Biliniowe modele ciągów czasowych w analizie sygnałów

• Autorzy: Bielińska E.

Warianty tytułu

EN

Bilinear time series in signal analysis

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Stochastyczne modele ciągów czasowych są stosowane w analizie sygnałów od końca lat sześćdziesiątych ubiegłego wieku. Niniejsza praca dotyczy wykorzystania elementarnych modeli biliniowych do analizy sygnałów. Modele ciągów czasowych (nazwane również modelami wyjściowymi lub sygnałowymi) zbudowane są na podstawie dostępnych obserwacji sygnałów wyjściowych, które według przyjętego założenia są jedynym źródłem informacji o procesie. Znajdują one przede wszystkim zastosowanie w modelowaniu i prognozowaniu sygnałów. Przedstawione w niniejszej rozprawie badania koncentrowały się wokół analizy właściwości elementarnych modeli biliniowych, możliwości i sposobu ich identyfikacji, a także zastosowania w prognozowaniu i regulacji procesów. Praca złożona jest z ośmiu rozdziałów i czterech dodatków, które zawierają szczegółowe wyprowadzenia i przykłady ilustrujące wybrane zagadnienia. W rozdziale drugim zdefiniowano s model i proces oraz ich podstawowe własności, w tym identyfikowalność. podatność predykcyjną i własności prognostyczne. Oba pojęcia, model i proces, używane w naukach technicznych wydają się intuicyjnie oczywiste, o ile dotyczą badań stosowanych. W badaniach teoretycznych i badaniach symulacyjnych często zaciera się granica między procesem, który sam stanowi swoisty model, a jego modelem. W związku z tym, czasem nie wiadomo, czy dyskutowane warunki np. stabilności, odwracalności, identyfikowalności, dotyczą procesu czy modelu procesu. W rozdziale zawarte są także definicje innych pojęć stosowanych w pracy (np. ciąg czasowy, biały szum, ciąg niezależny, momenty, estymatory momentów). Rozdział trzeci zawiera opis najczęściej stosowanych modeli stochastycznych ciągów czasowych. Ponieważ najpowszechniej stosowane są liniowe modele stochastyczne ciągów czasowych, część rozdziału poświęcona jest tym właśnie modelom, ich właściwościom i ograniczeniom. Druga część rozdziału poświęcona jest wybranym stochastycznym modelom nieliniowym. Rozdział czwarty poświęcony jest elementarnym procesom biliniowym. Dla sub-diagonalnych i diagonalnych elementarnych procesów biliniowych zostały podane analityczne zależności wiążące momenty i parametry procesów. Ogólne zależności obowiązują, przy założeniu że wejściem procesu biliniowego jest niedostępny pomiarowo, nieskorelowany ciąg czasowy, o zerowej wartości oczekiwanej i symetrycznym rozkładzie. Podano również szczególne zależności przy założeniu, że ciąg wejściowy ma rozkład normalny lub równomierny. Zależności te zostały wykorzystane przy identyfikacji modelu procesów w rozdziale siódmym. Ponieważ własności estymatorów momentów nieliniowego ciągu czasowego są bardzo trudne do oszacowania, pokazano własności estymatorów wynikające z badań symulacyjnych. Dla elementarnych procesów biliniowych znaleziono ich liniowe, gaussowskie odpowiedniki i porównano podatność predykcyjną procesów biliniowych i ich gaussowskich odpowiedników. Rozdział piąty dotyczy elementarnych modeli biliniowych. Przedyskutowano tu warunki stabilności i odwracalności modeli. Podano warunki identyfikowalności systemowej, które dla modeli subdiagonalnych nie zależą, a dla modeli diagonalnych zależą, od