrete mathematics. A foundation for computer science. Addison-Wesley, Reading 1994.
• 10. Grzymkowski R., Witula R.: Calculus methods in algebra, part one. WPKJS, Gliwice 2000 (in Polish).
• 11. Koshy T.: Fibonacci and Lucas numbers with application. Wiley, New York 2001.
• 12. Lee G.-Y., Lee S.-G., Shin H.-G.: On the K-generalized Fibonacci matrix Qk. Linear Algebra Appl. 251 (1997), 73-88.
• 13. Rabinowitz S.: Algorithmic manipulation of Fibonacci identities. In: Applications of Fibonacci Numbers, vol. 6, eds. G.E. Bergum et al., Kluwer, New York 1996, 389-408.
• 14. Rabsztyn Sz., Slota D., Witula R.: Funkcje gamma i beta (w przygotowaniu).
• 15. Tasci D., Kilic E.: On the order-k generalized Lucas numbers. Appl. Math. Comput. 155 (2004), 637-641.
• 16. Vorobjov N.N.: Fibonacci numbers. PWN, Warsaw 1955 (in Polish).
• 17. Vries P.C.G.: Problem 445. Nieuv Archief voor Wiskunde.
• 18. Wilf H.S.: Generating functionology. Academic Press, New York 1994.
• 19. Witula R., Slota D.: 6-Fibonacci numbers. Appl. Anal. Discrete Math. 3 (2009), 310-329.
• 20. Witula R.: Connections between the primitive 5-th roots of unity and Fibonacci numbers -part II. Zesz. Nauk. Pol. SI. Mat.-Fiz. 92 (2010), 61-73.
• 21. Witula R.: Fibonacci and Lucas numbers for real indices and some applications. Mol. Quant. Acoust. (in print).
• 22. Zhao F., Wang T.: Generalizations of some identities involving the Fibonacci numbers. Fibonacci Quart. 39 (2001), 165-167.