Metody analizy numerycznej w badaniach zbiorów osiągalnych układów dynamicznych

Respondek, J.S.

Powiadomienia systemowe

Sesja wygasła!
Sesja wygasła!

Artykuł - szczegóły

Tytuł artykułu

Metody analizy numerycznej w badaniach zbiorów osiągalnych układów dynamicznych

Autorzy

Respondek J.S.

Identyfikatory

Warianty tytułu

Numerical analysis in the dynamical system attainable sets research

Języki publikacji

Abstrakty

Przedmiotem rozprawy jest wprowadzenie metod numerycznych do zagadnień dotyczących jakościowych własności układów dynamicznych, które dotychczas były przedmiotem rozważań jedynie na drodze czysto analitycznej. W rozprawie wykorzystano zarówno klasyczne metody numeryczne znane z literatury (jak metoda prostych wykorzystana do dyskretyzacji równania różniczkowego cząstkowego w rozdziale 7), jak i wprowadzono zupełnie nowe algorytmy służące numerycznemu rozwiązaniu wybranej klasy równań diofantycznych, obliczaniu wielomianów symetrycznych podstawowych oraz odwracaniu konfluentnych macierzy Vandermonde'a. Rozdział 1 jest wprowadzeniem do rozprawy. Przedstawiono w nim opracowania Komitetu Informatyki PAN, określające analizę numeryczną jako dyscyplinę w dziedzinie informatyki. Następnie sformułowano cel rozprawy. Rozdział kończy przegląd problemów niniejszej rozprawy. Rozdział 2 jest poświęcony znalezieniu algorytmu rozwiązującego pewną klasę równań diofantycznych. Równanie będące przedmiotem analizy modeluje problem znajdywania n-tek liczb naturalnych, generujących równe sumy kwadratów liczb całkowitych w kombinacji liniowej o dodatnich współczynnikach. Podzbiór liczb naturalnych, w którym poszukujemy rozwiązań równania, jest ograniczony odgórnie przez daną stałą Na początku rozdziału 2 przypomniano najważniejsze z pojęć analizy algorytmów (złożoność obliczeniowa) oraz teorii błędów (błędy zaokrągleń) koniecznych do analizy własności uzyskanego w rozdziale algorytmu, rozwiązującego rozważane równanie diofantyczne. Zasadniczą częścią rozdziału jest poszukiwanie oraz optymalizacja odpowiedniego algorytmu. Ważną częścią rozdziału jest eliminacja rozwiązań symetrycznych równania diofantycznego, tj. takich, w których występuje ta sama para n-tek, ale zamienionych stronami. Rozważania dopełnia treść algorytmu w pseudokodzie, wyznaczenie jego złożoności czasowej oraz analiza błędów obliczeń. Oprócz tego w rozdziale pokazano, jak wprowadzony algorytm wykorzystać do określenia krotności n-tek, generujących równe sumy kwadratów w kombinacji liniowej. Znalazło to zastosowanie w kolejnych rozdziałach rozprawy. Działanie algorytmu pokazano na przykładzie liczbowym, przedstawiając w tabeli wszystkie kolejne wartości zmiennych roboczych algorytmu oraz odpowiadających im rozwiązań. Rozdział kończy praktyczny test efektywności obliczeniowej algorytmu, przedstawiony w postaci wykresu obrazującego czasy jego wykonania w funkcji górnego ograniczenia dziedziny równania. W rozdziale 3 przedstawiono zastosowanie algorytmu rozwiązywania równania diofantycznego do analizy zbiorów osiągalnych układu dynamicznego o parametrach rozłożonych, danego równaniem różniczkowym cząstkowym typu parabolicznego. Rozważono zerowe warunki brzegowe typu Dirichleta oraz dziedzinę równania w postaci n-wymiarowego wielościanu. Jak wykazano, wartości własne operatora różniczkowego Laplace'a, występującego w badanym równaniu, są proporcjonalne do stron rozwiązywanego w rozdziale 2 równania diofantycznego. Dzięki temu jest możliwe wyznaczenie ich krotności na podstawie algorytmu z rozdziału 2. W rozdziale 3 przedstawiono