rozkładu pobudzenia. W rozdziale dyskutowane są również warunki identyfikowalności parametrycznej modeli. W rozdziale szóstym opisano metody pozwalające dokonać estymacji parametrów elementarnych modeli biliniowych. Najwięcej uwagi poświęcono metodom momentów - zwykłej i uogólnionej, podając algorytm, według którego można prowadzić identyfikację elementarnych modeli biliniowych. Rozdział siódmy poświęcony jest zastosowaniom elementarnych modeli biliniowych w symulacji, prognozowaniu i regulacji. W tym rozdziale wprowadzony jest model L - EB i na jego podstawie określony algorytm predykcji minimalizującej wariancję błędu predykcji, dla residuum przedstawionego modelem diagonalnym i sub-diagonalnym. Rozdział ósmy zawiera podsumowanie i wnioski. W dodatku A umieszczono wyprowadzenie zależności między momentami i parametrami elementarnych procesów biliniowych. Zależności mają charakter ogólny, z których, po przyjęciu założeń o rodzaju rozkładu pobudzenia, wynikają zależności podane w rozdziale piątym. W dodatku B podano przykłady identyfikacji elementarnych procesów biliniowych zwykłą metodą momentów, uogólnioną metodą momentów oraz metodą ELMS. Na podstawie umieszczonych wyników można porównać skuteczność metod identyfikacji z rozdziału siódmego, zweryfikować słuszność warunku identyfikowalności przedstawionego w rozdziale szóstym, a także zaobserwować własności estymatorów momentów, w zależności od parametrów procesu. W dodatku C zilustrowano możliwość wykorzystania modelu L - EB z rozdziału ósmego do modelowania sygnałów pochodzących z wybranych procesów technologii chemicznej oraz procesów biomedycznych. Doświadczenia prowadzone były w ten sposób, że na podstawie modelu matematycznego, danego dla każdego z procesów w postaci zbioru równań różniczkowych, generowano ciągły sygnał wyjściowy, uzyskany w wyniku pobudzenia modelu fenomenologicznego sygnałami wejściowymi z addytywnym zakłóceniem losowym. Sygnał wyjściowy, próbkowany z okresem próbkowania Ts stanowił ciąg obserwacji, dla którego starano się zidentyfikować model L - EB. Zamieszczone wyniki, obok przydatności modelu LsB, testują działanie metod identyfikacji elementarnych modeli biliniowych. Dodatek D zawiera przykłady zastosowania algorytmu predykcji biliniowej podanego w rozdziale ósmym. Przykłady działania algorytmu dla danych symulowanych mają na celu zilustrowanie poprawności działania algorytmu, w sytuacji gdy struktura procesu, z którego pochodzą dane, jest taka sama jak struktura predyktora, a także wtedy, gdy struktura procesu jest inna niż struktura zidentyfikowanego modelu, na podstawie którego został skonstruowany predyktor. Oprócz tych przykładów w dodatku D sprawdzono działanie zaproponowanej w pracy metodyki postępowania na wzorcowych danych (benchmark). dotyczących mierzonej aktywności słonecznej. Dane te są od lat testowane, a ich zbiór z każdym rokiem się powiększa. Mimo pozornej regularności wykazują silnie nieliniowe zachowanie i uważane są za trudne do prognozowania. Na zbiorze danych z lat 1700-1979 zidentyfikowano model L - EB i na jego podstawie zbudowano prognozy na lata 1980-2005. Wyniki porównano z prognozami uzyskanymi na podstawie nieliniowego modelu SET AR uzyskanego na tym samym zbiorze danych przez Tonga [118]. Ponadto porównano prognozy wielokrokowe na lata 1980-1984 i wyznaczono prognozy na lata 2006-2009.

