Mechanika periodycznych płyt średniej grubości

• Autorzy: Baron E.

Warianty tytułu

EN

Mechanics of periodic medium thickness plates

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Praca dotyczy liniowo-sprężystych, średniej grubości płyt o strukturze periodycznej w płaszczyznach równoległych do swej płaszczyzny środkowej. Płyty takie, zwane dalej płytami o płaskiej strukturze periodycznej, można umownie podzielić na wiele powtarzalnych segmentów, tzw. komórek periodyczności, mających te same wymiary, kształt i identyczną strukturę materiałową. Płytą periodyczną jest zarówno płyta o stałej grubości periodycznie wzmocniona inkluzjami z innych materiałów, jak również jednorodna materiałowo płyta o periodycznie zmiennej grubości, np. gęsto użebrowana lub perforowana. Wymiary komórki periodyczności, oprócz wymiarów gabarytowych płyty w płaszczyźnie środkowej, dodatkowo charakteryzują tego typu płyty. Geometria i własności płyt periodycznych mogą być opisane periodycznymi funkcjami współrzędnych parametryzujących płaszczyznę środkową płyty. W przypadku gdy funkcje te są periodyczne względem obu współrzędnych, mówimy, że płyta posiada dwukierunkową strukturę periodyczną lub że jest płytą biperiodyczną. Jeżeli własności płyty są funkcjami okresowymi tylko jednej z tych współrzędnych mamy, do czynienia z płytą o jednokierunkowej strukturze periodycznej lub inaczej - płytą uniperiodyczną. W pracy tej zostaną wykorzystane dobrze znane założenia teorii płyt średniej grubości. Założenia te, w przypadku płyt periodycznych, prowadzą do układu równań różniczkowych cząstkowych o silnie oscylujących i nierzadko nieciągłych współczynnikach funkcyjnych. Rozwiązanie więc wielu problemów inżynierskich napotyka na znaczne trudności matematyczne. Dlatego też w mechanice ciał periodycznych proponowane są różne metody prowadzące do przybliżonych 2D-modeli płyt periodycznie niejednorodnych opisujących ich własności sprężyste i inercyjne w sposób uśredniony. Te uśrednione własności będziemy nazywać makromechanicznymi (w sensie mechaniki kompozytów, por. R. M. Jones (1975)). Modelowaniem płyt periodycznych nazwano procedury pozwalające dokonać przejścia od równań różniczkowych płyt o silnie oscylujących i nierzadko nieciągłych współczynnikach, do równań o współczynnikach uśrednionych, stałych lub wolnozmiennych. Najczęściej stosowane w modelowaniu techniki homogenizacyjne, korzystające z asymptotycznej analizy, dają bardzo dobre rezultaty w zakresie statyki płyt periodycznych, jednak w zagadnieniach dynamicznych napotykają na pewne ograniczenia. Na podstawie tak zbudowanych modeli nie potrafimy badać zagadnień dyspersji fal i opisać drgań wyższego rzędu, gdyż pomijają one wpływ wielkości powtarzalnego segmentu (okresu powtarzalności) płyty na jej makromechaniczne własności. Wpływ ten będziemy dalej nazywać efektem skali. W tej pracy zastosowano nieasymptotyczną techniką tolerancyjnego uśredniania (TAT), którą dla sprężystych kompozytów periodycznych wprowadził Cz. Woźniak (1999), (2000), a podstawy teoretyczne sformułowano w monografii Cz. Woźniaka i E. Wierzbickiego (2000). Technika ta prowadzi do równań, które mogą być wykorzystane w praktyce inżynierskiej, a także, w odróżnieniu od innych metod, pozwala uwzględnić wpływ efektu skali. Celem pracy jest: - usystematyzowanie, ujednolicenie i uogólnienie dotychczasowych opracowań dotyczących nieasymptotycznego modelowania liniowo - sprężystych, średniej grubości płyt, o płaskiej strukturze periodycznej, - uzasadnienie fizycznej poprawności przyjętego sposobu postępowania, - wykazanie, że efekt skali odgrywa ważną rolę w badaniu zachowania się średniej grubości płyt periodycznych w procesach dynamicznych i quasi-stacjonarnych, - porównanie proponowanych modeli wraz z podaniem zakresu ich stosowalności. Praca zawiera wyprowadzone techniką tolerancyjnego uśredniania oryginalne 2D-modele średniej grubości liniowo-sprężystych płyt periodycznych, przykłady ich zastosowania w zagadnieniach dynamiki i stateczności oraz porównanie poszczególnych modeli. Są to modele oryginalne w tym sensie, że były po raz pierwszy rozważane w pracach autora. Dla potrzeb nieasymptotycznego modelowania płyt o płaskiej strukturze periodycznej, oprócz wymienionego powyżej podziału na płyty biperiodyczne i uniperiodyczne, konieczne było wprowadzenie dodatkowej klasyfikacji. Kryterium tej klasyfikacji jest iloraz okresu periodyczności do grubości płyty, por. R. V. Kohn i M. Vogelius (1984). Możemy więc wyróżnić: - płyty o okresie dużo większym od ich grubości, które można traktować jako złożone z płytowych komórek o periodycznej strukturze; nazwano je strukturalnie periodycznymi, - płyty o okresie rzędu grubości, którymi najczęściej są płyty niejednorodnej; nazwano je materiałowo periodycznymi, - płyty o okresie dużo mniejszym od grubości. W pracy analizowane są zagadnienia dynamiki (drgania) i zagadnienia stacjonarne (stateczność, efekt brzegowy) średniej grubości, liniowo - sprężystych płyt periodycznych. Wyprowadzone równania 2D-modeli dotyczą płyt prostokątnych o kierunkach periodyczności równoległych do krawędzi płyty. W procedurze modelowania techniką uśredniania tolerancyjnego wykorzystano hipotezę kinematyczną Hencky'ego - Bolle'a. Współczynnik poprzecznego ścinania przyjmowano wg teorii Uflyanda. W przykładach zastosowań uzyskanych równań badano wyłącznie płyty prostokątne lub pasma płytowe swobodnie podparte na przeciwległych brzegach. Przyjmowane dane materiałowe i wymiary geometryczne odpowiadają płytom stosowanym w inżynierii budowlanej. Modelując zagadnienia średniej grubości płyt periodycznych, należy zastosować dwa podejścia w zależności od ilorazu okresu periodyczności do grubości płyty. Dla płyt strukturalnie biperiodycznych technikę uśredniania tolerancyjnego stosujemy bezpośrednio do uśrednionych na grubości równań płyty. Jak już wspomniano, są to równania, różniczkowe