model matematyczny rozważanego układu parabolicznego, zdefiniowano odpowiednie operatory: różniczkowy stanu oraz macierzowy wejścia i wykonano dekompozycję spektralną układu. W ten sposób wyjściowy układ nieskończenie wymiarowy zastąpiono równoważnym nieskończonym ciągiem układów skończenie wymiarowych, który stanowił punkt wyjścia do dalszych badań. Następnie zbudowano algorytm numeryczny, służący badaniu zbiorów osiągalnych rozważanego układu dynamicznego. Wykorzystano w nim algorytm rozwiązywania równań diofantycznych z rozdziału 2. Na zakończenie wyznaczono zbiory osiągalne dla konkretnego przykładu układu dynamicznego. Rozdział 4 jest poświęcony zbudowaniu efektywnego algorytmu obliczania wielomianów symetrycznych podstawowych. Wielomiany te pozwalają na obliczenie współczynników występujących przy kolejnych potęgach argumentu wielomianu. Ponadto, znajdują one zastosowanie w konstrukcji algorytmu odwracania konfluentnych macierzy Vandermonde'a. W rozdziale 5 skonstruowano algorytm odwracania konfluentnych macierzy Vandermonde'a. Ich budowa różni się od klasycznej postaci macierzy Vandermonde'a tym, że w kolumnach konfluentnej macierzy Vandermonde'a, oprócz kolejnych potęg różnych pierwiastków, znajdują się pochodne tychże kolumn. W konstrukcji algorytmu korzysta się z przedstawionego w poprzednim rozdziale algorytmu obliczania wielomianów symetrycznych podstawowych. Sam algorytm znajduje zastosowanie w analizie własności liniowych układów dynamicznych o dowolnym stopniu pochodnych względem czasu, czemu poświęcono kolejny rozdział. W rozdziale 6 zastosowano algorytm obliczania wielomianów symetrycznych podstawowych oraz algorytm odwracania uogólnionych macierzy Vandermonde'a w analizie wybranych własności układów dynamicznych. Jako badaną własność obrano kilka rodzajów sterowalności. Główną innowacją rozdziału jest przeprowadzenie badań dla dowolnego, n-tego stopnia badanego układu dynamicznego względem czasu. Ponadto, udowodnione kryteria stosuje się do najogólniejszej postaci rozważanego układu, o dowolnej krotności każdej z wartości własnych jego równania charakterystycznego. Uzyskanie tak ogólnych wyników było możliwe dzięki zastosowaniu wyżej wymienionych algorytmów. Na koniec rozdziału zastosowano uzyskane w rozdziale wyniki do analizy własności elastycznej belki. Rozdział 7 zajmuje się numerycznym wyznaczaniem zbiorów osiągalnych układów dynamicznych, modelowanych za pomocą równań różniczkowych cząstkowych typu parabolicznego. Główną innowacją przeprowadzonych badań jest założonie realistycznych, obustronnych (tj. odgórnych i oddolnych) ograniczeń funkcji wymuszającej. Najpierw zdyskretyzowano analizowane równanie różniczkowe cząstkowe za pomocą metody numerycznej prostych. Następnie wyznaczono funkcję podporową układu oraz spektrum macierzy stanu oraz zastosowano do nich odpowiednie kryterium wyznaczania zbiorów osiągalnych przy ograniczonej funkcji wymuszającej. Uzyskany wynik zilustrowano kilkoma wykresami dla dwóch konkretnych postaci funkcji wymuszających. Należy podkreślić, że główna innowacja rozdziału, tj. wykonane badania zbiorów osiągalnych przy realistycznych ograniczeniach na funkcję wymuszającą była możliwa dzięki zastosowaniu odpowiednio dobranej metody numerycznej rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Rozdział stanowi ilustrację połączenia w całość metod numerycznych i klasycznych wyników analitycznych, prowadzących do nowych, bardziej realistycznych wyników w nauce. Rozdział 8 stanowi podsumowanie rezultatów przedstawionych w niniejszej rozprawie.