EN

Stochastic time series models have been used in signal analysis since the sixties of the XX century. The monograph concerns elementary bilinear time series and their application in signal analysis. The time series models (named also output or signal models) arę functions of accessible process outputs, observed as a set of uniformly sampled data, which arę the one and only information on the process itself. They arę mainly applied in signals' modelling and prediction. The research, presented in this monograph, was concentrated on elementary bilinear models analysis, methods of their identification and application in process control and prediction. In Chapter 2 model and process were defined and their main attributes were discussed, including identifiability. prediction flexibility and prediction efficiency. In technical researches the process and the model arę intuitively distinguishable in the real world. However, in simulation studies they use to be mislead because the process itself is given as a model. That is why it is important to precise wether the stability, invertibility, identifiability and predictability concern the process or the model. In this chapter definitions of time series, white noise, independent time series, moments, moments' estimators arę reminded. Chapter 3 concerns stochastic time series models. Linear Stochastic time series models arę the most commonly used, therefore linear models, their attributes and limitations arę discussed in the first part of the chapter. In the second part some of nonlinear stochastic time series models arę presented. Chapter 4 is dedicated to elementary bilinear processes. Analytical relations between process moments and process parameters arę derived for diagonal and sub-diagonal elementary bilinear processes. In generał, they arę valid under assump-tion that unaccessible process input is uncorrelated and symmetrically distributed. The specific relations for Gaussian and uniform distributed process input arę also presented in the chapter. The derived relations have been applied to process models identification, described in Chapter 7. Theoretical analysis of the moments attribu-tes for non-linear processes is very difficult. Therefore the features of the moments' estimators were tested by simulations. In this chapter linear Gaussian equivalents of elementary bilłnear processes arę also defined. Prediction flexibility of bilłnear processes and their Gaussian equivalents arę compared. Chapter 5 concerns elementary bilinear models. Models' stability and invertibili-ty conditions arę discussed. System identifiability conditions (that for sub-diagonal processes arę independent and for diagonal processes - dependent upon the process input distribution) arę given. In the chapter parametric identifiability of the models is also discussed. In Chapter 6 methods of parameters' estimation for elementary bilinear models arę presented. Identification algorithms for simple and generalized methods of moments for elementary bilinear models arę formulated. Chapter 7 is dedicated to applications of elementary bilinear models in słmulation, prediction and control. Ań L - EB model is introduced and. on its basis, a bilinear minimum-variance prediction algorithm is derived, for model's residuum presented as diagonal and sub-diagonal model. In Chapter 8 the most important results were summarised. Determining of the analytical formulae that connect moments and elementary bilinear process parameters arę given in Appendix A. The formulae arę given in a generał form. Specific assumptions mąkę possible reduction formulae into a simplier form. Examples of identification of elementary bilinear processes with the use of the simple and the generalized method of moments as well as with the use of ELMS method arę presented in Appendix B. Included simulation results allow to compare the identification methods efficiency, to verify identifiability conditions (presented in Chapter 6) and to observe the features of the moments' estimators in dependence on the process parameters. In Appendix C time series coming from chemical and biomedical processes were modelled using the proposed in chapter 7 L-E B model. The time series were obtained after sampling a continuous signal that was the output of a phenomenological model of the process. The examples let to test not only usability of the L - EB, model but also practical aspects of elementary bilinear models Identification. Examples of applications of bilinear prediction algorithm arę given in Appendix D. Simulation studies have to illustrate the features of the prediction algorithm when the model structure is equal to, or differs from the predicted process structure. Besides, the methodology proposed in the monograph was checked using benchmark - sunspot number time series. Using set of data from the period 1700-1979, model L - EB was identified and applied to prediction for the years 1980-2005. The results were compared with the ones published by Tong, obtained on the basis of non-linear SET AR model [118]. Besides, multi-step predictions for the period 1980-1984 were compared and prediction for 2006-2009 were calculated.

Słowa kluczowe

PL

analiza sygnałów; modele procesów losowych; narma; Barma; tarma; ARCH; model GARCH; model biliniowy

EN

signal analysis; Random time series models; narma; Barma; tarma; arch; GARCH; bilinear model

• Wydawca: Wydawnictwo Politechniki Śląskiej
• Czasopismo: Zeszyty Naukowe. Automatyka / Politechnika Śląska
• Rocznik: 2007
• Tom: z. 148
• Strony: 1--200
• Opis fizyczny: bibliogr. 127 poz.