cząstkowe o silnie oscylujących i nierzadko nieciągłych współczynnikach funkcyjnych. W wyniku zastosowania proponowanej techniki uzyskujemy uśrednione równania tj. równania różniczkowe cząstkowe o współczynnikach stałych. Sformułowany w ten sposób 2D-model średniej grubości płyty biperiodycznej uwzględnia efekt skali oraz pozwala a posteriori ustalić błąd popełniony przy obliczaniu wartości liczbowych niewiadomych funkcji. Osłabiając założenia przed przystąpieniem do procedury modelowania, tzn. przyjmując, że płyta ma strukturę periodyczną w jednym kierunku i dowolną (ale oczywiście identyczną w każdej komórce) zmienność parametrów w kierunku prostopadłym, uzyskujemy równania 2D-modelu średniej grubości płyt strukturalnie uniperiodycznych. Są to w ogólnym przypadku równania o współczynnikach zmiennych, ale nie będących już silnie oscylującymi funkcjami. Najczęściej jednak w praktyce inżynierskiej, w tym i w budownictwie, stosowane płyty uniperiodyczne mają stałe parametry geometryczne i materiałowe w kierunku prostopadłym do kierunku periodyczności. Dla tego typu płyt uzyskujemy równania różniczkowe cząstkowe o stałych współczynnikach. Dla płyt materiałowo biperiodycznych punktem wyjścia w procedurze modelowania są równania trójwymiarowej liniowej teorii sprężystości ośrodka o strukturze periodycznej w kierunkach równoległych do pewnej płaszczyzny środkowej. Stosując technikę uśredniania tolerancyjnego do tych równań w obrębie odpowiedniej dwuwymiarowej komórki periodyczności, uzyskujemy układ równań różniczkowych cząstkowych o współczynnikach stałych 3D-modelu ciała periodycznego. Stosując do tych równań hipotezę kinematyczną Hencky- Bolle'a otrzymujemy równania 2D-modelu średniej grubości płyt biperiodycznych. Analogicznie jak w przypadku omawianym powyżej, osłabiając założenia wyjściowe, dochodzimy do równań 2D-modelu płyt uniperiodycznych. Dla tej grupy płyt periodycznych rozważania ograniczymy tylko do płyt o stałej grubości. W przedstawionej tu pracy nie rozpatrujemy przypadku, w którym grubość płyty jest dużo większa od charakterystycznego wymiaru komórki periodyczności. Należy wtedy zhomogenizować materiał płyty, a w tej sytuacji wpływ efektu skali jest pomijalny. Należy zwrócić uwagę na fakt, że równania 2D-modelu średniej grubości płyt o dwukierunkowej strukturze periodycznej i strukturze uniperiodycznej (bez względu na iloraz okresu periodyczności do grubości płyty) trzeba wyprowadzać niezależnie. Jest to jakościowo inna sytuacja niż przy zastosowaniu metod homogenizacyjnych, gdzie model płyty uniperiodycznej jest na ogół przypadkiem szczególnym płyty o periodyce dwukierunkowej. Rozprawa ta jest podsumowaniem, usystematyzowaniem i uogólnieniem dotychczasowych prac autora dotyczących nieasymptotycznego modelowania średniej grubości płyt o strukturze periodycznej. Po raz pierwszy zaadaptowano i wykorzystano do tego celu technikę uśredniania tolerancyjnego. W znanej autorowi literaturze tą techniką były dotychczas modelowane wyłącznie płyty spełniające założenia Kirchhoffa. Elementami oryginalnymi samej rozprawy są: - wyprowadzenie równań 2D-modeli liniowo-sprężystych średniej grubości płyt periodycznych, które to równania umożliwiają uwzględnienie wpływu powtarzalnej komórki na uśredniony opis zachowania się płyty w zagadnieniach dynamicznych i problemach stateczności, - wykazanie możliwości efektywnego zastosowania otrzymanych równań do analizy pewnych zagadnień dynamiki i stateczności płyt periodycznych, ze szczególnym uwzględnieniem płyt stosowanych w budownictwie, - klasyfikacja średniej grubości płyt periodycznych z podaniem zakresu stosowalności proponowanych 2D-modeli, - nowe jakościowo rezultaty, jak np. wyznaczenie wyższej częstości drgań własnych, dodatkowej siły krytycznej związanej z efektem skali, o wskazanie możliwości wykorzystania w niektórych zagadnieniach założeń technicznej anizotropii (ortotropii) przy obliczaniu współczynników uzyskanych równań nieasymptotycznych 2D-modeli. Zastosowanie zmodyfikowanej techniki uśredniania tolerancyjnego w modelowaniu średniej grubości płyt o strukturze periodycznej pozwala uzyskać nowe jakościowo wyniki w porównaniu do dotychczas powszechnie stosowanych metod homogenizacyjnych. Proponowane 2D-modele są niesprzeczne z modelami homogenizacyjnymi, (a także innymi metodami przybliżonymi, np. metodą Ritza), ale umożliwiają analizę szerszej klasy zagadnień. Można też mówić o pewnym uogólnieniu modelu zhomogenizowanego. Należy podkreślić, że bardzo istotną zaletą proponowanego nieasymptotycznego podejścia (TAT), a równocześnie i wyprowadzonych czterech równań modeli, jest możliwość rozwiązywania poszczególnych zagadnień na różnym poziomie dokładności. Poziom ten jest uzależniony od liczby składników w skończonych sumach aproksymujących fluktuacyjną część składowych pola deformacji, a także od dokładności wyznaczenia modalnych funkcji kształtu. W pracy, w przykładach aplikacyjnych ograniczono się do uwzględnienia tylko jednego wyrazu, czyli tzw. pierwszego przybliżenia, które jest na ogół wystarczające w obliczeniach inżynierskich. Ponadto technika uśredniania tolerancyjnego generuje dodatkowe warunki, dotyczące funkcji wolnozmiennych, które są niezbędne do sprawdzenia fizycznej poprawności uzyskanych wyników liczbowych. Warunki te mogą być także wykorzystane jako pewne dodatkowe, a posteriori oszacowanie dokładności rozwiązań. Za główną tezę wykazaną w pracy można uznać, że proponowane modele średniej grubości płyt o płaskiej strukturze periodycznej mogą być wykorzystane w zagadnieniach inżynierskich, np. w konstrukcjach budowlanych, nawet przy stosowanych aktualnie rozwiązaniach technicznych i materiałowych. W przypadku płyt wykonanych z materiałów o bardzo wysokiej wytrzymałości, przenoszących drgania o wysokich częstotliwościach, wyniki uzyskiwane w ramach proponowanych 2D-modeli mogąjuż mieć wpływ na wymiarowanie konstrukcji.