The objective of this book is introducing numerical methods into issues pertaining the qualitative dynamical systems properties, which so far have been analyzed only by purely analytical methods. In the book we used classical numerical methods known from literature (i.e. the line method used for the discretization of the partial differential equation in chapter 7) and introduced new algorithms, designed for numerical solving of a selected class of the diophantine equations, elementary symmetrical polynomials calculation and the confluent Vandermonde matrices inversion calculating. Chapter 1 contains the introduction to the book. It features the works of the Computer Science Committee of the Polish Academy of Sciences defining the numerical analysis as a part of the computer science discipline. Next, the objective of the book is formulated. The chapter is finalized by the survey of the issues of the book. Chapter 2 is devoted to finding an algorithm for solving a certain class of diophantine equations. The analyzed equation models the problem of finding the n-ths which generate equal sums of the squares of the integer numbers in the linear combination with positive coefficients. The subset of natural numbers, in which we are looking for solutions, is constrained to a given maximum number. At the beginning of chapter 2 we referred to the basie notions of the algorithms analysis (computational complexity) and the errors theory (rounding errors) necessary in the analysis of equation properties presented in the chapter, solving the considered diophantine equation. The main part of the chapter is searching for and optimization of the proper algorithm. A separate item is devoted to the elimination of symmetrical solutions, i.e. solutions with the same couple of n-ths but with swapped sides. Those calculations are followed by the code of the algorithm, calculation complexity determination and computational errors analysis. Additionally, in this chapter we showed how the application of the presented algorithm is used to calculate the multiplicities of the n-ths which generate equal sums of the squares in the linear combination. We showed the operation of the algorithm on a particular example, i.e. placing in the table all values of the loops working variables and solutions in the sequence corresponding with those variables. The chapter is completed by the computational effectiveness test presented in the form of a graph. The graph shows the times of the algorithm execution in the dependency of the upper constraint of the equation domain. In chapter 3 we presented the application of the diophantine equation solving algorithm in the attainable sets analysis of a distributed parameter dynamical system, described by a parabolic-type partial differential equation. We considered the zero Dirichlet-type boundary condition and n-dimensional rectangular prism equation domain. We showed that the eigenvalues of the Laplace differential operator, existing in the analyzed equation, are proportional to the sides of the diophantine equation, solved in chapter 2. This way, one can calculate the multiplicities with the use of the algorithm presented in chapter 2. In chapter 3 we presented a mathematical model of the considered parabolic system, defined the proper state differential operator and matrix input operator, and performed the spectral decomposition of the system. Thus we have the infinite dimensional system in the corresponding form of the infinite series of finite dimensional systems, convenient for further analysis. Next, we constructed the numerical algorithm for the attainable sets analysis of the dynamical system in question. In that algorithm we made use of the algorithm presented in chapter 2. Finally, we calculated the attainable sets for the particular dynamical system. Chapter 4 devoted to building the effective elementary symmetrical polynomials calculation algorithm building. Those polynomials enable to calculate the subsequent powers polynomial argument coefficients. Moreover, they are used in the construction of the confluent Vandermonde matrix inverse calculation algorithm. In chapter 5 we constructed the confluent Vandermonde matrices inverse calculation algorithm. Their structure differs from the classical Vandermonde matrix, as in the columns of the confluent Vandermonde matrix, apart from the subsequent powers of the different roots, there are also their derivatives. In the construction of the algorithm we made use of the elementary symmetrical polynomials calculation algorithm, presented in the previous chapter. The constructed algorithm can be applied in the analysis of the arbitrary order with respect to time derivatives dynamical system. Next chapter is devoted to that issue. In chapter 6 we applied the elementary symmetrical polynomials calculation algorithm as well as the confluent Vandermonde matrix inverse calculation algorithm to the research of the selected dynamical systems properties. For the investigated property we chose a few kinds of controllability. The main innovation of the chapter is that the research results hold true for the arbitrary order with respect to time derivatives. Moreover, the given criteria pertain to the most general form of the analyzed system, with arbitrary characteristic equation eigeiwalues multiplicities. Deriving such general results was possible thanks to the above described algorithms. At the end of the chapter we showed how to use the obtained results in the elastic beam properties analysis. In chapter 7 we performed a numerical analysis of the dynamical systems attainable sets, modeled by the parabolic-type partial differential equations. The main innovation of the performed research is taking into account realistic, both-side (i.e. upper and lower) constraints of the excitation function. First, we discretized the analyzed partial differential equation by means of the line numerical method. Next, the support function and the spectrum of the state matrix were derived and the attainable sets determination criterion with constrained excitation function was applied. The received outcome was illustrated by two graphs for two particular cases of the excitation function. It should be pointed out that the main innovation of the chapter, i.e. performed attainable sets research considering realistic excitation function constraints, was received thanks to the use of a precisely selected numerical method of the partial differential equations solving. The chapter can be an illustration for combining the numerical methods and classical analytical results, leading to new, more realistic outcomes in science. Chapter 8 is the summary of the book results.

