On certain determinantal method of equation and effective pressure evaluation on the basis of laboratory researches

• Autorzy: Nowakowski A.

Warianty tytułu

PL

O pewnej metodzie wyznaczania równania i wartości ciśnienia efektywnego na podstawie wyników badań laboratoryjnych

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

Analysis of rock mechanical properties usually is conducted with the assumption that this is a monophase medium, which means that a rock is being treated as a continuous medium consisting of only solid phase. Such an assumption leads to ignoring widely known fact that a rock is not a continuous medium consisting of not only solid components but also of empty voids of different sizes and shapes. The complexity level is increased when one considers the fact that such voids referred to as pore space may be filled with fluid, which may interact with a rock in various ways. In particular it may be a strictly mechanical interaction based on stress changes resulting from pressure of porous fluid, but it could be also physical-chemical or even chemical interaction that changes properties of rock due to interactions between fluid and rock skeleton (e.g. sorptive processes and chemical reactions). In the most complex model one deals with a mixture of all above factors. Intuition suggests that mathematical description of processes going on in stressed porous medium would require mathematical description of pore space itself. Such description should contain information on the size of such space, sizes and shapes of pores, their distribution in analyzed space but it also should take into consideration the fact that they may form a network or may be isolated voids. Determination of pore space properties is such complex that the problem of phenomena occurring in stressed porous medium turned out to be of vital significance and researchers started to look for methods of avoidance of this problem. Approach which is discussed herein was worked out on the basis of laboratory investigations of rocks in a classical triaxial state of stress ("individual test" - cf. Kovari et al., 1983). In such a test a cylindrical rock sample is placed in a Karman type chamber and is stressed with axially symmetric stresses which comply with the condition [...]. Confining pressure [...] is placed with fluid on a side surface of a sample whereas axial stress [...] is placed with press piston that loads the front section of a sample. A sample is divided from confining pressure exerting medium with deformable shield. Moreover, porous space of assessed sample is filled with porous fluid (Iiquid or gas) under constant pressure of Pp. In fig. 1 stresses affecting the sample during the experiment were presented. In case of a such stressed sample we may consider any characterizing rock quantity Q being the function of p and Pp pressures. This function creates a certain surface in a space of variabIes Q, p and Pp (Fig. 2). On such surface we may distinguish a curve that complies with equation (10) i.e. the curve along which interesting forus Q quantity is constant. This curve resulting tTom equation (10) shall be then projected on the [...] plane. As a result of such operation we achieve relation (11). Such relation defines the pairs of p and Pp points, for which the analyzed Q quantity is constant and shall be referred to herein as the effective pressure law (Robin, 1973). If we substitute in equation (11) with (12), we shall receive relation (13). At present in such relation we shall refer to p' pressure as the value or effective pressure for the effective pressure law (11) and Q quantity complying with the condition (10). . The value of effective pressure p' defined with equation (13) may be treated as some substitute confining pressure, which when applied to the rock for Pp = O exerts on the investigated Q quantity the same influence as a pair ofnon-zero p and Pp pressures complying with the conditions of(IO) and (II). Whereas function (II) which binds confining and porous pressure together shows what pairs of p and Pp pressures may represent a specific Q quantity or if necessary to draw reverse conclusion on what Q quantity for specific p and Pp pressure values one may expect. The above formalism of the description of effective pressure was coined by Robin (1973), who based his conclusions on Nura and Byerlee (1971) and Brace'a (1972). The way to apply such formnalism in a laboratory results analysis was described by Gustkiewicz (1990) and further developed by Gustkiewicz et al. (2003, 2004) and Nowakowski (2005). The last papers are devoted to phenomena occurring in rock sampies where stress reached differential strength limit in particular. From the above considerations it may be derived that effective pressure (11) shall depend on e.g.: - analyzed quantity Q of a rock, - level of stress in a rock sample, - properties of pore space in a rock. The subject of our investigations shall be sandstone from lower Triassic period from Tumlin (referred hereto as Tumlin rock) that can be found in the northern part of Świętokrzyskie Mountains in the region of Suchedniów. It will be shown on an example how to deterrnine the effective pressure law in