EN

An object of consideration is linear elastic, medium thickness (Reissner-type) plates with a plane periodically inhomogeneous structure. A plate with a plane periodic structure consists of several repeated (usually rectangular) plate-type cells having identical shape, dimensions and material structure. Among the above plates we consider plates having - periodic structure in two direction (called biperiodic), - periodic structure in one direction ( called uniperiodic) parallel to the plate mid-plane. The geometry of the periodic plates, apart from the global mid-plane length dimensions is additional characterized by the periodicity cell sizes which determine the periods of the structure in-homogeneity Tackling the problems of dynamics, particularly the analysis of vibrations and the propagation of waves in plates with such a plates meet serious mathematical difficulties due to the fact that the thickness of the plate, its mass distribution and material properties are expressed by highly oscillating and usually non-continuous functions. This problem, can be solved by using the homogenisation theory (c.f. papers by Lewiński and Lewiński and Telega). However, the use of asymptotic homogenisation method results in neglecting the structure length-scale effect i.e. the effect of size of the periodicity cell on the macro-dynamic plate behaviour. On the other hand, in many physical problems we are interested how the periods of in-homogeneity influence the behaviour of a periodic structure on the macroscopic level. To answer this question we shall replace homogenization by more general, non-asymptotic modeling approach. This approach, called the tolerance averaging technique (TAT) of partial differential equations with periodic coefficients, constitute a certain generalization of homogenization. In course of non-asymptotic modeling of plates with a plane periodic structure, apart from aforementioned separation on biperiodic and uniperiodic plates, it is necessary to introduce an extra partition. It depends on the ratio of an in-homogeneity period and maximum plate thickness. It is possible to consider three cases: - plates with large periods compared to the plate thickness, which called structural periodic, - plates with periods of an order of the plate thickness, material periodic,, - plates with small periods compared to the plate thickness. This classification is similar to that introduced by Kohn and Vogelius. How it will be shown, if the periods of in-homogeneity are small when compared to the plate thickness then the length-scale effect is neglected. In this case, from the engineering point of view, the non-asymptotic and homogenized model leads to the identical results. The proposed, non-asymptotic 2D-models for structural periodic plates were obtained using the tolerance averaging technique applied directly to the 3D-equation of linear elastodynamic of periodic solids. For material periodic plates, the starting point for TAT is equations representing the Hencky-Bolle 2D-model of a medium thickness plates. Taking this fact into consideration, the structural periodic model can be interpreted as a certain generalization of material periodic model. It can lead to the conclusion, that the aforementioned partition is unnecessary. Necessity of this classification lies in the proper choice of mode shape functions. In general, the mode shape functions represent free periodic vibrations of the 3D-periodic cell. In this case, finding these functions is rather a difficult task. However, in many special problems the form of these functions can be based on certain heuristic assumptions related to the expected form free vibrations of a periodicity cell. For plate with, I -d, the postulated sawlike form of mode shape functions, represent a very rough approximation of expected free vibrations of a periodicity cell. If I " d, then the periodic cell, can be treated as a thin plate. In this case the mode shape functions can be expressed, with a sufficient accuracy, by trigonometric functions. We should pay attention to the fact that the non-asymptotic models of plates with one-and bi-directional periodic structure can be led out independently, because it is based on weaker modelling assumptions. The equations for uniperiodic plates are more complicated. It follows from the fact that the conditions for the modelling of these plates are less restrictive than those introduced for the modelling of the plates with two-directional plane periodic structure. At is it known, in general in the asymptotic approach the plate with uniperiodic structure is a special case of plate with bi-directional periodicity. All proposed models make it possible to investigate dynamic and quasi-stationary problems. These models determine also higher free vibrations frequencies, caused by the plate's periodic structure, which cannot be derived from the asymptotic models. The square of lower resonance frequencies calculated from the homogenized models are approximation of an order 0{l2) of similar frequencies derived from the proposed models. Application of the non-asymptotic uniperiodic models to the stability problems results in two values of critical force. Solving the quasi-stationary problems, in the framework of biperiodic models, we obtain the stiffnesses, which can be interpreted as certain approximation of the effective stiffnesses derived by homogenization. In this case the length-scale effect disappears. Moreover, the equation for uniperiodic plates describe the effect of the initial displacement fluctuation on the plate behaviour in contrast to the homogenized equation, in which initial condition can be imposed only on the plate deflection and rotations. For homogeneous plate with constant thickness, under homogeneous initial condition, all model equations reduce to the well known Hencky-Bolle 2D-plate theory. Comparing the obtained model equation with equation of the asymptotic model it can be easily seen that the tolerance averaging models enable analyzing a large class of problems and are a certain generalization of models described in the framework of homogenization. The proposed non-asymptotic approach ability formulated the models on different levels of accuracy. First of all, this level depends on the number of terms on the finite sums and precision of determining the mode shape functions. Moreover, the tolerance averaging technique yields extra conditions (related slowly varying functions), which are necessary for the physical meaning of the obtained solutions to the particular problems. These conditions can be also used as certain a posteriori estimations of the accuracy of solutions.

Słowa kluczowe

EN

material biperiodic plate; material unieriodic plate; periodic plate; structural uniperiodic plate; structural biperiodic plate; mechanical modelling

• Wydawca: Wydawnictwo Politechniki Śląskiej
• Czasopismo: Zeszyty Naukowe. Budownictwo / Politechnika Śląska
• Rocznik: 2006
• Tom: z. 108
• Strony: 1--144
• Opis fizyczny: Bibliogr. 236 poz.

Twórcy

autor

Baron E.

• Katedra Teorii Konstrukcji Budowlanych Politechniki Śląskiej, Rybnik, ul.Kościuszki 54, tel.: [phone],