Słowa kluczowe

analiza numeryczna układ dynamiczny zbiór osiągalny równanie diofantyczne

numerical analysis dynamical system attainable set diophantine equation

Wydawca

Wydawnictwo Politechniki Śląskiej

Czasopismo

Studia Informatica

Rocznik

2011

Tom

Vol. 32, nr 4C

Strony

3--123

Opis fizyczny

Bibliogr. 141 poz.

Twórcy

autor

Respondek J.S.

Politechnika Śląska, Instytut Informatyki Gliwice, Akademicka 16, pokój 518, jerzy.respondek@polsl.pl

Bibliografia

1. Aho A. V., Hopcroft J. E., Ullman J. D.: Data structures and algorithms. Addison-Wesley, New York 1983.
2. Alagić S., Arbib M. A.: Projektowanie programów poprawnych i dobrze zbudowanych. WNT, Warszawa 1982.
3. Alotaibi S., Sen M., Goodwine B., Yang K. T.: Controllability of cross-flow heat exchangers. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2004, Vol. 47, s. 913-924.
4. Baker A.: A concise introduction to the theory of numbers. Cambridge University Press, Cambridge 1984.
5. Bartosiewicz Z.: Partially defined control systems. Controllability and stabilizability. Applied Mathematics and Computer Science, 1995, Vol. 5, s. 481-490.
6. Bellman R.: Introduction to matrix analysis. Mcgraw-Hill Book Company, New York 1960.
7. Brammer R. F.: Controllability in linear autonomous systems with positive controllers. SIAM Journal on Control and Optimization, 1972, Vol. 10 (2), s. 339-353.
8. Budak B. M., Samarski A. A., Tichonow A. N.: Zadania i problemy fizyki matematycznej. PWN, Warszawa 1965.
9. Butkowskij A. G.: Charakteristiki sistiem s raspriedieliennymi paramietrami. Sprawocznoje posobie, Nauka, Gławnaja redakcja fizyko-matematiczeskoj literatury, Moskwa 1979.
10. Chen C: Introduction to linear systems theory. Holt, Rinehard and Winston Inc., New York 1970.
11. Chen S., Russell D.: A mathematical model for linear elastic systems with structural damping. Quaterly of Applied Mathematics, 1982, Vol. 39, s. 433-454.
12. Curtain R., Zwart H: An introduction to infinite-dimensional linear systems theory. Springer-Verlag, New York 1995.
13. Dahl O. J., Dijkstra E. W., Hoare C. A. R.: Structured programming. Academic Press, London 1972.
14. Davison E. J., Wang S. H.: New results on the controllability and observability of general composite systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 1975, Vol. 20, s. 123-128.
15. 15. Delfour M., Mitter S.: Controllability, observability for infmite dimensional systems. SIAM Journal on Control and Optimization, 1972, Vol. 10, s. 329-333.
16. Demidowicz B. L., Maron LA.: Metody numeryczne. PWN, Warszawa 1965, T. 1.
17. Demidowicz B. L., Maron I.A., Szuwałowa E.J.: Metody numeryczne. PWN, Warszawa 1965, T. 2.
18. Dijkstra E. W.: Umiejętność programowania. WNT, Warszawa 1985.
19. El-Mikkawy M. E. A.: Explicit inverse of a generalized Vandermonde matrix. Applied Mathematics and Computation, 2003, Vol. 146, s. 643-651.
20. Evans L. C: Partial differential equations. American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19, Rhode Island 2010.
21. Fattorini H.: Some remarks on complete controllability. SIAM Journal on Control and Optimization, 1966, Vol. 4, s. 686-694.
22. Fattorini H.: On complete controllability of linear systems. Journal of Differential Equations, 1967, Vol. 3, s. 391-402.
23. Fichtencholtz M.: Kurs differiencialnowo i integralnowo iscislenia. Nauka, Gławnaja redakcja fizyko-matematiczeskoj literatury, Moskwa 1979.
24. Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody numeryczne. WNT, Wyd. 4, Warszawa 1998.
25. Fuji N.: Feedback stabilization of distributed parameter systems by a functional observer. SIAM Journal on Control and Optimization, 1980, Vol. 18, s. 108-120.
26. Gerald C. F.: Applied numerical analysis. Addison-Wesley, New York 1973.
27. Górecki H.: Optymalizacja systemów dynamicznych. WNT, Warszawa 1986.
28. Harel D.: Rzecz o istocie informatyki. Algorytmika. WNT, Warszawa 1992.
29. Hernando A., Ledesma L., Laita L.: Showing the non-existence of solutions in systems of linear diophantine equations. Mathematics and Computers in Simulation, 2009, Vol. 79(11), s. 3211-3220.
30. Hildebrand F. B.: Introduction to numerical analysis. McGraw-Hill, New York 1956.