practice and its relation to the type of used porous fluid. The authors will analyze an example of porous fluid that is neutrai physically and chemically for rocks (kerosene) and an example of strongly sorptive gas (carbon dioxide). The analysis consisted of series of "individual tests" and deterrnination on such basis the differential strength limit [...] as the function of(Pp) porous fluid and (P) confining pressure and looking for effective pressure laws and effective pressure values accordingly to methodology described in chapter 2 of this paper. The present authors started their investigations with "Tumlin" sandstone saturated with kerosene. The results of this experiment in respect [...] values are shown in table 2. On the basis of shown in this table results the authors made charts showing relations between differential strenght limit [...] and porous pressure (Pp) at confining pressure (P) as a parameter shown in fig. 9. The effective pressure law and value of effective pressure for two values of differential strength limit was sought for: 60 MPa and 263 MPa as shown in fig. 9. According to the procedure described in chapter 2 parameters of intersection of straight lines were found with equations and bell-shaped curves of the type (15). Those points were indicated Pp - p coordinate system and necessary approximations were made. Results were shown in fig. 10. Finally for selected values of differential strength limit the authors achieved equations and effective pressure values (P ) given with relations (25). Next step consisted of using the same procedure for the Tumlin sandstone whose porous space was filled with carbon dioxide. In table 3 [...] values achieved in the experiments and in fig. 11 respective curves are shown. Effective pressure laws and values of effective pressure were obtained for [...] equal to 195 MPa and 277 MPa. In case of selected values of differential strength limit the fuli procedure of deterrnination of effective pressure laws and values of effective pressure was achieved and showed as a relation (28). Their geometrical interpretation is shown in fig. 12. Described considerations showed certain method of deterrnination of effective pressure law and effective pressure value for rocks which is based on alaboratory triaxial compression test. This method allows for deterrnination of relation between analyzed property of a rock and confining and porous pressures values. Examples presented in chapter 4 show the application of this method in reference to the so called differential strength limit. The achieved results show that if a relation (3) is used as the effective pressure law then a coefficient serves the role of a certain "balance" which deterrnines the influence of porous pressure on the final value of effective pressure. Such coefficient may be equal to a value from three different ranges: 1) a < 1; equation (3) is the effective pressure law in the form proposed by Biot and those who further developed this concept (e.g.: Nur & Byerlee, 1971; Rice & Cleary, 1976; Zienkiewicz & Shiomi, 1984; Detournay & Cheng, 1993). The range ofapplicability of the equation (3) is in this form automatically limited to the range of applicability of Biot's consolidation theory and as follows the range of Hooke's lawapplicability. 2) a = 1; the equation (3) has classical form coined by von Terzaghi (Terzaghi, 1923) shown in (I). The possibility of its application in case of rocks is limited by - mentioned in the introductory part - Handin 's conditions (cf. Handin et al., 1963). An importarit summary of the application of Terzaghi's formula may be found in Bluhm and de Boer work (1996). 3) Equation [...]; in which the value of a> 1 coefficient is allowed. At present there is no possibility to check real maximum values of this coefficient. Given value of "upper" limit is derived only from the conditions of the experiment (porous pressure cannot be higher that confining pressure - cf. chapter I). The fact that this coefficient may be higher than unit was demonstrated experimentally for the first time by Gustkiewicz et al. (2004) in reference to differential strength limit. The reasons for increased significance of porous pressure for evaluated material property must be sought for in the appearance of not only mechanical interactions but also physical and chemical processes - sorption in particular between rock and porous fluid. For more refer to e.g. Gustkiewicz et al. (2004), Gustkiewicz and Nowakowski (2005) and Nowakowski (2005). It must be noted also that - in contrast to Biot's theory considerations - the procedure demonstrated in chapters 1 i 2 of this paper that determines effective pressure laws and effective pressure values is not conclusive in respect of a mathematical form of such equation. In particular there are no reasons not to consider Q(P, pp) surface in chapter 1 as the straight-drawn surface. In such case a curve (10) marked on Q(P, pp) surface does not have to be a straight line and as a consequence its projection on the (p, pp) piane does not have to be a straight line either in the equation (11). It means that the equation of effective pressure (11) may be non-linear because of porous Pp pressure.