Twórcy

autor

Bielińska E.

• Instytut Automatyki Politechniki Śląskiej ul. Akademicka 16 44-100 Gliwice tel.: [phone],

Bibliografia

• [1] Abu-El-Magd M. A., SinhaN. K.: Modelling and forecasting short term load demand: a midtwariate approach. Automatica, Yol.18, Nr 3, 1982.
• [2] Anderson T. W.: The statistical analysis of Urnę series. J.Willey & Sons, London1971.
• [3] Anderson O. D. ed.: Time series. North Holland Publishing Company, 1980.
• [4] Anderson O. D. ed.: Analysing time series. North Holland Publishing Company, 1980.
• [5] Anderson O. D. (ed.): Time series analysis. North Holland Publishing Company, 1981.
• [6] Anderson O. D. ed.: Time series analysis: theory and practice 1. North Holland Publishing Company, 1981.
• [7] Anderson O. D. ed.: Applied time series analysis. North Holland Publishing Company, 1981.
• [8] Anderson O. D. ed.: Time series analysis: theory and practice 2. North Holland Publishing Company, 1983.
• [9] Anderson O. D. ed.: Time series analysis: theory and practice 3. North Holland Publishing Company, 1983.
• [10] Anderson O. D. ed.: Time series analysis: theory and practice 4- Elsevier Science Publishers, Berliner-Verlag, 1983.
• [11] Anderson O. D. ed.: Time series analysis: theory and practice 5. North Holland Publishing Company, 1984.
• [12] Anderson B. D., Moore J. B.: Filtracja optymalna. WNT, Warszawa 1984.
• [13] Astrom K.J.: Introduction to Stochastic Control Theory, Academic Press, New York 1970.
• [14] Bendat J., Piersol A. G.: Metody analizy i pomiaru sygnałów losowych. PWN, Warszawa 1976.
• [15] Benveniste A., Goursat M., Ruget G.: Robust identification of a nonminimum phase system. Blind adjustment of linear equalizer in data Communications. IEEE Trans-actions on Automatic Control, Vol. AC-25, 1980.
• [16] Bielińska E.: Próba określenia rozkładu stężeń jonów SO4 w reaktorze ekstrakcji na ilość nierozlożonej rudy apatytowej. Materiały IX Seminarium Naukowo-Technicznego "Prace rozwojowe dla potrzeb przemysłu ekstrakcyjnego kwasu fosforowego", Karpacz 1976.
• [17] Bielińska E.: Wykorzystanie bilansowania węzła ekstrakcji w stanach nieustalonych dla celów operatywnego sterowania WKF. Materiały X Seminarium Naukowo-Technicznego "Prace rozwojowe dla potrzeb przemysłu ekstrakcyjnego kwasu fosforowego", Szklarska Poręba 1977.
• [18] Bielińska E.: Zależność efektywności predykcji minimalnowariancyjnej od dokładności pomiaru zmiennej prognozowanej. PAK, nr 5-6, Warszawa 1982.
• [19] Bielińska E. Ań investigation of optimal self-tuning predictor for process variables prediction in chemical technological processes. Scientific Papers of the Institute of Inorganic Technology and Minerał Fertilizers, No. 24, Wrocław 1982.
• [20] Bielińska E.: Designing of predicted algorithms for operate control systems. Proceedings of 4-th IFAC Symposium on MMM, Helsinki 1983.
• [21] Bielińska E.: Application of multistep predictors in complex chemical process. 8th International Congress of Chemical Engineering, Chemical Eąuipment Design and Automation, CHISA'84, Praha 1984.
• [22] Bielińska E.: Metoda bieżącej predykcji metanu w wyrobiskach kopalnianych. Materiały konferencyjne: Technika mikroprocesorowa w systemach kontroli i sterowania procesami technologicznymi zakładów górniczych, Katowice 1985.
• [23] Bielińska E.: Flexible analysis of time series in research, development and control of phosphoric acid plant by wet method. IX International Congress of Chemical Engineering, Chemical Eąuipment Design and Automation, CHISA'87, Praha 1987.