31. Hou S., Pang W.: hwersion of confluent Vandermonde matrices. An International Journal of Computers & Mathematics with Applications, 2002, Vol. 43, s. 1539-1547.
32. Huang F.: On the mathematical model for linear elastic systems with analytic damping. SIAM Journal on Control and Optimization, 1988, Vol. 26, s. 714-724.
33. Ilin W, Kuzniecow J.: Triechdiagonalnyje matricy i ich priłożenia. Izdatielstwo Nauka, Moskwa 1985.
34. Ito K, Kunimatsu N.: Semigroup model of structurally damped beam with boundary input. International Journal of Control, 1991, Vol. 54, s. 367-391.
35. Ito K, Kunimatsu N.: Stabilization of non-linear distribuded parameter vibratory system. International Journal of Control, 1988, Vol. 48, s. 2389-2415.
36. Jacob B., Partington J. R.: On controllability of diagonal systems with one-dimensional input space. Systems & Control Letters, 2006, Vol. 55, s. 321-328.
37. Jankowski M., Woźniakowski H.: O złożoności obliczeniowej w analizie numerycznej. Matematyka Stosowana, 1975, Vol. 5, s. 5-27.
38. Kaczorek T.: Teoria sterowania i systemów. PWN, Wyd. 2, Warszawa 1996.
39. Kaczorek T.: Wektory i macierze w automatyce i elektrotechnice. WNT, Warszawa 1998.
40. Kalman R. E.: On the general theory of control systems. Proc. IIFAC Congress, London 1960, s. 481-493.
41. Kalman R. E, Ho Y. C, Narendra K. S.: Controllability of linear dynamical systems. Contributions to Differential Equations, 1963, Vol. 1 (2), s. 189-213.
42. Kącki E.: Problemy optymalnego sterowania systemami o rozłożonych parametrach. PWN, Warszawa 1991.
43. Kleiber M., Burczyński T.: Badania bazujące na symulacji komputerowej; symulacja komputerowa jako ważny element współczesnej metodologii prowadzenia badań naukowych. Raport, Komitet Informatyki PAN, Sekcja Nauk Obliczeniowych. Warszawa 2010.
44. Klamka J.: Absolute controllability of linear systems with time-variable delays in control. International Journal of Control, 1977, Vol. 26 (1), s. 57-63.
45. Klamka J.: Controllability of linear systems with time-variable delays in control. International Journal of Control, 1976, Vol. 24 (6), s. 869-878.
46. Klamka J.: Controllability of dynamical systems. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1991.
47. Klamka J.: Controllability, observability and stabilizability of distributed systems with infinite domain. Proceedings of the 3rd IFAC Symposium on Control of Distributed Parameter Systems, Toulouse 7-11 VI 1982.
48. Klamka J.: Schauder's fixed point theorem in nonlinear controllability problems. Control and Cybernetics, 2000, Vol. 29, s. 1377-1393.
49. Klamka J., Pawelczyk M., Wyrwał J.: Numerical methods. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2001.
50. Knabner P., Angerman L.: Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. Springer, Texts in Applied Mathematics 44, New York 2003.
51. Knuth D.: The art of computer programming. Vol. 2: Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley, New York 1973.
52. Kobayashi T.: Some remarks on controllability and observability of flexible beam model. International Journal of Systems Science, 1992, Vol. 23, s. 2349-2357.
53. Koblitz N.: Wykład z teorii liczb i kryptografii. WNT, Warszawa 1995.
54. Korbicz J., Gawlowicz P.: Sensors location problem for stochastic non-linear discrete-time distributed parameter systems. Control of distributed parameter systems. IFAC Symposia series. 1990, Pergamon Press. N 3, s. 479-484.
55. Kudrewicz J.: Analiza funkcjonalna dla automatyków i elektroników. PWN, Warszawa 1976.
56. Lasiecka I., Triggiani R.: Exact controllability with controls in Dirichlet and Neumann boundary conditions: a non conservative code. SIAM Journal Control and Optimization, 1989, Vol. 19, s. 263-290.
57. Lipski W.: Kombinatoryka dla programistów. Wyd. 2, PWN, Warszawa 1989.
58. Mahmudov N. I., Zorlu S.: Controllability of semilinear stochastic systems. International Journal of Control, 2005, Vol. 78 (13), s. 997-1004.
59. Manber U.: Introduction to algorithms. A creative approach. Addison-Wesley, New York 1989.
60. Manin Yu. I., Panchishkin A. A.: Introduction to modern number theory fundamental problems, ideas and theories. Second Edition, Springer-Verlag, Berlin 2004.
61. Manna Z.: Mathematical theory of computation. McGraw-Hill, New York 1974.