PL

Analiza właściwości mechanicznych skały zazwyczaj prowadzona jest przy założeniu, że jest ona ośrodkiem jednofazowym, co oznacza, że skała traktowana jest jako ośrodek ciągły, składający się wyłącznie z fazy stałej. Założenie to prowadzi do zignorowania powszechnie znanego faktu, iż w rzeczywistości skała jest materiałem nieciągłym, zawierającym oprócz tworzących ją stałych składników także obszary pustek o różnym kształcie i wymiarach. Stopień komplikacji zagadnienia wzrasta jeśli wziąć pod uwagę, że pustki te, objęte wspólną nazwą przestrzeni porowej, mogą być wypełnione płynem, który może oddziaływać na skałę na różne sposoby. W szczególności może to być oddziaływanie czysto mechaniczne, polegające na zmianach naprężenia w skale wskutek zmian ciśnienia płynu porowego, lub też fizykochemiczne a nawet chemiczne, zmieniające właściwości materii skalnej wskutek interakcji zachodzących miedzy płynem a szkieletem skały (np. procesy sorpcyjne, reakcje chemiczne). W sytuacji najbardziej złożonej będziemy mieli do czynienia z oddziaływaniem będącym kombinacją powyższych czynników. Intuicja podpowiada, że matematyczny opis procesów zachodzących obciążonym ośrodku porowatym wymagałby przede wszystkim sporządzenia matematycznego opisu samej przestrzeni porowej, który musiałby zawierać informacje o wielkości opisywanego obszaru, wielkości i kształcie porów, ich rozmieszczeniu wewnątrz analizowanej przestrzeni a także uwzględniać fakt, czy tworzą one sieć połączeń czy też są pustkami izolowanymi. Sporządzenie takiego opisu przestrzeni porowej nastręcza tak ogromnych trudności, że gdy problem zjawisk zachodzących w obciążonym ośrodku porowatym stał się aktualny zaczęto poszukiwać jakiegoś sposobu jego ominięcia. Omawiany w niniejszej pracy sposób podejścia do problemu ciśnienia efektywnego został wypracowany na podstawie badań laboratoryjnych skał w klasycznym trójosiowym stanie naprężenia (ang. "individual test" - por. Kovari i in., 1983). Podczas takiego testu walcowa próbka skalna znajduje się w komorze typu Karrnana i jest obciążona osiowosymetrycznymi naprężeniami ściskającymi spełniającymi warunek [...]. Ciśnienie okólne [...] zadawane jest na pobocznicę próbki cieczą, a naprężenie osiowe [...] tłokiem prasy naciskającym na czoło próbki. Próbka oddzielona jest od medium zadającego ciśnienie okólne odkształcalną osłoną. Ponadto przestrzeń porowa rozważanej próbki wypełniona jest płynem porowym (cieczą lub gazem) pozostającym pod stałym ciśnieniem o wartości Pp Schemat obciążeń działających na próbkę podczas eksperymentu przedstawia rys. l. Dla tak obciążonej próbki rozważamy dowolną, charakteryzującą skałę wielkość Q, która jest funkcją ciśnień p i Pp- Funkcja ta tworzy w przestrzeni zmiennych (Q, p, pp) pewną powierzchnię (rys. 2). Na powierzchni tej wyróżnimy teraz krzywą spełniającą równanie (10), czyli linię, wzdłuż której interesująca nas wielkość Q ma wartość stałą. Następnie dokonamy rzutowania krzywej danej równaniem (10) na płaszczyznę (Pp' p). W wyniku takiej operacji otrzymujemy na tej płaszczyźnie związek (11). Związek ten, definiujące zbiór par punktów p i Pp, dla których analizowana wielkość Q ma wartość stałą, nazywać będziemy równaniem ciśnienia efektywnego (Robin, 1973). Jeżeli teraz dokonamy w równaniu (li) podstawienia (12), to otrzymamy zależność (13). Obecne w tej zależności ciśnienie p' nazywać będziemy wartością ciśnienia efektywnego dla równania ciśnienia efektywnego (li) i wielkości Q spełniającej