Bibliografia

• 1.Achenbach J.D., 1969: An asymptotic method to analyze the vibrations of an elastic layer. J. Appl. Mech., 36, 1, 65-72.
• 2.Achenbach J.D., Hermann G., 1968: Wave motions in solid with lamellar structuring. W: dynamics of Structured Solids (ed. G. Hermann), New York, ASME.
• 3.Ambartsumyan S.A., 1957: K voprosu nelinejnoj teorii anizotropnykh plastinok. Doki. AN Arm. SSR, 24, 4, 153-159.
• 4.Ambartsumyan S.A., 1960: K teorii izgiba anizotropnykh plastinok i pologikh oboloc-hek. PMM, 24, 2, 350-360.
• 5.Ambartsumyan S.A. 1969: Theory of anisotropic plates. Tech. Pub. Co.
• 6.Archer R.R., Bandyopadhyay N., 1980: On the and problem of thick rectangular plates. Mechanics Today. New York, Vol., 5, 1-13.
• 7.Baron E., 1995: On the macro- and micro-vibrations of elastic plates subjected to pe-riodically distributed inertial loadings, Zesz. Nauk. Politechniki SI., 83, 7-24.
• 8.Baron E., 1999i: Dinamika płastin s odnowysnoju pieriodicznoju struktum, Visnyk Lviv Univ., Ser Mech.-Mat., 55, 80-85.
• 9.Baron E., 19992: Drgania swobodne ptyt Reissnera-Mindlina o strukturze periodycz­nej, Zesz. Nauk. Politechniki SI., seria Budownictwo, z. 86/1999, 59-70.
• 10.Baron E., 2002: On modelling of medium thickness plates with a uniperiodic struc-ture, J. Theor. Appl. Mech.,1, 40, 7-22.
• 11.Baron E., 2003i: On dynamie stability of an uniperiodic medium thickness plate band, J. Theor. Appl. Mech., 41, 2, 305-321.
• 12.Baron E., 20032: On dynamie behaviour of medium thickness plates with uniperiodic structure, Archiv. Appl. Mech., 73, 505-516 (Springer-Verlag).
• 13.Baron E., 2005i: On a certain model of prestressed medium thickness uniperiodic plate, J. Theor. Appl. Mech., 43,1, 93-110.
• 14.Baron E. 20052." On the Modelling of Prestressed Medium Thickness Uniperiodic Plates, PAMM, Vol.5, b.l, 225-226.
• 15.Baron E.,20053: On the dynamie behaviour of uniperiodic plates madę of orthotropic elements, Electr. J. Pol. Agricult. Univ., Vol. 8, Is. 4.
• 16.Baron E., 2006i: On modelling of periodic piałeś having the in-homogeneity period of an order ofthe plate thickness , J. Theor. and Appl. Mech., 1, 44, 3-18.
• 17.Baron E., 2OO62: Analysis and comparison of different 2D-models for medium thick­ness plates with a piane periodic structure w: Selected Topics in Unhomogeneous Media, Part Il-Structural Elemets, Capt. 1. Wydawnictwo Uniwersytetu Zielonogór­skiego.
• 18.Baron E., Woźniak C, 1995: On microdynamics of composite plates, Arch. Appl. Mech., 66, 126-133.
• 19.Baron E., Jędrysiak J., 1988: On vibrations of plates under periodically distributed in-ertial loading, J. Theor. Appl. Mech., 4, 36, 1001-1020.
• 20.Bauer S.M., et al., 1993: Asymptotic methods in mechanics with applications to thin shells and plates. Asympt. Meth. Mech. Providence, 3-140.
• 21.Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G., 1978: Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam, North Holland.
• 22.Berar C, 1984: A thickfaces theory of orthotropic fiat sandwich plates. Rev. Roum. Sci. Ser. Tech. Mec. Appl., 29, 2, 173-186.
• 23.Berdichewskij V.L., 1973: K Dinnamicheskoj teorii tonkich uprugich plastin, Mekh. Twerd. Tela, 6, 99-109.
• 24.Bolotin B.B., 1956: Dinamiczeskija ustojcziwost uprugich system, Gos. Izd. Tekh.-Teor. Lit., Moskwa.
• 25.Bolle L., 1947: Contribution au probleme lineaire de flexion d'une plaąue elastiąue. Buli. Tech. Suisse Rom., 73, 21 281-285.
• 26.Bolle L., 1947: Contribution au probleme lineaire de flexion d'une plaąue elastiąue. Buli. Tech. Suisse Rom., 73, 22 293-298.
• 27.Bourgeat A., Tapiero R., 1983: Homogeneisation d'une plaąue mince, thermoe-lastiąue, perforee transversalement, de structure non uniformement periodiąue, dans le modele de la theorie naturelle. C.R. Acad. Sci. Paris. 297(1), 213-216.
• 28.Brunelle EJ., 1971: Buckling of transversely isotropic Mindlin plates. AIAA Journal, 9,6, 1018-1022.
• 29.Brunelle EJ., Robertson S.R., 1974: Initially stressed Mindlin plates. AIAA Journal, 12,8, 1036-1045.
• 30.Caillerie D.,1982: Plaąues elastiąues minces a structure periodiąue de periode et d'epaisseur comparables. C.R. Acad. Sci. Paris, 294, Serie II, 159-162.
• 31.Caillerie D.,1987: Non homogeneous plate theory and conduction in composite. w: homogenization techniąues for composite media. Lecture notes in physics, vol. 272, 1-64.
• 32.Chacha D., Sanchez-Palencia E., 1992: Overall behaviour of elastic plates with peri-odically distributedfissures. Asympt. Anal. ,5, 381-396).
• 33.Cielecka L, 1995: On the Continuum Modeling the Dynamie Behaviour of Certain Composite Lattice-Type Structures. J. Theo. Appl. Mech., 33, 351-359.
• 34.Cielecka L, 1999: Continuum modeling of the dynamie problems for lattice-type plates. Visnyk Lviv Univ. Ser. Mech.-Math., 55, 55-63.
• 35.Cielecka I., Woźniak C, Woźniak M., 1998: Internat variables in macrodynamics of two-dimensional periodic cellular media. Arch. Mech., 50, 3-19.
• 36.Cielecka L, Woźniak C, Woźniak M., 2000: Elastodynamics behaviour of honey-comb cellular media, J. of Elasticity, 60, 1-17.
• 37.Dawe D.J., 1978: Finite strip modelsfor vibration ofMindlin plates, J. Sound a. Vibr. 59,3,441-452.
• 38.DelFIsola F., Rosa L., Woźniak C, 1997: Dynamics of solids with microperiodic non connectedfluid inclusions. Arch. Appl. Mech., 67, 215-228.
• 39.DelFIsola F., Rosa L., Woźniak C, 1998: A micro-structural continuum modeling compacting fluid-saturated grounds. Acta Mech.,127, 165-182.
• 40.Dickinson S.M., 1969: The Flexural Vibration on Rectangular Orthotropic Plates, J. Appl. Mech., 36, 101-106.
• 41.Donnell L.H., 1976: Beams, plates and shells. New York: McGraw-Hill.
• 42.Dubinkin M.V., 1958: Kolebaniya plit s uchetom inertsii vrashcheniya i sdviga. Izm. AN SSSR OTN, 12, 131-135.
• 43.Duvaut G., 1977: Homogenization des plaąues a structure peeriodiąue theorie non lineaire de von Karman. W: Jounees cTanalyse non lineaire, Lecture notes in mathe-matics, vol. 665, 56-69.
• 44.Eringen C, 1955: On the nonlinear oscillations of viscoelastic plates. J. Appl. Mech., 22, 4, 563-567.
• 45.Eringen A.C., Suhubi E.S., 1964: Nonlinear theory ofsimple elastic solids. Int. J. Eng. Sci. 2, 189-203,389-404.
• 46.Essenburg F., Naghdi P.M., 1958: On elastic plates ofvariable thickness. Proc. 3r US Nat. Congr. Appl. Mech., 313-319.