62. Marzantowicz W., Zakrzycki P.: Elementy teorii liczb. Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 1999.
63. McGlothin G.: Controllability, observability and duality in a distributed parameter systems with continuous and point spectrum. IEEE Transactions on Automatic Control, 1978, Vol. 23, s. 687-690.
64. Miller L.: Non-structural controllability of linear elastic systems with structural damping. Journal of Functional Analysis, 2006, Vol. 236 (2), s. 592-608.
65. Mitkowski W.: Feedback stabilization of second order evolution equations with damping by discrete-time input-output data. Proc. IMACS-IFAC Symp. Model. Simul. Contr. Lumped and Distributed Parameter Systems, Lille 1986, France, s. 355-358.
66. Mitkowski W.: Stabilizacja systemów dynamicznych. WNT, Warszawa 1991.
67. Mitkowski W.: Dynamical properties of Metzler systems. Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Technical Sciences, 2008, Vol. 56 (4), s. 309-312.
68. Mizohata S.: The theory of partial differential equations. Cambrige University Press, Cambrige 1973.
69. Morton K. W., Mayers D. F.: Numerical solution of partial differential equations:an introduction. Cambridge University Press, Cambridge 1996.
70. Moser L.: An introduction to the theory of numbers. Trillia Group, West Lafayette, Indiana 2004.
71. Mostowski A., Stark M.: Elementy algebry wyższej. PWN, Warszawa 1972.
72. Narkiewicz W.: Teoria liczb. Biblioteka Matematyczna, PWN, Wyd. 2, Warszawa 1990, T. 50.
73. Nathanson M. B.: Elementary methods in number theory. Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York 2000.
74. Nievergelt J., Farrar J. C, Reingold E. M.: Informatyczne rozwiązywanie zadań matematycznych. WNT, Warszawa 1978.
75. Paulo R.: Wielkie Twierdzenie Fermata dla laików. WNT, Warszawa 2001.
76. Phillips G. M.: Theory and applications of numerical analysis. Academic Press, New York 1973.
77. Press W. H., Teukolsky S. A., Vettering T. W., Flannery B. P.: Numerical recipes in C. Cambridge University Press, Cambridge 1992.
78. Ralston A., Wilf H. S.: Mathematical metods for digital computers. John Wiley, New York 1960.
79. Reid J. K.: Software for numerical mathematics. Ed. Evans, Academic Press, London 1974, s. 29-47.
80. Renardy M., Rogers R.: A first graduate course in partial differential equations. Texts in Applied Mathematics, Springer, New York 1993.
81. Respondek J.: Numerical simulation in the partial differential equations controllability analysis with physically meaningful constraints. Mathematics and Computers in Simulation, 2010, Vol. 81 (1), s. 120-132.
82. Respondek J.: On the confluent Vandermonde matrices calculation algorithm. Applied Mathematics Letters, 2011, Vol. 24, s. 103-106.
83. Respondek J.: Numerical approach to the non-linear diofantic equations with applications to the controllability of infinite dimensional dynamical systems. International Journal of Control, 2005, Vol. 78 (13), s. 1017-1030.
84. Respondek J.: Numerical analysis of controllability of diffusive-convective system with limited manipulating variables. International Communications in Heat and Mass Transfer, 2007, Vol. 34 (8), s. 934-944.
85. Respondek J.: Controllability of dynamical systems with constraints. Systems & Control Letters, 2005, Vol. 54 (4), s. 293-314.
86. Respondek J.: Approximate controllability of infinite dimensional systems of the n-th order. International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 2008, Vol. 18(2), s. 199-212.
87. Respondek J.: Approximate controllability of the n-th order infinite dimensional systems with controls delayed by the control devices. International Journal of Systems Science, 2008, Vol. 39 (8), s. 765-782.
88. Respondek J.: Coupled algorithm approach for the certain partial differential equations properties research. 2nd European Seminar on Coupled Problems, Pilsen, Czech Republic 2010, s. 76.
89. Respondek J.: The applications of the decomposition of the real numbers to the linear combination of three natural number's squares to the hwestigations of the controllability of an infinite dimensional system in the three dimensional space domain. Archiwum Informatyki PAN, 2003, Vol. 15 (2), s. 143-167.