warunek (10). Zdefiniowana wzorem (13) wartość ciśnienia efektywnego p , może być traktowana jako pewne zastępcze ciśnienie okólne, które - zastosowane do skały dla Pp = O - wywiera na badaną wielkość Q taki sam wpływ jak para niezerowych ciśnień p i Pp spełniających zależności (10) i (11). Z kolei wiążąca ze sobą ciśnienia okólne i porowe funkcja (11) pokazuje, jakie wartości par ciśnień p i Pp mogą odpowiadać konkretnej wartości wielkości Q lub też, jeśli konieczne jest rozumowanie odwrotne, jakiej wartości wielkości Q oczekiwać możemy dla danych wartości ciśnień p i pp. Zaprezentowany powyżej formalizm opisu ciśnienia efektywnego został po raz pierwszy zaproponowany przez Robina (1973), który oparł się w tym przypadku m.in. na rozważaniach Nura i Byerlee (1971) oraz Brace'a (1972). Sposób zastosowania tego formalizmu do analizy wyników badań laboratoryjnych pokazał Gustkiewicz (1990), a rozwinęli Gustkiewicz i in. (2003, 2004) oraz Nowakowski (2005) z tym, że te ostatnie prace poświęcone są w szczególności analizie zjawiska zachodzących w próbkach skalnych, w których naprężenie osiągnęło różnicową granicę wytrzymałości. Z rozważań wymienionych wyżej autorów wynika, że postać równania ciśnienia efektywnego (11) zależeć będzie m.in. od: - analizowanej właściwości skały Q, - stanu naprężenia w skale, - właściwości przestrzeni porowej skały. Przedmiotem badań, których wyniki zostaną omówione w niniejszej pracy był dolnotriasowy piaskowiec z Tumlina (zwany dalej piaskowcem "Tumlin") występujący w północnej partii obrzeża Gór Świętokrzyskich w rejonie Suchedniowa. Na ich przykładzie zostanie praktycznie pokazany sposób wyznaczania równania ciśnienia efektywnego oraz zależność postaci tego równania od rodzaju zastosowanego płynu porowego. Przeanalizowany zostanie przypadek, gdy płynem porowym była obojętna fizykochemicznie dla skały ciecz (nafta), oraz gdy był nią silnie sorbujący gaz (dwutlenek węgla). Badania polegały na wykonaniu serii testów klasycznego trójosiowego ściskania, wyznaczeniu na ich podstawie różnicowej granicy wytrzymałości [...] jako funkcji ciśnień porowego (Pp) i okólnego (P) oraz poszukiwaniu równań i wartości ciśnienia efektywnego zgodnie z metodyką opisaną w rozdz. 2 niniejszej pracy. Badania rozpoczęto od próbek piaskowca "Tumlin" nasączonego naftą" Zestawienie uzyskanych w wyniku eksperymentów wartości [...] pokazuje tab. 2. Na podstawie zestawionych w tej tabeli wyników wykonano wykresy zależności między różnicową granicą wytrzymałości [...] a ciśnieniem porowym (Pp), przy ciśnieniu okólnym (P) jako parametrze pokazane na rys. 9. Poszukiwano równania ciśnienia efektywnego i wartości ciśnienia efektywnego dla dwóch wartości różnicowej granicy wytrzymałości: 60 MPa i 263 MPa tak, jak to zaznaczono na rys: 9. Zgodnie z procedurą opisaną w rozdz. 2 znaleziono współrzędne punktów przecięcia prostych o równaniach z krzywymi dzwonowymi typu (15). Punkty te zaznaczono następnie w układzie współrzędnych pp- p i dokonano odpowiednich aproksymacji. Wyniki pokazano na rys. 10. Ostatecznie dla wybranych wartości różnicowej granicy wytrzymałości otrzymano równania i wartości (P ') ciśnienia efektywnego dane związkami (25). Kolejnym krokiem było zastosowanie tej samej procedury do piaskowca "Tumlin" , którego przestrzeń porowa wypełniona była dwutlenkiem węgla. Uzyskane podczas eksperymentów wartości [...] zestawiono w tab. 3, a odpowiednie krzywe pokazano na rys. 11. Równań i wartości ciśnienia efektywnego