• [24] Bielińska E.: Adaptwe prediction of nonstationary signals with trend - a useful tool for chemical process analysis . IX International Congress of Chemical Engineering, Chemical Eąuipment Design and Automation, CHISA'87, Praha 1987.
• [25] Bielińska E.: Przegląd metod prognozowania zjawisk opisywanych modelami stochastycznych ciągów czasowych. Prace Naukoznawcze i Prognostyczne. Prognozowanie, nr 4, Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1989.
• [26] Bielińska E.: Minimumvariance bilinar prediction. Proceeding of 11th IFAC World Congress, Vol. 3, Tallinn 1900.
• [27] Bielińska E., Metoda określania horyzontu efektywnej predykcji. Prace Naukoznawcze i Prognostyczne. Prognozowanie, nr 3, Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1990.
• [28] Bielińska E.: Wielokrokowa predykcja ciągów czasowych. Badania Operacyjne i Decyzje, nr l, Wrocław 1991.
• [29] Bielińska E., Figwer J.: Analiza identyfikacja i predykcja ciągów czasowych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1991.
• [30] Błelińska E., Nabagło L: Can we improve human safety using bilinear models for technological process? Proceedings of IFAC Smposium "On-line fault detection and supervisłon in the chemical process industries" , Newark, Delaware 1992.
• [31] Bielińska E., Minimum variance prediction of bilinear time series - direct and adap-twe version. Journal of Forecasting, Vol.l2, 1992.
• [32] Bielińska E.: Adaptive prediction of bilinear time series - problems of identification and numerical realisation. Proceedings of the 10-th IFAC symposium on system identification, Vol.2, Copenhagen 1994.
• [33] Bielińska E., Nabagło L: Comparison of different methods of bilinear time series prediction. Proc. of the third IEEE conference on control applications, Vol.3, Glasgow 1994.
• [34] Bielińska E., Nabagło L: Modyfikacja metody ELS dla identyfikacji biliniowych modeli ciągów czasowych. ZN Politechniki Śląskiej, seria: Automatyka, Z. 108, Gliwice 1994
• [35] Bielińska E.: Nonlinear MV Control. Proceedings of IFAC-IFIP-IMACS Conference, Vol. 2, Belfort 1997.
• [36] Bielińska E.: Application of Bilinear Models in MV Control. Preprints of Dycomans Workshop IV - Control and Management in Computer Integrated Systems, Zakopane 1997.
• [37] Bielińska E.: Adaptive non-linear control. Proceedings of the Fifth International Symposium on Methods and Models in Automation and Robotics, Vol. 2, Międzyzdroje 1998.
• [38] Bielińska E.: Minimalno-wariancyjna regulacja obiektów nieliniowych. Materiały Konferencyjne XIII KKA, Vol. l, Oficyna Wydawnicza Politechniki Opolskiej, Opole 1999.
• [39] Bielińska E., Zieliński B.: Bilinear models in adaptive control. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, Vol.l4, 2000.
• [40] Bielinska E.: Metody prognozowania. Wydawnictwo Naukowe "Śląsk", Katowice 2002.
• [41] Bielinska E.: Identyfikowalność elementarnych modeli biliniowych. Materiały XV Krajowej Konferencji Automatyki, Warszawa 2005.
• [42] Bielinska E.: Identification of a mixed linear-bilinear diagonal time series model. Systems Science, No. 3, Vol.31, Wrocław 2005.
• [43] Bielinska E.: Elementary bilinear time series in signal analysis. 12th IEEE International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics, Międzyzdroje 2006.
• [44] Bielinska E.: Prognozowanie ciągów czasowych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2007. [45] Billings S.A., Chen S.: Extended model set, global data and threshold model identification of severely non-linear systems. International Journal of Control, Vol. 50, No.5, 1989.