90. Respondek J.: Semidiscretization methods in certain controllability measures of a parabolic PDE system. 13* WSEAS International Conference on Applied Mathematics, Puerto De La Cruz, Canary Islands 2008, s. 144-147.
91. Respondek J.: Parallel implementation of algorithm for solving certain nonlinear diofantic equations. V Konferencja computer methods and systems, Kraków 2005, Vol. 2, Oprogramowanie Naukowo-Techniczne, s. 389-392.
92. Respondek J.: Numerical approach to the nuli controllability of parabolic systems with compact constraints. VI konferencja computer methods and systems, Kraków 2007, s. 295-300.
93. Respondek J.: Dynamie task dividing in the parallel implementation of algorithm for solving certain nonlinear diofantic equations. VI konferencja computer methods and systems, Kraków 2007, s. 345-348.
94. Respondek J.: Task dividing method in diophantine equation parallel Solving. Polish Journal of Environmental Studies, Proceedings of the Congress of Young IT Scientists, Świnoujście 2007, Vol. 16 (4A), s. 264-267.
95. Respondek J.: Parallel algorithm designing for the simulation of the properties of the distributed parameters systems. Polish Journal of Environmental Studies, Proceedings of the Congress of Young IT Scientists, Świnoujście 2008, Vol. 17 (3B), s. 370-374.
96. Respondek J.: Numerical analysis of controllability of a parabolic system with delayed controls and non zero boundary condition. 7* International Conference On Computer Science-Research And Applications, Kazimierz Dolny 2008, Proc. in: Annales Informatica, Lublin 2008, Vol. 8 (2), s. 119-128.
97. Respondek J.: Algorithm for certain control problems arising in a hyperbolic type PDE. 2nd International Conference on Information Technology, Gdańsk 2010, Proc. in: ZN Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2010, Information Technology, s. 503-507.
98. Respondek J.: Numerical algorithm for the controllability level of an elliptic distributed parameters system. 29th IASTED International Conference on Modelling, Identification, and Control, Innsbruck, Austria 2010, s. 376-380.
99. Respondek J.: Równoległy algorytm znajdowania par liczb całkowitych generujących równe sumy kwadratów w kombinacji liniowej. XI Konferencja Sieci Komputerowe, Zakopane 2004, Współczesne problemy sieci komputerowych - Zastosowanie i bezpieczeństwo, WNT, Warszawa 2004, s. 309-316.
100. Respondek J.: Zastosowanie protokołu TCP/IP w algorytmie rozwiązywania wybranej klasy nieliniowych równań diofantycznych. XIII Konferencja Sieci Komputerowe, Zakopane 2006, Tom 1-Nowe Technologie, WKŁ, Warszawa 2006, s. 243-250.
101. Respondek J.: The effective algorithm for solving the quadratic diofantic equation with three unknowns. Konferencja Informatyka-Badania i Zastosowania. Kazimierz Dolny 2005, Proc. in: Annales UMCS Informatica, Vol. 3, Lublin 2005, s. 57-64.
102. Respondek J.: A parallel implementation in the investigations of the controllability of an infinite dimensional system in the three dimensional rectangular prism. Konferencja Informatyka-Badania i Zastosowanie, Kazimierz Dolny 2005. Proc. in: Annales UMCS Informatica, Vol. 6, Lublin 2007, s. 15-22.
103. Respondek J.: Znajdowanie par liczb całkowitych generujących równe sumy kwadratów w kombinacji liniowej. ZN Pol. Śl. Studia Informatica, Vol. 24, No. 4 (56), s. 85-100, Gliwice 2003.
104. Respondek X: Problemy numeryczne związane z badaniem sterowalności układu parabolicznego w obszarze prostokątnym. ZN Pol. SI. Studia Informatica, Vol. 24, No. 4 (56), s. 119-132, Gliwice 2003.
105. Respondek J.: Porównanie efektywności algorytmów badania krotności wartości własnych operatora Laplace'a określonego w prostokącie. XXXIV Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki, Zakopane 2005, s. 74.
106. Respondek J.: Metody dyskretyzacji częściowej w analizie wybranych własności układów o parametrach rozłożonych, XXXVII Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki, Zakopane 2008, s. 63.
107. Respondek J.: Synteza oraz optymalizacja algorytmów odwracania uogólnionych macierzy Vandermonde'a. XXXIX Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki, Zakopane 2010, s. 60.
108. Respondek J.: Numeryczne algorytmy rozwiązywania wybranych klas równań diofantycznych. X Środowiskowa Konferencja Matematyczno-Informatyczna, Materiały Konferencyjne, Korytnica 2004, s. 50.