poszukiwano dla [...] równej 195MPa i 277 MPa. Wykonując dla wybranych wartości różnicowej granicy wytrzymałości pełną procedurę wyznaczania równań i wartości ciśnienia efektywnego otrzymano jako wynik zależności (28). Ich interpretację geometryczną pokazano na rys. 12. Zaprezentowane w niniejszej pracy rozważania pokazały pewną metodę wyznaczania równania i wartości ciśnienia efektywnego dla skał, bazującą na laboratoryjnym teście trójosiowego ściskania. Metoda ta daje możliwość znalezienia zależności między wartością analizowanej właściwości skały a wartościami ciśnień okólnego i porowego. Przykłady zamieszczone w rozdz. 4 pokazują zastosowanie tej metody w odniesieniu do tzw. różnicowej granicy wytrzymałości. Uzyskane wyniki wykazały, że jeżeli związek (3) jest wykorzystywany jako równanie ciśnienia efektywnego, to współczynnik a pełni w tym równaniu funkcję pewnej "wagi", która określa jak duży jest wpływ wartości ciśnienia porowego na ostateczną wartość ciśnienia efektywnego. Współczynnik ten może przyjmować wartości z trzech różnych zakresów: I) a < I; równanie (3) jest równaniem ciśnienia efektywnego w postaci zaproponowanej przez Biota i tych, którzy jego koncepcję rozwijali (np.: Nur & Byerlee, 1971; Rice i Cleary, 1976; Zienkiewicz i Shiomi, 1984; Detoumay i Cheng 1993). Zakres stosowalności równania (3) jest w tej postaci automatycznie ograniczony do zakresu stosowalności teorii konsolidacji Biota a co za tym idzie do zakresu stosowalności prawa Hooke'a. 2) a = I; równanie (3) przyjmuje klasyczną, sformułowaną przez von Terzaghiego (Terzaghi, 1923) postać (l). Możliwości jego zastosowania do skał ograniczają - wspomniane we wstępie do niniejszej pracy - warunki Handina (por. Handin i in., 1963). Wa:l:nym podsumowaniem rozważań teoretycznych na temat granic stosowalności wzoru Terzaghiego jest praca BIuhma i de Boera (1996). 3) [...]; równanie, w którym dopuszcza się wartość współczynnika a > l. Na obecnym etapie badań nie ma możliwości stwierdzenia, jakie są rzeczywiście maksymalne możliwe wartości tego współczynnika. Podana wartość ograniczenia "od góry" wynika jedynie z warunków eksperymentu (ciśnienie porowe nie może być większe od okólnego - por. rozdz. I). To, że współczynnik ten może przyjmować wartości większe od jedności zostało po raz pierwszy pokazane doświadczalnie przez Gustkiewicza i in. (2004) w odniesieniu do różnicowej granicy wytrzymałości. Przyczyn tak znaczącego wzrostu roli ciśnienia porowego dla rozważanej właściwości materiału należy upatrywać w pojawieniu się między skałą a płynem porowym nie tylko oddziaływań czysto mechanicznych, ale także procesów fizykochemicznych - przede wszystkim sorpcji. Szerzej na ten temat m.in. Gustkiewicz i in. (2004), Gustkiewicz i Nowakowski (2005) i Nowakowski (2005). Należy także zauważyć, że - w przeciwieństwie do rozważań wynikających z teorii Biota - przedstawiona w rozdz. I i 2 niniejszej pracy procedura wyznaczania równania i wartości ciśnienia efektywnego nie przesądza o matematycznej postaci tego równania. W szczególności nic nie stoi na przeszkodzie, aby wprowadzona do rozważań w rozdz. I powierzchnia [...] nie była powierzchnią prostokreślną. W takim przypadku wyróżniona na powierzchni Q(p, pp) krzywa (10) nie musi być linią prostą, a w konsekwencji nie musi być prostą również jej rzut na płaszczyznę (P,pp) dany równaniem (I l). Oznacza to, że równanie ciśnienia efektywnego (I l) może być równaniem nieliniowym ze względu na ciśnienie porowe Pp.