• 47.Fichera G., 1992: Is Fourier theory of heat propagation paradoxicall, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo.
• 48.Frąckiewicz H., 1970: Mechanika ośrodków siatkowych, Warszawa, PWN.
• 49.Frederic D., 1963: Some problems in the buckling of thick plates. Developments in Theoretical and Applied Mechanics. Vol.l. New York: Pergamon Press, 152-172.
• 50.Gawęcki A., 1972: Statyka podłużnie niejednorodnej płyty Reissnera o zmiennej gru­bości. Rozpr. Inż., 20, 4, 555-576.
• 51.Girkmann K., Beer R., 1958: Anwendung der verscharfen Płatten-theorie nach Erie Reissner auf orthotrope Płatten. Ing. Arch., 12, 101-110.
• 52.Gol'denvajzer A.L., 1992: Obhchaya teoriya tonkich uprugich teł (obolochki, pokry-tiya, prokladki). Mekh. Tverd. Tiela, 3, 5-17.
• 53.Gomuliński A., Witkowski M., 1972: Pewien sposób obliczania struktur kratowych. Arch. Inż. Ląd., 18, 1, 117-134.
• 54.Green A.E., Naghdi P.M., 1967: The linear theory of an elastic Cosserat plate. Proc. Cambridge Phil. Soc, 63, 537-550.
• 55.Green A.E., Naghdi P.M., Wenner M.L. 1971: Linear theory of Cosserat surface and elastic plates ofvariable thickness. Proc. Cambridge Phil. Soc, 69, 227-254.
• 56.Grigolyuk E.I., Selezov I.T., 1973: Neklassicheskie teorii kolebanij sterzhnej, plastin i obolochek. Itogi Nauki i Tekh. Ser. Mekh. Tverd. Deform. Tel. T.5, 116-180.
• 57.Gulati S.T., Ozaltin O., 1973: Bending of nonuniform plates with asymmetric thick­ness variation-inclusion ofshear deformation. AIAA Journal, 11,2, 174-177.
• 58.Gutkowski W., 1964: Unistrutplates. Buli. Acad. Polon. Sci., CI. W, 12, 3, 7-14.
• 59.Gutkowski W., 1965: Powierzchniowe konstrukcje prętowe. Mech. Teor. i Stos. 3, 3, 79-94.
• 60.Hegemier G.A., 1972: On a theory of interacting continua for wave propagation in composites. w: Dynamics of Composite Materials (ed. E.H. Lee), New York, ASME.
• 61.Hencky H., 1947: Uber die Berucksichtigung der Schubverzzerung in ebenen Platten. Ing. Arch., 16,72-76.
• 62.Herrmann G., Armenakas A.E., 1960: Vibration and stability of plates under initial stress. J. Eng. Mech. Div. Proc. ASCE, 86, 65-94.
• 63.Herrmann G., Armenakas A.E., 1962: Vibrations and stability of plates under initial stress. Trans. ASCE, 127, Part 1, 458-487.
• 64.Huber T.M., 1914: Die Grundlagen einer rationellen Berechnung der kreuz-weise-bewehrten Eisenbeton-platten, Z. des Osterr. Ing. Architekten Vereins 30, 557.
• 65.Huber T.M., 1921: Teoria płyt prostokątnie ukierunkowanych. Arch. Tow. Nauk., Lwów.
• 66.Huber T.M., 1929: Probleme der Statik technisch wichtiger orthotroper Platten. War­szawa Akad. Nauk. Tech. Patrz też.: Pisma t. II; Warszawa, PWN (1956).
• 67.Huber T.M., 1954: Teoria sprężystości. Warszawa, PWN.
• 68.Huffington N.J., 1956: Theoretical determination of rigidity properties of or-thogonally stiffnedplates. J. Appl. Mech., 23, 1, 15-20.
• 69.Huffington N.J., Hoppman W.H., 1958: On the Transverse Vibrations of Rectangular Orthotropic Plates, J. Appl. Mech., 25, 389-395.
• 70.Ignaczak J., 2003: Piane harmonie waves in a microperiodic layerd infinite thermoe-lastic solid, J. Therm. Stresses, 26, 1033-1054.
• 71.Ignaczak J., 2004: Piane harmonie waves in a microperiodic thermoelastic solid re-visited, J. Therm. Stresses, 27, 779-793.
• 72.Ignaczak J., Baczyński Z.F., 1997: On a refined heat-conduction theory of microperi­odic layered solids. I. Therm Stresses, 20, 749-771.
• 73.Irschik H., 1985: Membrane-type eigenmotions of Midlin plates. Acta Mech., 55, 1/2, 1-20.
• 74.Jemielita G., 197'^-.Techniczna teoria płyt średniej grubości. Rozpr. Inż. 23,3, 483^199.
• 75.Jemielita G., 1991: Meandry teorii płyt. Pr. Nauk. Pol.Warsz. Bud., z. 117, 3-220.
• 76.Jędrysiak J., 1998j: Free vibrations of thin periodic plates. Engng. Trans., 46, 1, 89-114.
• 77.Jędrysiak J., 1998a: On dynamics of thin plates with a periodic structure. Engng. Trans., 46, 1,73-78.
• 78.Jędrysiak J., 1999: On mesoshape functions in structural dynamics of thin periodic plates. Visnyk Lviv Univ. Ser. Mech.-Math., 55, 71-79.
• 79.Jędrysiak J., 2000i: On stability of thin periodic plates. Eur. J. Mech. A/Solids, 19, 487-502.
• 80.Jędrysiak J., 20009.' On vibrations of thin plates with one-dimensional periodic struc­ture. Int. J. Eng. Sci. 38/18, 2023-2043.
• 81.Jędrysiak J., 2001: Modele dyspersyjne cienkich płyt periodycznych. Zeszyty Nauko­we Politechniki Łódzkiej, nr 872, rozprawa habilitacyjna.
• 82.Jędrysiak J., 2003i: Free vibrations ofthin periodic plates interacting with an elastic periodic foundation. Int. J. Mech., 45, 8, 1411-1428.
• 83.Jędrysiak J., 20032: The length-scale effect in the bucling ofthin periodic plates rest-ing a periodic Winkler foundation. Meccanica, 38, 4, 435-451.
• 84.Jędrysiak J., 2004: Application of the tolerance averaging method to analysis of dy-namical stability ofthin periodic plates. J. Theor, Appl. Mech., 42, 2, 357-379.
• 85.Jikov V.V., Kozlov S.M., Oleinik O.A., 1994: Homogenization of differential opera-tors and integralfunctionals. Berlin-Heidelberg-New York, Springer Verlag.
• 86.Johnson M.W., Widera O.E., 1971: An asymptotic theory for the ribrations of non-homogeneous plates. Acta Mech., 12, 1 /2 , 131-142.
• 87.Jones R.M., 1975: Mechanics of composite materials. New York, McGraw-Hill.
• 88.Kaczkowski Z., 1956: Orthotropic rectangular plates with arbitrary boundary condi-tions. Arch. Mech., 8, 2, 179-196.
• 89.Kaczkowski Z., 1960: The influence ofthe shear forces and the rotatory inertia on the vibration of an anisotropic plate. Arch. Mech. Stos., 12, 45, 531-550.
• 90.Kaczkowski Z., 1968: Płyty. Obliczenia statyczne. Warszawa, Arkady.
• 91.Kelkel K., 1984: Zum Randwertproblem der schwingenden schubelastschen Platte. Ing. Arch., 54, 2, 137-151.
• 92.Kociołek A., 1972: Drgania własne i wyboczenie płyty prostokątnej poprzecznie izo­tropowej, Inż. i Bud., 8, 301-305.
• 93.Koeller R.C., 1973: On a formulation of the bending of elastic plates. Int. J. Solids Struct.,9, 1053-1074.
• 94.Kohn R.V., Vogelius M., 1984: A new model ofthin plates with rapidly varying thick-ness, Int. J. Solids Struct., 20, 333-350.
• 95.Kohn R.V., Vogelius M., 1985: A new model ofthin plates with rapidly varying thick-ness, Part II:A convergence proof., Quart. Appl. Math., 43, 1-22.
• 96.Kohn R.V., Vogelius M., 1986: A new model ofthin plates with rapidly varying thick-ness, Part III: Comparison of different scalings, Quart. Appl. Math., 44, 35-48.