109. Richter J.: Advanced Windows. Microsoft Press, Wyd. 3, Redmont 2001.
110. Rosen K. H., Michaels J. G., Gross J. L., Grossman J. W., Shier D. R.: Handbook of discrete and combinatorial mathematics. CRC Press, Londyn 2000.
111. Sakawa Y.: Controllability for partial differential equations of parabolic type. SIAM Journal on Control and Optimization, 1974, Vol. 12, s. 389-400.
112. Sakawa Y.: Feedback control of second order evolution equations with damping. SIAM Journal Control and Optimization, 1984, Vol. 22, s. 343-361.
113. Sakawa Y, Matsuno F.: Modelling and control of flexible manipulator with a parallel drive mechanism. International Journal of Control, 1986, Vol. 44, s. 299-313.
114. Sandor J.: Geometrie theorems, diophantine equations and arithmetic functions. American Research Press, Rehoboth 2002.
115. Schiesser W. E.: The numerical method of lines integration of partial differential equations. Academic Press, San Diego 1991.
116. Schmitendorf W., Barmish B.: Controlling a constrained linear system to an affmite target. IEEE Transactions on Automatic Control, 1981, Vol. 26, s. 761-763.
117. Schmitendorf W., Barmish B.: Nuli controllability of linear systems with constrained controls. SIAM Journal Control and Optimization, 1980, Vol. 18 (4), s. 327-345.
118. Shi D. H, Hou S. H, Feng D.: Feedback stabilization of a Timoshenko beam with an end mass. International Journal of Control, 1998, Vol. 69 (2), s. 285-300.
119. Shi D. H., Feng D., Yan Q.: Feedback stabilization of rotating Timoshenko beam with adaptive gain. International Journal of Control, 2001, Vol. 74 (3), s. 239-251.
120. Shubov M. A.: Exact controllability of damped Timoshenko beam. IMA Journal of Mathematical Control and Information, 2000, Vol. 17, s. 375-395.
121. Shubov M. A.: Spectral operators generated by Timoshenko beam model. Systems & Control Letters, 1999, Vol. 38, s. 249-258.
122. Sierpiński W.: 250 zadań z elementarnej teorii liczb. Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1987.
123. Sierpiński W.: Arytmetyka teoretyczna. PWN, Warszawa 1968.
124. Sierpiński W.: O stu prostych, ale trudnych zagadnieniach arytmetyki. PZWS, Warszawa 1959.
125. Sierpiński W.: Wstęp do teorii liczb. Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, Warszawa 1965.
126. Sneddon N.: Równania różniczkowe cząstkowe. PWN, Warszawa 1962.
127. Sontag E. D.: Mathematical control theory. Springer Verlag, New York 1990.
128. Stoer J., Bulirsch R.: Introduction to numerical analysis. Springer-Verlag, NewYork 1980.
129. Tichonow A. N., Samarski A. A.: Równania fizyki matematycznej. PWN, Warszawa 1963.
130. Triggiani R: Controllability and observability in Banach spaces with bounded operators. SIAM Journal on Control and Optimization, 1975, Vol. 13, s. 462-491.
131. Triggiani R.: Extensions of rank conditions for controllability and observability to Banach spaces with unbounded operators. SIAM Journal on Control and Optimization, 1976, Vol. 14, s. 313-338.
132. Vargra E. I., Hangos K. M., Szigeti F.: Controllability and observability of heat exchangers networks in the time varying case. Control Engineering Practice, 1995, Vol. 3(10), s. 1409-1419.
133. Wilkinson J. H.: Błędy zaokrągleń w procesach algebraicznych. PWN, Warszawa 1967.
134. Wirth N.: Algorytmy + struktury danych = programy. WNT, Warszawa 1989.
135. Wirth N.: Programming development by stepwise refinement. Communications of the ACM, 1971, Vol. 14, s. 221-227.
136. Wirth N.: Wstęp do programowania systematycznego. WNT, Warszawa 1978.
137. Wolska-Bochenek J., Borzymowski A., Chmaj J., Tryjarska M..: Zarys teorii równań całkowych i równań różniczkowych cząstkowych. PWN, Warszawa 1981.
138. www.ieee.com
139. Xu G. Q.: Boundary feedback exponential stabilization of a Timoshenko beam with both ends free. International Journal of Control, 2005, Vol. 78 (4) 10, s. 286-297.
140. Yan S. Y.: Number theory for computing. Second Edition, Springer-Verlag, Berlin 2002.
141. Zadeh L., Desoer C: Linear system theory. the state space approach. McGraw-Hill, New York 1963.

Typ dokumentu

Bibliografia

Identyfikator YADDA

bwmeta1.element.baztech-article-BSL1-0019-0016