Słowa kluczowe

EN

effective pressure; conventional effective pressure; value of effective pressure; effective pressure law; triaxial compression; Biot's theory

PL

ciśnienie efektywne; konwencjonalne ciśnienie efektywne; wartość ciśnienia efektywnego; równanie ciśnienia efektywnego; trójosiowe ściskanie; teoria Biota

• Wydawca: Instytut Mechaniki Górotworu PAN
• Czasopismo: Archives of Mining Sciences
• Rocznik: 2007
• Tom: Vol. 52, no 4
• Strony: 587--610
• Opis fizyczny: Bibliogr. 24 poz., rys., tab., wykr.

Twórcy

autor

Nowakowski A.

• Stratamechanics Research Institute, Polish Academy of Sciences, Ul. Reymonta 27, 30-059 Cracow, Poland

Bibliografia

• Biot M.A., 1941. General theory of three dimensional consolidation. J. Appl. Phys. 12: 155-168.
• Bluhm J., Boer, de, R., 1996. Effective stresses - a clarification. Arch. Appl. Mech. 66: 479-492.
• Brace W.F., 1972. Pore pressure in geophysics. In: "Flow and Fracture of Rocks". Geophys. Monogr. Series. Heard H.C., Borg I.Y., Carter N.L., Raleigh C.B. (eds.), AGU, Vol. 16, pp. 265-273, Washington DC.
• Detournay E., Cheng A.H.-D., 1993. Fundamentals of Poroelasticity. In: "Comprehensive Rock Engineering: Principles, Practice & Projects", Vol. II, C. Fairhurst (ed.), Pergamon Press, 113-171.
• Długosz M., Gustkiewicz J., Wysocki A., 1981. Apparatus for investigation of rocks in a triaxial state of stress. Part I. Characteristics of the apparatus and of the investigation method, Arch. Min. Sci., Vol. 26, pp. 17-28.
• Fabre D., Gustkiewicz J., 1998. Influence of rock porosity on the Biot's coefficient. In: "Poromechanics - A Tribute to Maurice A. Biot", Proc. of the Biot Conf. on Poromech., Louvain-la-Neuve (Belgium), 14-16 Sept. 1998, Thismus et al. (eds.), Balkema, Rotterdam.
• Gustkiewicz J., 1990. Deformacje i wytrzymałość skał w trójosiowym stanie naprężenia z uwzględnieniem płynów porowych. W: "Górotwór jako ośrodek wielofazowy. Wyrzuty skalno-gazowe", praca zbiorowa, J. Litwiniszyn (ed.), Wydawnictwo AGH, t. 1, s. 96-136.
• Gustkiewicz J., 1989. Objętościowe deformacje skały i jej porów. Arch. Min. Sci., Vol. 34, Issue 3, 593-609.
• Gustkiewicz J., Nowakowski A., 2005. Kształtowanie się ciśnienia efektywnego w skałach, na granicy wytrzymałości. W: "Geotechnika w budownictwie i górnictwie", Mat. XXVIII Zimowej Szkoły Mechaniki Górotworu i Geoinżynierii, Szklarska Poręba 13-18 III 2005, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, s. 195-205.
• Gustkiewicz J., Nowakowski A., 2004. Deformacje i pękanie skał w warunkach laboratoryjnych. Arch. Min. Sci., Vol. 49, Special Issue, pp. 9-50.