• 97.Konieczny S., Woźniak M., 1995: On the wave propagation in micro-inhomogeneous media. J. Theor. Appl. Mech., 33, 375-384.
• 98.Kosmodamianskij A.S., Shaldyrvan V.A., 1978: Tolstyje mnogosvaznyje płasyiny.
• Kiev: Nauk. Dumka.
• 99.Kromm A., 1953: Verllagemeinerte Theorie der Plattenstatik. Ing. Arch., 21, 266-286.
• 100.Laura P.A., 1968: Effect of shear and rotatory inertia on flexural vibrations of rib-stiffenedplates. J. Acoust. Soc. Am., 44, 1, 283-284.
• 101.Łaciński Ł., 2005: Numerical verification of rwo mathematical models for the heat transfer in a laminated rigid conductor, Jour. of Theor. Appl. Mech., 43, 2, 367-384.
• 102.Lekhnitskii S.G., 1968: Anisotropicplates, 2nd ed. N.Y., Gordon & Breach.
• 103.Levy M., 1877: Memoire sur la theorie des plaąues elastiąues planes, J. Math. Pures Appl. Ser., 3, 3, 219-306.
• 104.Lewiński T., 1984: Continuum models of lattice-type honeycomb plates. Buli. Acad. Polon. Sci., Sci. Tech., 32, 1/2, 25-34.
• 105.Lewiński T., 1986: A notę on recent developments In the theory of elastic plater with moderate thickness, Eng. Trans., 34, 531-542.
• 106.Lewiński T., 1991: Effective models of composite periodic plates: I. Asymptotic solu-tions, II. Simplifications due to symmetries, III. Two dimensional approaches. Int, J.Solids Structures, 27, 1155-1172, 1173-1184, 1185-1203.
• 107.Lewiński T., 1992: Homogenizing stiffness of plates with periodic structure. Int. J. Solids Structures, 21, 309-326.
• 108.Lewiński T., Telega J.J., 1988: Asymptotic method of homogenization offissured elas­tic plates. J. Elasticity, 19, 37-62.
• 109.Lewiński T., Telega J.J., 2000: Plates laminated and shells, Singapore, World Scien-tific Publishing Company,
• 110.Love A.E.H., 1927: A treatise on the mathematical theory of elasticity. 4th edit. Ox­ford.
• 111.Lur'e, 1955: Prostranstvennye zadachi uprugosti. Moskwa: Gosud. Izd. Tekh.-Teor. Lit.
• 112.Makosz S., 1985: Obliczanie płyt na modelu zastępczego rusztu. Zesz. Nauk. Polit. Śląskiej, nr 841, Budownictwo z. 60, 199-208.
• 113.Matysiak S.J., Nagórko W., 1989: Microlocal parameters in the modelling of micro-periodic plates. Ing. Arch., 59, 434-444.
• 114.Matysiak S.J., Nagórko W., 1995: On the wave propagation in periodically laminated composites. Buli. Acad. Pol. Sci., Sci. Tech., 43, 1-12.
• 115.Matysiak S.J., 1995: On the microlocalparameter method in modelling of periodically layerd thermoelastic composites, J. Theor. Appl. Mech., 33, 481-487.
• 116.Mazurkiewicz Z., 1960: Buckling, vibration and bending of a rectangular orthotropic plate resting on a non-homogeneous foundation. Buli. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Tech. 8, 3, 129-133.
• 117.Mazurkiewicz Z., 1962: Bending and buckling of a rectangular plate reinforced transversely by ribs with variable rigidities. Buli. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Tech., 10,8,329-339.
• 118.Mazur-Śniady K., 1993: Macro-dynamics of micro-periodic elastic beams. J. Theor. Appl. Mech., 31,34-36.
• 119.Mazur-Śniady K., 2001: The kinematic internal variable approach to dynamics of beams with a periodic-like structures. J. Theor. Appl. Mech., 39, 175-194.
• 120.Mazur-Śniady K„ Woźniak Cz., Wierzbicki E., 2004: On the modelling of dynamie problems for plater with a periodic structure, Arch. Appl. Mech., 74, 179-190,
• 121.Mechanika Sprężystych Płyt i Powłok, w Mechanika Techniczna, t. VIII, 2001, red.: Cz.Woźniak, Warszawa, PWN.
• 122.Medwadowski S.J., 1958: A refined theor)- of elastic orthotropic plates, J. Appl. Mech., 25, 4, 437-443.
• 123.Michalak B., 1998: Stability of elastic slightly wrinkled plates. Acta Mech., 130, 11-119.
• 124.Michalak B., 1999: Stability of slightly wrinkled plates interacting with an elastic sub-soil. Engng. Trans., 47, 3-4, 269-283.
• 125.Michalak B., 2000: Vibrations of plates with initial geometrical periodical imperfec-tions interacting with a periodic elastic foundation. Arch. Appl. Mech., 70, 508-518.
• 126.Michalak B., 2002: On the dynamic behaviour of a uniperiodic folded plates. J. Theor, Appl. Mech., 40, 1, 113-128.
• 127.Michalak B., Woźniak C, Woźniak M., 1996: The dynamie modeling of elastic wavy-plates. Arch. Appl. Mech., 66, 177-186.
• 128.Mielczarek G., Woźniak Cz., 1995: On the dynamie modelling offibrous composites. J.Tech.Phys. ,36,103-111.
• 129.Mindlin R.D., 19511: Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of
• isotropic, elastic plates. J. Appl. Mech., 18, 1, 31-38.
• 130.Mindlin R.D., 19512: Thickness-shear and flexural vibrations of crystal plates,
• J. Appl. Phys., 22, 3, 316-323.
• 131.Mindlin R.D., 1952: Forced thickness-shear and flexural vibrations of piezoelectric crystal plates. J. Appl. Phys., 23, 1, 83-88.
• 132.Mindlin R.D., 1955: An introduction to the mathematical theory of vibrations of elas­tic plates. US Army Signal Corps Eng. Labor. Ford Monmouth. New York.
• 133.Mindlin R.D., 1964: Microstructure in linear elaticity. Arch. Rat. Mech. Anal., 16, 51-78.
• 134.Mindlin R.D., Medick M.A., 1959: Extensional vibrations of elastic plates. J. Appl. Mech., 26,4, 561-569.
• 135.Mindlin R.D., Schacknow A., Deresiewicz H., 1956: Flexural vibrations of rectan-gularplates. J. Appl. Mech., 23, 3, 430-436.
• 136.Mossakowski J., 1959: Równania teorii Reissnera dla płyt ortototropowych. Księga Jubileuszowa W. Wierzbickiego, Warszawa, 145-155.
• 137.Muhlhaus H.B., 1995: Continuum models for materials with microstructure., New York, J. Wiley.
• 138.Murakami H., Hegemier G.A., 1986: A mixture model for unidirectionally fiber-reinforced composites. J. Appl. Mech. ASME, 53, 765-773.
• 139.Mushtari Kh. M., 1959: Teoriya izgiba plit srednej tolshchiny. Izv. AN SSSR OTN Mekh. I Mashin., 2, 107-113.
• 140.Naghdi P.M., 1972: The theory ofshells and plates. Handbuch der Physik. VIa/2. Ber­lin: Springer Verlag, 425-460.
• 141.Nagórko W., Woźniak C, 2002: Nonasymptotic modelling of thin plates reinforced by a system of stiffeners. Electronic J. of Pol. Agricult. Univ., 5, 2.
• 142.Nelson H. M., 1978: High freąuency flexural vibration ofthick rectangular bars and plates, J. Sound a. Vibr., 60,1, 101-118.
• 143.Nomachi S.G., 1966 (1967): On a stress analysis ofgridplate byfinite Fourier trans-forms concerning finite integration. w: Proc. 16' Japan Nat. Congress Appl. Mech., Tokyo, 59-66.