• [46] Bohlin T.: Interactive System Identification: Prospects and Pitfalls. Springer-Yerlag, Berlin 1991. [47] Bollerslev T.: Generalized autoregressive Conditional Heteroskedasticity, Journal of Econometrics. Vol. 31, 1986.
• [48] Bollersley T., Ghysels E.: Periodic autoregressive Conditional Heteroscedasticity. Journal of Business and Economic Statistics, Vol. 14, 1996.
• [49] Bollerslev T., Wooldridge J.M.: Quasi Maximum Likelihood Estimation and Inference in Dynamic Models with Time Yarying Covariances. Econometric Reviews, Vol. 11 1992.
• [50] Bond S., Bowsher C., Windmeijer F.: Criterion-based inference for GMM in autoregressive panel data models. Economic Letters, Vol.73, 2001.
• [51] Box G. E. P, Jenkins G. M.: Analiza szeregów czasowych. PWN, Warszawa 1983.
• [52] Brooks C.: Linear and nonlinear (non-) forecast ability of high frequency exchange rates. Journal of forecasting, Vol.l6, 1997.
• [53] A.Brunner, G. D.Hess: Potential problems in estimating bilinear time-series models. Journal of Economic Dynamics & Control, Vol. 19, 1995.
• [54] Buckley P. S.: Techniques of process control. John Wiley &; Sons, 1975.
• [55] Chen S., Billings S. A.: Representations of nonlinear systems: the NARMAK model. International Journal of Control, Vol.49, 1989.
• [56] S.Chen, S.A.Billings: Modeling and analysis of nonlinear time series. International Journal of Control, Vol.49, 1989.
• [57] Cinar A.: Nonlinear time series models for multivariable dynamie processes. http://www.emsl.pnl.gov/docs/incinc/d3/raamsj/s/ACdoc.html
• [58] Dai H., Sinha N. K.: Robust recurswe least sguares method with modified weights for bilinear system identification. IEE Proceedings, Vol.l36, No. 3, 1989.
• [59] Denis-Vidal L., Joly-Blanchard G., Noiret C.: Some effektwe approaches to check the identifiably of uncontrolled nonlinear systems. Mathematics and computer simulation, Vol.57, 2001.
• [60] Denis-Vidal L., Joly-Blanchard G.: Equivalence and identifiably analysis of uncontrolled nonlinear dynamical systems. Automatica, Vol. 40, 2004.
• [61] Encyklopedia Techniki. Chemia. WNT, Warszawa 1966.
• [62] Engle R.F.: Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation. Econometrica, Vol. 50, 1982.
• [63] Eykhoff P.: Identyfikacja w układach dynamicznych. PWN, Warszawa 1980.
• [64] Faff R., Gray P.: On the estimation and comparison of short-rate models using the generalised method of moments. Journal of Banking & Finance, Vol.30, 2006.
• [65] Friedly J. C.: Analiza dynamiki procesów. WNT, Warszawa 1975.
• [66] Gichman L L, Skorochod A.W.: Wstęp do teorii procesów stochastycznych. PWN, Warszawa 1968.
• [67] Goldberger A. S.: Teoria ekonometrii. PWE, Warszawa 1972.
• [68] de Gooijer J. G., Heuts R. M.: Higher order moments of bilinear time series processes with simetrically distributed errors. Proceedings of Second International Tampere Conference in Statistics, Finland, 1987.
• [69] Gourieroux C., Monfort A., Renault E.: Two-stage generalized moment method with applications to regressions with heteroscedasticity of unknown form. Journal of Statistical Planning and Interference, Vol.50, 1996.
• [70] Grabiński T., Wydymus S., Zeliaś A.: Metody doboru zmiennych w modelach ekonometrycznych. PWN, Warszawa 1982.
• [71] Granger C. W., Newbold P.: Forecasting economic time series. Academic Press, 1977.
• [72] Granger C. W., Andersen A.: Non-linear time series rnodelling. [in:] Applied Time Series Analysis, Academic Press, 1978.
