Comparison of algorithms of two-stage adjustment and multi-group adjustment of levelling network

• Autorzy: Gajderowicz I.

Warianty tytułu

PL

Porównanie algorytmów wyrównania dwuetapowego i wyrównania wielogrupowego sieci niwelacyjnej

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

In the research it has been assumed that an observation corresponds to a measured height difference of a levelling section while a pseudo-observation corresponds to a sum of observations for consecutive levelling sections which make up a levelling line. Relations between observations and pseudo-observations are shown. It has also been assumed that observations are not correlated. The study compares Helmert - Pranis-Praniewicz algorithm of parametric, multi-group (paralle!) least squares adjustment of observations with the algorithm of two-stage least squares adjustment of levelling network. The two-stage adjustment consists of least squares adjustment of pseudo-observations and then the adjustment of observations, which is carried out separately for each levelling line. It was shown that normal equations concerning heights of nodal points, created on the basis of pseudo-observations, are identical to the reduced normai equations formed on the basi s of observations in multi-group adjustment. So, adjusted heights of nodal points and their variance-covariance matrix are the same in the case of adjustment of observations and in the case of adjustment of pseudo-observations. Following a brief presentation of known algorithm of height computation for intermediate benchmarks of levelling lines there is shown the proof that the value of a square root of the a posteriori variance of unit weight m0, known also as mean square error of a typical observation/pseudo-observation, is the same in the case of adjustment of observations and in the case of adjustment of pseudo-observations. The conclusion states that the results of two-stage adjustment and rigorous least squares adjustment of observations are identical.

PL

W pracy przyjęto, że obserwacją jest pomierzone przewyższenie odcinka niwelacyjnego, zaś pseudoobserwacją jest suma obserwacji wykonanych dla kolejnych odcinków tworzących linię niwelacyjną. Przyjęto także, że obserwacje nie są wzajemnie skorelowane. Porównano algorytm Helmerta - Pranis-Praniewicza parametrycznego, wielogrupowego (równoległego) wyrównania obserwacji z algorytmem dwuetapowego wyrównania sieci niwelacyjnej. Dwuetapowe wyrównanie składa się z wyrównania pseudoobserwacji metodą najmniej szych kwadratów i wyrównania obserwacji, które wykonywane jest oddzielnie dla każdej linii niwelacyjnej. Wykazano, że równania normalne dotyczące wysokości punktów węzłowych, utworzone w oparciu o pseudoobserwacje, są identyczne ze zredukowanymi równaniami normalnymi utworzonymi w oparciu o obserwacje w procesie wyrównania wielogrupowego. A zatem, wyrównane wysokości punktów węzłowych i ich macierz wariancyjno-kowariancyjna są takie same w przypadku wyrównywania obserwacji i w przypadku wyrównywania pseudoobserwacji. W dalszej kolejności przedstawiono algorytm obliczania wysokości reperów pośrednich linii niwelacyjnych. Wykazano. że wartość błędu średniego mo typowej obserwacji/pseudoobserwacji jest taka sama w przypadku wyrównywania obserwacji i w przypadku wyrównywania pseudoobserwacji. W konkluzji stwierdzono, że wyniki wyrównania dwuetapowego i ścisłego wyrównania obserwacji są identyczne.

Słowa kluczowe

EN

levelling network; Helmert - Pranis-Praniewicz algorithm; pseudo-observations; least squares adjustment

PL

sieć niwelacyjna; linia niwelacyjna; geodezja

• Wydawca: Komitet Geodezji PAN
• Czasopismo: Geodezja i Kartografia
• Rocznik: 2007
• Tom: Vol. 56, no 2
• Strony: 59--71
• Opis fizyczny: Bibliogr. 11 poz.

Twórcy

autor

Gajderowicz I.

• Institute of Geodesy, University of Warmia and Mazury, I. Oczapowskiego St., 10-957 Olsztyn, Poland,

Bibliografia

• Baran W., (1983): Theoretical bases of elaboration of geodetic survey results (in Polish), PWN, Warszawa (Chapter 3.7.7).
• Baran w., Gajderowicz L, (1993): Adjustment of levelling network - Chapter 8, in: Precise levelling (in Polish), PPWK, Warszawa - Wroclaw.
• Beluch J., (1991): Parametric two-step adjustment of levelling networks, Zeszyty Naukowe Akademii Górniczo-Hutniczej, Geodezja 112, Cracow, pp. 69-78.
• Report, (2007): United European Levelling Network (UELN), in: European Vertical Reference System (EVRS), http://crs.bkg.bund.de/evrs/.
• Gajderowicz L, (2005): Estimation of accuracy of Polish first order precise levelling network measured in the period 1997-2003 (in Polish), Technical Sciences, Supplement 2, Publisher UWM (University of Warmia and Mazury), Olsztyn, pp. 123-134.
• Lucht H., (1972): Korrelation im Priizisionsnivellement, Wissenschaftliche Arbeiten der Lehrstuhle fur Geodilsie, Photogrammetrie und Kartographie an der Technischen Universitilt, Nr 48, Hannover.
• Lucht H., (1983): Neighbourhood correlations among observations in levelling networks, in: H. Pelzer, W. Niemeier (eds.), Precise Levelling, 38 Contribution to the Workshop on Precise Levelling held in Hannover, Fed. Rep. of Germany, 16-18 March, pp. 315-325.
• Parseliunas E., Sacher M., Ihde J., (2000): Preparations of Lithuanian levelling network data for United European Levelling Network, Geodezija ir Kartografija, Vol. XXVI, No 4, Vilnius, pp. 171-186.
• Remmer O., (1975): Levelling errors in statu nascendi, Geodaetisk Institut, Meddelelse No 51, Copenhagen.
• Vanicek P., Krakiwsky E., (1982): Geodesy, the concepts, North - Holland, Amsterdam (Chapter 19.2).
• Wolf H., (1975): Ausgleichungsrechnung. Formeln zur praktischen Anwendung, Ferd. Dummlers Verlag, Bonn (Chapter A4.2.8).