• 144.Nowacki W., 1954: Z zagadnień teorii rusztów płaskich. Arch. Mech. Stos., 6, 1, 101-138.
• 145.Nowacki W., 1960: Mechanika budowli, T. II PWN, Warszawa.
• 146.Pauk V. J., 1999: Piane contact problem for a half-space with boundary imperfec-tions, Int. J. Solids Struct., 36, 3569-3579.
• 147.Pei Chi Chou, Carleone J., 1973: Transverse shear in laminated plate theories. AIAA Journal, 11,9, 1333-1337.
• 148.Pelekh B.L., Laz'ko V.A., 1982: Sloistye anizotropnye plastiny i obolochki s konsen-tratorami napryazhenij. Kiev: Nauk. Dumka.
• 149.Petoyan A. Sn., 1966: Ob ustojchivosti i kolebaniyakh transversal'no-izotropnoj pry-amougoUnoj plastinki. Izv. AN Arm. SSR Ser. Mekh., 19, 4, 45-56.
• 150.Reddy J.N., 1990i: A view of refined theories of laminated composite plates. Shock Vibr. Dig.,22, 7, 3-17.
• 151.Reddy J.N., 19902: A generał non-linear third-order theory of plates with moderate thickness. Int. J. Nonlinear Mech., 25, 6, 687-700.
• 152.Reissmann H., Lee Y.-C, 1968: Forced motions of rectangular plates, Theor. Appl. Mech. Tulan Univ. New Orleans, New York, 3-18.
• 153.Reissner E., 1944: On the theory of bending of elastic plates. J. Math. Phys. 23, 184-191.
• 154.Reissner E., 1945: The effect of transverse shear deformation of bending of elastic plates. J. Appl. Mech., 12, 2, A69-A77.
• 155.Reissner E., 1947: On bending of elastic plates. Quart. Appl. Math., 5, 1, 55-68.
• 156.Reissner E., 1975: On transverse bending of plates, including the effect of transverse shear deformation. Int. J. Solids Struct., 11,5, 569-573.
• 157.Reissner E., 1976: On the theory of transverse bending of elastic plates. Int. J. Solids Struct, 12,8,545-554.
• 158.Reissner E., 1979: Notę on the effect of transverse shear deformation in laminated anisotropicplates. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 20, 2, 203-209.
• 159.Reissner E., 1980: On torsion and transverse flexure of orthotropic elastic plates. J. Appl. Mech., 47, 855-860.
• 160.Reissner E., 1981: A notę on bending of plates including the effects of transverse shearing and normal strains. ZAMP, 32, 6, 764-767.
• 161.Reissner E., 1983: On a one-dimensional formulation of the problem of torsion and flexure of shear deformable plates. J. Appl. Mech., 50, 1, 225-227.
• 162.Reissner E., 1986: On a mixed variational theorem and on shear deformable plate theory. Int. J. Num. Meth. Eng., 23, 2, 193-198.
• 163.Reissner E., 1986: On finite deflections of anisotropic laminated elasńc plates. Int. J. Solids Struct, 22, 10, 1107-1115.
• 164.Reissner E., 1986: On mixed variational formulations in finite elasticity. Acta. Mech., 1,1,3-9.
• 165.Reztsov M.V., 1990: On the properties of effective moduli of comoposite plates. Zhur. Vich. Mat. Mat. Fiz., 30, 1741-1743 [w języku rosyjskim].
• 166.Rychlewska J., Szymczyk J., Woźniak Cz., 1999: A discrete model for wave propaga-tion problems in periodic composite media. Visnyk Lviv Univ. Ser. Mech.-Math., 55, 64-70.
• 167.Rychlewska J., Szymczyk J., Woźniak Cz., 2000: A simplicial model for dynamie problems in periodic media. J. Theor. Appl. Mech., 38, 3-13.
• 168.Rychlewska J., Szymczyk J., Woźniak Cz., 2005: On the modelling of funkcionally graded laminated structures, Prace Nauk, Inst. Mat. i Inform. Pol. Częstochowskiej, Wyd. Pol. Częst., Częstochowa.
• 169.Rychlewska J., Woźniak Cz., Woźniak M., 2006: Modelling of functionally graded laminates revisited, Electr. J. of Pol. Agricult. Univ., Vol. 9, Iss. 2.
• 170.Rychlewska J., Woźniak Cz.,2006: Boundary layer phenomena in elastodynamics of functionally graded laminates, Arch. Mech. (przyjęty do publikacji).
• 171.Rychlewska J., Woźniak Cz.,2006: Elastodynamics of functionally graded laminates with interlaminar microefects, Physicochemical Mechanics of materials (przyjęty do publikacji).
• 172.Saigal S., Agrawal D.P., Staniśić M.M., 1987: Influence ofmoving masses on rectan-gularplate dynamics. Ing. Arch., 57, 3, 187-1967.
• 173.Sanchez-Palencia E., 1980: Non-homogeneous media and vibration theory. Lecture Notes in Physics, 127, Berlin, Springer Verlag.
• 174.Sathyamoorthy M., Chia C.Y., 1980: Effect oftranverse shear and rotatory inertia on large amplitude vibrations of anisotropic skew plates, J. Appl. Mech., 47, 1, 128-132 oraz 133-138.
• 175.Selezov I.T., 1959: Eąuations of motion of plates (in Ukrainian). Prikl. Mekh. 5, 4, 444-447.
• 176.Sokołowski M., 1957: Obliczanie stałych sprężystości dla płyt o ortotropii technicz­nej. Arch. Inżyn. Ląd., 3, 4, 457-485.
• 177.Sokołowski M., 1959: O granicy stosowalności hipotezy Kirchhoffa w teorii zginania płyt poprzecznie niejednorodnych warstwowych, Arch. Inż. Ląd., 5, 1,3-13.
• 178.Stavsky Y., 1965: On the theory of symmetrically heterogeneous plates having the same thickness variation of the elastic moduli. Topics in Applied Mechanics. (eds.): D. Abir, F. Ollendorff, M. Reiner. Amsterdam, 105-116.
• 179.Szlilard R., 1974: Theory and analysis of plates. Classical and numerical methods. Enlewood-Cliffs-New Jersey, Prentice-Hall, Inc.
• 180.Szymczyk J., Woźniak Cz., 2006: A contribution to the modelling of periodically laminated elastic solids, Electr. J. of Pol. Agricult. Univ., Vol. 9, Iss. 1.
• 181.Szymczyk J., Woźniak Cz., 2006: Continum modeling of of laminates with a slowly graded microstructure, Arch. Mech. (przyjęty do publikacji).
• 182.Telega J.J., 1992: Justification of a refined scaling of stiffnesses of Reissner plates with fine periodic structure, Math. Models Meth. Appl. Sci., 2, 375-406.
• 183.Telega J.J., Lewiński T., 1988: Homogenization of fissured Reissner-like plates, II. Convergence. Arch. Mech., 40, 119-134.
• 184.Timoshenko S., 1955: Vibrations problems in engineering, New York D. van Nor-strand.
• 185.Timoshenko S., Woinowsky-Krieger S., 1962: Teoria płyt i powłok. Warszawa, Arkady.
• 186.Toledano A., Murakami H., 1987: A high-order mixture model for periodic particu-late composites. Int. J. Solids Struct., 23, 989-1002.
• 187.Tomar J.S., 1963: On flexural vibrations of isotropic elastic thin square plates accord-ing to MindlkTs theory. Proc. Nat. Inst. Sci. India 29, Part A, No 2, 169-179.
• 188.Tomczyk B., 1999: Length-scale versus asymptotic model in dynamics of thin sub-structured cylindral shells. Visnyk Lviv Univ. Ser. Mech.-Math., 55, 40-50.