• [73] Granger C.W., Terasvirta T.: Modelling nonlinear Economic Relationships. Oxford University Press, 1993.
• [74] Granger C.W.: Overview of nonlinear time series specification in economics. Raport: Department of Economics University of California, San Diego La Jolla, CA 92093-0508, USA, 1998.
• [75] Graupe D.: Identification and adaptwe filtering. Robert E.Krieger Publishing Company, Florida 1984.
• [76] Greblicki W.: Non-parametric orthogonal series Identification of Hammerstein systems. International Journal of System Sciences, Vol. 20, 1989.
• [77] Greblicki W.: Nonparametric identification of Wiener systems by orthogonal series. IEEE Transaction on Automatic Control, Vol 39, 1994.
• [78] Grigoriu M.: Applied non-gaussian processes. Prentice Hali, 1995.
• [79] Haber R., Unbehauen H.: Structure identification of nonlinear dynamic systems - a survey on input/output approaches. Automatica, Vol.24, No.4, 1990.
• [80] Hasiewicz Z.: Hammerstein system identification by the Haar multiresolution approximation. Int.J. of Adaptive Control and Signal Processing, Vol.l3, 1999.
• [81] Isermann E., Lachmann K. and Matko D.: Adaptwe control systems. Prentice Hall, 1992.
• [82] Janczak A.: Identification of Wiener and Hammerstein systems with neural network and polynomial models. University of Zielona Góra Press, Zielona Góra 2003.
• [83] Joly-Blanchard G., Denis-Vidal L.: Some remarks about an identifiability result of nonlinear systems. Automatica, Vol. 34, 1998.
• [84] De Keyser R. M., Van Cauvernberge A. R.: A self tuning multistep predictor application. Automatica, Vol.l7, No. l, 1981.
• [85] Korn G., Korn T.: Sprawocznik po matematikie. Wydawnictwo Nauka, Moskwa 1973.
• [86] Kormylo J. J., Mendel J. M: Identifiability of nonminimum phase linear stochastic systems. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol.AC-28, No. 12, 1983.
• [87] Kramer M., Rosenblatt M.: The Gaussian log likehood and stationary seguences. [in:] Developments in time series analysis, Suba Rao T. - (ed), Chapman & Hali, 1993.
• [88] Ljung L.: System Identification. Theory for the users. Prentice Hali, 1987.
• [89] Mathews J., Lee J.: Techniqv.es for bilinear time series analysis. Proceedings of Twenty Seventh Annual Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers, Pacific Grove, California, November 1993.
• [90] Mathews J., Moon T.K.: Parameter estimation for bilinear time series model. Proceedings of IEEE International Conference on Acoustic, Speech, Signal Proceesing, Toronto, May 1991.
• [91] Martineau K. J., Burnham K. J.: Four term bilinear PID controller applied to an industrial furnance. Control Engineering Practice, Vol.l2, 2004.
• [92] Martins C. M.: A note on the third order moment structure of a bilinear model with non independent shocks. Portugaliae Mathematica, Vol.56, 1999.
• [93] Martins C. M.: A note on the autocorrelations related to a bilinear model with non-independent shocks. Statistics & Probability Letters, Vol.36, 1997.
• [94] Melsa J. M., Sage A. P.: An introduction to probability and stochastic processes. Prentice Hall, 1973.
• [95] Meditch J.S.: Estymacja i sterowanie statystycznie optymalne w układach liniowych. WNT, Warszawa 1975.
• [96] Miller S. L., Cilders D. G.: Probability and rondom processes. Elsevier Academic Press, 2004.
• [97] Mitra S. K.: Digital signal processing. McGraw-Hill I.E., 2001.
• [98] R. R.Mohler: Nonlinear systems. Vol.II. Applications to bilinear Control. Prentice Hall, 1991.