• Gustkiewicz J., Nowakowski A., Nurkowski J., Stanisławski L., Lizak Z., 2004. Kształtowanie się ciśnienia efektywnego w klasycznym, trójosiowym stanie naprężenia, na podstawie wyników pękania i deformacji wybranych skał. Prace IMG PAN, t. VI, s. 3-17.
• Gustkiewicz J., Nowakowski A., Lizak Z., 2003. Zmiany niektórych właściwości piaskowca pod wpływem sorbujących i niesorbujących płynów porowych pod ciśnieniem. Prace IMG PAN, t. 5, nr 3-4, s. 367-375.
• Handin J., Hager R.V., Friedman M., Feather J.N., 1963. Experimental deformation of sedimentary rocks under confining pressure: pore pressure effects. Bull. Am. Assoc. Petrol. Geol. 47: 717-755.
• Kovári K., Tisa A., Einstein H.H., Franklin J.A., 1983. Suggested Methods for Determining the Strength of Rock Materials in Triaxial Compression: Revised Version. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr., Vol. 20, No. 6, pp. 283-290.
• Lade P.V., Boer de R., 1997. The concept of effective stress for soil, concrete and rock. Geotechnique, Vol. VLVII, No. 1, pp. 61-78.
• Nowakowski A., 2005. Różne sposoby kształtowania się ciśnienia efektywnego w skale znajdującej się na granicy wytrzymałości. Prace IMG PAN, t. 7, nr 3-4, s. 189-202.
• Nowakowski A., Młynarczuk M., Ratajczak T., Gustkiewicz J., 2003. Wpływ warunków termicznych na zmianę niektórych właściwości fizycznych i strukturalnych wybranych skał, Prace IMG PAN. Rozprawy, Monografie, nr 5, 104 s.
• Nur A., Byerlee J.D., 1971. An exact effective stress law for elastic deformation of rock with fluids. J. Geophys. Res. 76(26): 6414-6419.
• Paterson M.S., Wong T-f., 2005. Experimental Rock Deformation - The Brittle Field. Springer Verlag, Berlin - Heidelberg, pp. 148-151,
• Rice J.R., Cleary M.P., 1976. Some basic stress diffusion solutions for fluid-saturated elastic porous media with compressible constituents. Reviews of Geophysics and Space Physics. 14(4): 227-241.
• Robin P.-Y.F., 1973. Note on effective pressure. J. Geophys. Res., 78, 2434-2437.
• Roegiers J.-C., Cui L., B a i M., 1978. Poroelasticity applications. In: Mechanics of Jointed and Faulted Rock. Proc. of the MJFR-3 Int. Conf., Vienna, 6-9 April 1998. Hans-Peter Rossmanith (ed.), Balkema, Rotterdam, 39-46.
• Terzaghi von, K., 1923. Die Berechnung der Durchlässigkeitsziffer des Tones aus dem Verlauf der Spannungserscheinungen. Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien Math.-Naturwiss. Kl., Abt. 2A, 132, 105.
• Zienkiewicz O.C., Shiomi T., 1984. Dynamic behaviour of saturated porous media; the generalized Biot formulation and its numerical solution. Int. J. Num. Anal. Meth. Geomech. 8: 71-96.