• 189.Tomczyk B., 2003: On the modelling ofthin uniperiodic cylindriccal shells. J. Theor. Appl. Mech., 41, 755-774.
• 190.Troitsky M.S., 1976: Stiffned plates. Bending, stability and vibrations. Amsterdam-Oxford-New York, Elsevier.
• 191.Uflyand Ya.S., 1948: Rasprostranenie voln pri poperechnykh kolebaniyakh sterzhnej iplastin. PMM, 12, 3, 287-300.
• 192.Vashakmadze T.S., 1983: K postroeniyu teorij anizotropnych plastin. Doki. Semibn. IPM im. I.N. Vekua. Izd. Tibilsk. Univ., 17, 18-23.
• 193.Vashakmadze T.S., 1984: K teorii plastin. Doki. Semin. IPM im. Vekua. Izd. Tibilis. Univ., 18,6-17.
• 194.Vibrations, 1992, Ed. S. Kaliski, PWN, Warszawa.
• 195.Vlasov B.F., 1957: Ob urameniyakh izgiba plastinok. Doki. AN Azerb. SSR, 13, 9, 955-959.
• 196.Vlasov B.F., 1957: Ob uravneniyakh izgiba plastinok. Izv. AN SSSR OTN, 12, 57-60.
• 197.Vlasov V.V., 1975: Metod nachafnych teorii uprugosti I stroitel'noj mekhaniki. Mo­skwa: Strojzdat.
• 198.Wągrowska M., Woźniak Cz., 1996: Macro-modeling of dynamie problems for vis-coelastic composite materials. Int. J. Engng. Sci., 35, 923-932.
• 199.Whitney J.M., Pagno N,J., 1970: Shear deformation in heterogeneous anisotropic plates, J. Appl. Mech., 37, 4, 1031-1036.
• 200.Wierzbicki E., 1993: On the wave propagation in micro-periodic elastic media. Buli. Pol. Acad. Sci., Tech. Sci., 41, 323-327.
• 201.Wierzbicki E., 1995: Nonlinear macro-micro dynamics of laminated structures. J. Theor. Appl. Mech., 33, 291-307.
• 202.Wierzbicki E., Woźniak Cz., 1999: Dispersive models of honeycomb based compos-ites. Visnyk Lviv. Univ. Ser. Mech.-Math., 55, 35-39.
• 203.Wierzbicki E., Woźniak Cz., 2000i: On the behaviour of honeycomb based composite solids. ActaMech., 141, 161-172.
• 204.Wierzbicki E., Woźniak Cz., 2000?: On the dynamics of combined piane periodic structures. Arch. Appl. Mech., 70, 387-398.
• 205.Wierzbicki E., Woźniak Cz., 2002: Continuum modelling and the internal instability of a certain periodic structures. Arch. Appl. Mech., 72, 451-457.
• 206.Wierzbicki E., Woźniak Cz., Woźniak M., 1995: Finite rotations in the refined mac-rodynamics of elastic composites. J. Theor. Appl. Mech., 32, 1, 15-25.
• 207.Wierzbicki E., Woźniak Cz., Woźniak M., 1996: Thermal stresses in elastodynamics of composite materials. Int. J. Engng. Sci., 35, 187-196.
• 208.Wierzbicki E., Woźniak Cz., Woźniak M., 1997: Stability of micro-periodic materials underfinite deformations. Arch. Mech., 49, 143-158.
• 209.Wierzbicki E., Woźniak Cz., Woźniak M., 2001: On the modeling oftransient micro-motions and near-boundary phenomena in a stratified elastic layer, Int. J. Engng. Sci., 39, 1429-1441.
• 210.Wierzbicki E., Woźniak Cz., Woźniak M., 2002: A microscopic model for the heat propagation in the microperiodic composite solid, Jour. Therm. Stresses, 25, 283-293,
• 211.Wierzbicki E., Woźniak Cz., Woźniak M., 2003: On elastodynamic of biperiodic composite media. J. Theor. Appl. Mech., 41, 289-304.
• 212.Woinowsky-Kreiger S., 1957: Zur Theorie schiefwinkliger Tragerroste. Ing. Archiv., 25, 5, 350-358.
• 213.Wojnar R., 1979: Stress eąuations of motion for Uflyend-Mindlin plate. Buli. Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Tech., 27, 8/9, 401-410.
• 214.Woźniak Cz., 1967i: Thermoelasticity of bodies with microstructure. Arch. Mech., 19, 335-365.
• 215.Woźniak Cz., 19672: Thermoelasticity of non-simple oriented materials. Int. J. Engng. Sci., 5, 605-612.
• 216.Woźniak Cz., 1969: Podstawy dynamiki ciał odksztalcalnych. Warszawa, PWN
• 217.Woźniak Cz., 1970: Siatkowe dźwigary powierzchniowe. PWN, Warszawa.
• 218.Woźniak Cz., 1993]: Macro-dynamics of elastic and visco-elastic microperiodic com-posites. J. Theor. Appl. Mech., 31, 763-770.
• 219.Woźniak Cz., 19932: Nonlinear macro-elastodynamics of micro-periodic composites. Buli. Pol. Ac. Sci., Tech. Sci., 41, 315-321.
• 220.Woźniak Cz., 19933: Refined macrodynamics of periodic structuresd. Arch. Mech., 45, 295-304.
• 221.Woźniak Cz., 1995: Microdynamics: continuum modelling the simple compositwe ma­terials. J. Theor. Appl. Mech., 33, 267-289.
• 222.Woźniak Cz., 1997: Internal variables in dynamics of composite solids with periodic microstructure. Arch. Mech., 49, 421-441.
• 223.Woźniak Cz., 1999j: A model for analysis of micro-heterogeneous solids (Tolerance averaging versus homogenization). Mechanik Berichte, 1.
• 224.Woźniak Cz., 19992: On dynamics of substructured shells. J. Theor. Appl. Mech. 37, 255-265.
• 225.Woźniak Cz., 2002: Macroscopic modeling of multi-periodic composites, Comptes Rendus de L'academia des Sciences, Mechaniąue 330, 267-272.
• 226.Woźniak Cz., Woźniak M., 1987: A generalization ofthe internal variable model for dynamics of solid with periodic microstructure, J. Theor. Appl. Mech., 35, 23-36.
• 227.Woźniak Cz., Woźniak M., 1995: Modelowanie w dynamice kompozytów. Teoria i za­stosowania, Prace IPPT, 25, Warszawa.
• 228.Woźniak Cz., Woźniak M., 1997: On the description of dynamie behaviour for micro-periodic solids, Phys. Chem. Mech. of Materials, 33, 23-36.
• 229.Woźniak Cz., Wierzbicki E., 2000: Averaging techniąues in thermomechanics of composite solids. Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej.
• 230.Woźniak Cz., Wierzbicki E., 2004: On dynamics of thin plates with aperiodic struc-ture. W: Theories of Plates and Shells, Critical Reviev and New Applications, Springer, 225-232.
• 231.Woźniak Cz., Wierzbicki E., Woźniak M., 2002: A macroscopic model for the heat propagation in the microperiodic composite solids. J. Therm. Stress., 25, 283-293.
• 232.Woźniak M., Wierzbicki E., Woźniak Cz., 2002: A macroscopic model ofthe diffusion and heat transfer processes in a periodically micro-stratified layer. Acta Mech., 175, 175-185.
• 233.Woźniak M., Wierzbicki E., Woźniak Cz., 2004: Macroscoping modelling of pre-stressed microperiodic media. Acta Mech. 173, 107-117.
• 234.Yakushev N.Z., Ulanova N.V„ 1979: Primenenie metoda nochal'nykh funktsij v zadachakh dinamiki plit srednej tolshchiny, nakhodyashchiksya v pole podrizhnych nagruzok. Issledovaniya po teoriiplastin i oboloczek. Kazan', 14, 216-224.
• 235.Yang P.C., Norris C.H., Stavsky Y., 1966: Elastic wave propagation in heterogeneous plates. Int. J. Solids. Struct., 2, 4, 665-684.
• 236.Zeeman E.C., 1965: The topology of the brain , w Biology and Medicine, Medical Re­search Council, 227-292.