• [99] Niederliński A., Mościński J., Ogonowski Z.: Regulacja adaptacyjna PWN, Warszawa 1995.
• [100] Nikias C.L., Petropulu A.C.: Higher order spectra analysis. A nonlinear signal processing framework. Prentice Hall, 1993.
• [101] Nise N.S.: Control systems engineering. John Wiley &: Sons, New York 2000.
• [102] Oderfeld J.: Badania statystyczne, [w:] Elementy nowoczesnej matematyki dla inżynierów (red.) Steinhaus H. PWN, Warszawa 1971.
• [103] Osowski S.: Sieci neuronowe do przetwarzania informacji. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2000.
• [104] Priestley M.B.: Spectral analysis and time series. Academic Press, 1980.
• [105] Rutkowski L.: Metody i techniki sztucznej inteligencji. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.
• [106] Saccomani M.P., Audoly S., D'Angio L.: Parameter identifiability of nonlinear systems: the role of initial conditions. Automatica, Vol.39, 2003.
• [107] Socha L.: Równania momentów w stochastycznych układach dynamicznych. PWN, Warszawa 1993.
• [108] Soderstrom T., Stoica P.: Identyfikacja systemów. PWN, Warszawa 1997.
• [109] Schweppe F.: Uklady dynamiczne w warunkach losowych. WNT, Warszawa 1978.
• [110] Studziński J.: Identyfikacja, symulacja i sterowanie oczyszczalniami ścieków. Badania Systemowe, Vol.35, Warszawa 2004.
• [111] Subba Rao T.: On the theory of bilinear models. Journal of Royal Statistics Socciety, Vol. B, No.43, 1981.
• [112] Svoronos S., Stephanopoulos S. and Aris R.: On bilinear estimation and control. International Journal of Control, 1981.
• [113] Tadeusiewicz R.: Sieci neuronowe. Akademicka Oficyna Wydawnicza, Warszawa 1993.
• [114] Tang Z., Mohler R. R.: Bilinear time series: Theory and application.[in: Lecture notes in control and information sciences, Vol. l06, 1988.
• [115] Terui Nobuhiko, van Dijk H. K.: Combined forecast from linear and nonlinear time series models. International Journal of forecasting, No. 18, 2002.
• [116] Therrien C. W.: Discrete rundom signals and statistical signal processing. Prentice Hall International Editions, 1992.
• [117] Thiel H.: Zasady ekonometrii. PWN, Warszawa 1979.
• [118] Tong H.: Non-linear time series. Clarendon Press, Oxford 1993.
• [119] Tuzlukov V.P.: Signal processing noise. CRC Press LLC, 2002.
• [120] Valenzuela H.M., Bose N.K.: Bilinear time series in non-gaussian signal modelling. Fifth ASSP Workshop on Spectrum Estimation and Modelling, 1990.
• [121] Walter E., Pronzato L.: On the identifiability and distinguishability of nonlinear parametric models. Mathematics and computers in simulation, Vol.42, 1996.
• [122] Wellstead P.E., Zarrop M. B.: Self-tuning Systems. Control and Signal Processing. J.Willey & Sons, London 1991.
• [123] Wittenmark B.: A self-tuning predictor. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. AC-19, No. 6, 1974.
• [124] Wu Berlin: Model-free forecasting for nonlinear time series (with application to exchange rates) Computational Statistics and Data Analysis, Vol. 19, North-Holland 1995.
• [125] Wu Berlin, Shu-Lin Hung: A fuzzy identification procedure for nonlinear time series: with eiample on ARCH and bilinear models. Fuzzy sets and systems, Vol. 108, Elsevier Science 1999.
• [126] Xia X., Moog C. H.: Identifiability of nonlinear systems with application to HIV'/AIDS models. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol.48, No.2, 2003.
• [127] Yaffee R.: Introduction to time series analysis and forecasting. Academic Press, 2000.