Conversion between Cartesian and geodetic coordinates on a rotational ellipsoid by solving a system of nonlinear equations

• Autorzy: Ligas M. , Banasik P.

Warianty tytułu

PL

Transformacja współrzędnych kartezjańskich na geodezyjne na elipsoidzie obrotowej poprzez rozwiązanie układu równań nieliniowych

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

A new method to transform from Cartesian to geodetic coordinates is presented. It is based on the solution of a system of nonlinear equations with respect to the coordinates of the point projected onto the ellipsoid along the normal. Newton's method and a modification of Newton's method were applied to give third-order convergence. The method developed was compared to some well known iterative techniques. All methods were tested on three ellipsoidal height ranges: namely, (-10 - 10 km) (terrestrial), (20 - 1000 km), and (1000 - 36000 km) (satellite). One iteration of the presented method, implemented with the third-order convergence modified Newton's method, is necessary to obtain a satisfactory level of accuracy for the geodetic latitude […] and height […] km, i.e. less than a millimetre) for all the heights tested. The method is slightly slower than the method of Fukushima (2006) and Fukushima's (1999) fast implementation of Bowring's (1976) method.

PL

Artykuł przedstawia nowa metodę transformacji miedzy współrzędnymi kartezjanskimi a współrzędnymi geodezyjnymi na elipsoidzie obrotowej. Metoda polega na rozwiązaniu nieliniowego układu równań, w którym niewiadomymi są współrzędne punktu leżącego na powierzchni elipsoidy a będącego rzutem punktu znajdującego się poza elipsoida wzdłuż normalnej. Tak wyznaczone współrzędne punktu na elipsoidzie są podstawa do obliczenia szerokości i wysokości geodezyjnej. Do rozwiązania układu równań zastosowano metodę Newtona oraz zmodyfikowaną metodę Newtona charakteryzującą się zbieżnością trzeciego rzędu. Nowa metoda została porównana z kilkoma dobrze znanymi rozwiązaniami iteracyjnymi. Wszystkie metody były testowane na trzech zakresach wysokości elipsoidalnych: -10 - 10 km (ziemski), 20 - 1000 km, 1000 - 36000 km (satelitarny). Zastosowanie zmodyfikowanej metody Newtona powoduje, iż jedna iteracja nowej metody wystarczy aby osiągnąć zadowalający poziom dokładności zarówno dla szerokości geodezyjnej, jak i wysokości. Prezentowana metoda jest nieco wolniejsza niż metoda Fukushimy (2006) oraz od szybkiej implementacji metody Bowringa (Fukushima, 1999).

Słowa kluczowe

EN

Cartesian and geodetic coordinates; rotational ellipsoid; Newton's method; coordinate transformation

PL

szerokość geodezyjna; wysokość geodezyjna; metoda Fukushimy; metoda Bowringa

• Wydawca: Komitet Geodezji PAN
• Czasopismo: Geodesy and Cartography
• Rocznik: 2011
• Tom: Vol. 60, no 2
• Strony: 145--159
• Opis fizyczny: Bibliogr. 19 poz., tab., wykr.

Twórcy

autor

Ligas M.

autor

Banasik P.

• Department of Geomatics AGH University of Science and Technology, 30 Mickiewicza Al., 30-059 Krakow, Poland,

Bibliografia

• Borkowski K.M., (1987): Transformation of Geocentric to Geodetic Coordinates without Approximations, Astrophys. Space Sci., 139, pp. 1-4.
• Borkowski K.M., (1989): Accurate Algorithms to Transform Geocentric to Geodetic Coordinates, Bulletin Geodesique, Vol. 63, pp. 50-56.
• Bowring B.R., (1976): Transformation from spatial to geographical coordinates, Survey Review, 23, pp. 323-327.
• Darvishi M.T., Barati A., (2007): A third-order Newton-type method to solve systems of nonlinear equations, Applied Mathematics and Computation, 187(2), pp. 630-635.
• Featherstone W.E., Claessens S.J., (2008): Closed-form transformation between geodetic and ellipsoidal coordinates, Studia geophysica et geodaetica, 52, pp. 1-18.
• Feltens J., (2009): Vector methods to compute azimuth, elevation, ellipsoidal normal and the Cartesian (X,Y,Z) to geodetic transformation, Journal of Geodesy, Vol. 82, pp. 493-504.
• Fukushima T., (1999): Fast transform from geocentric to geodetic coordinates, Journal of Geodesy, Vol. 73, pp. 603-610.
• Fukushima T., (2006) Transformation from Cartesian to geodetic coordinates accelerated by Halley's method, Journal of Geodesy, Vol. 79, pp. 689-693.
• Hedgley D.R., (1976): An exact transformation from geocentric to geodetic coordinates for nonzero altitudes, NASA TR R - 458, Washington.
• Heiskanen W.A., Moritz H., (1967): Physical Geodesy, W.H. Freeman and Company, San Francisco.
• Ligas M., (2011): Cartesian to geodetic coordinates conversion on a triaxial ellipsoid, Journal of Geodesy, DOI: 10.1007/s00190-011-0514-7.
• Lin K.C., Wang J., (1995): Transformation from geocentric to geodetic coordinates using Newton's iteration, Bulletin Geodesique, Vol. 69, pp. 300-303.
• Moritz H., (1980): Geodetic Reference System 1980, Bulletin G´eod´esique, Vol. 54, pp. 395-405.
• Shu Ch., Li F., (2010): An iterative algorithm to compute geodetic coordinates, Computers & Geosciences, Vol. 36, pp. 1145-1149.
• Vanicek P., Krakiwsky E.J., (1982): Geodesy: The concepts, Elsevier, Amsterdam, The Netherlands.
• Vermeille H., (2002): Direct transformation from geocentric to geodetic coordinates, Journal of Geodesy, Vol. 76, pp. 451-454.
• Vermeille H., (2004): Computing geodetic coordinates from geocentric coordinates, Journal of Geodesy, Vol. 78, pp. 94-95.
• Zanevicius D., Kersys F., (2010): Technologies for calculating geodetic coordinates applying h-geometry functions, Geodezija ir Kartografija, 36(4), Vilnius Gediminas Technical University, pp. 160-163.
• Zhang C.D., Hsu H.T., Wu X.P., Li S.S., Wang Q.B., Chai A.Z., Du L., (2005): An alternative algebraic algorithm to transform Cartesian to geodetic coordinates, Journal of Geodesy, Vol. 79, pp. 413-420.