2nd and 3rd-order finite difference methods with counter-error formulations for solving the convection-diffusion equation

• Autorzy: Wang X. , Guo B. , Ghalambor A.

Warianty tytułu

PL

Metody różnic skończonych drugiego i trzeciego rzędu dokładności w rozwiązaniach równań konwekcyjno-dyfuzyjnych

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

Numerical simulation is becoming a common means of predicting performance of oil and gas reservoirs in the petroleum industry. It is also a time-consuming task due to the large dimension of the simulation grids and computing time required to complete a simulation job. Commercial software used in the petroleum reservoir simulation employs the first-order-accuracy finite difference method to solve the convection-diffusion equation. This method introduces numerical dispersion because of truncation error caused by neglecting higher-order terms in Taylor's expansion. This study focused on providing solutions to the above problems. We developed and tested two new algorithms to speed up computation and minimize numerical dispersion. In this research, we have derived the second- and third-order accuracy finite difference formulations to solve the convection-diffusion equation and applied a counter-error mechanism to reduce numerical dispersion. The results indicated that the use of the second- and third-order accuracy finite difference formulations can speed up numerical simulations and retain a sharp displacing slope controlled by the physical diffusion coefficient.

PL

Symulacja numeryczna jest powszechnie stosowanym narzędziem w projektowaniu procesów eksploatacji złóż ropy naftowej i gazu ziemnego. Obliczenia numeryczne są niezwykle czasochłonne, ze względu na wielkowymiarowe z dużą ilością oczek siatki, a także na czas potrzebny do przeprowadzenia pełnej symulacji. Handlowe oprogramowanie używane w inżynierii złożowej do rozwiązywania równań konwekcyjno-dyfuzyjnych wykorzystuje metody różnic skończonych o dokładności pierwszego rzędu. Te metody wprowadzają tzw. numeryczną dyspersję, której powodem jest zaniedbanie wyrazów wyższego rzędu w rozwinięciach w szereg Taylora. Numeryczna dyspersja zniekształca obraz rozwiązań. Artykuł dotyczy właśnie tego problemu. Autorzy rozwinęli i sprawdzili dwa nowe algorytmy przyspieszające proces obliczeniowy i minimalizujące dyspersję numeryczną. Zbudowany formalizm obliczeń, to metody różnic skończonych o 2-gim i 3-cim rzędzie dokładności dla równania typu kon wekcyjno-dyfuzyjnego, z oszacowaniem błędu wyrównującego. Efektem jest zredukowanie numerycznej dyspersji. Rezultaty obliczeń pokazały, że użycie tych metod może przyspieszyć przebieg symulacji komputerowych oraz otrzymać nachylenie konturu płynów wypierającego i wypieranego, wywołanego tylko przez współczynnik dyfuzji fizycznej.

Słowa kluczowe

EN

convective-diffusion equation; finite-difference method; numerical dispersion; numerical simulation

PL

równanie konwekcyjno-dyfuzyjne; metody różnic skończonych; dyspersja numeryczna; symulacja numeryczna

• Wydawca: Instytut Mechaniki Górotworu PAN
• Czasopismo: Archives of Mining Sciences
• Rocznik: 2006
• Tom: Vol. 51, no 1
• Strony: 101--122
• Opis fizyczny: Bibliogr. 24 poz., wykr.

Twórcy

autor

Wang X.

autor

Guo B.

autor

Ghalambor A.

• Det Norske Veritas, 16340 Park Ten Place Suite 100, Houston, Tx 77084, USA,

Bibliografia

• Peaceman, D.W.: Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation. Elsevier Science Publishing Co., New York (1977).
• Lantz, R.B.: Quantitative Evaluation of Numerical Diffusion (Truncation Error). SPEJ (Sept. 1991) 315-20, Trans. AIME 251.
• Larson, R.G.: Controlling Numerical Dispersion by Variably Timed Flux Updating in One Dimension. SPEJ (June 1982) 399-408.
• Stone, H.L. and Brian, P.L.T.: Numerical Solution of Convective Transport Problems. AIChE J. (1963) 9, 681-688.
• Laumbach, D.D.: A High-Accuracy Finite-Difference Technique for Treating the Convection-Diffusion Equation. SPEJ (Dec. 1975), 517-531.
• Richtmyer, R.D.: Difference Methods for Initial-Value Problems. Interscience Publishers, Inc., New York (1957).
• Brenner, H.: Longitudinal Diffusion in Packed Beds of Finite Length-Numerical Values. Chem. Eng. Sci. (1962) Vol. 17, 229-243.
• Garder, A.O. Jr., Peaceman, D.W. and Pozzi, A.L.Jr.: Numerical Calculation of Multidimensional Miscible Displacement by the Method of Characteristics. SPEJ. (March, 1964) 26-36.
• Nolen, J.S.: Numerical Simulation of Compositional Phenomena in Petroleum Reservoirs. Paper SPE 4274 presented at the 1973 SPE Symposium on Numerical Simulation, Houston, Jan. 11-12.
• Concus, P. and Proskurowski, W.: Numerical Solution of Non-Linear Hyperbolic Equation by the Random Choice Method. J. Comp. Phys. (1979) 30, 153-166.
• Sethian, J.A., Chorin, A.J., and Concus, P.: Numerical Solution of the Buckley-Leverett Equations. SPE 12254 presented at the 1983 SPE Reservoir Simulation Symposium, San Francisco, Nov. 15-18.
• Spivak, A., Price, H.S., and Settari, A.: Solution of Equations for Multidimensional Two-Phase Immiscible Flow by Variational Methods. SPEJ (Feb. 1977) 27-41.
• Settari, A., Price, H.S., and Dupont, T.: Development and Application of Variational Methods for Simulation of Miscible Displacement in Porous Media. paper SPE 5721 presented at the 1976 SPE Symposium on Numerical Simulation, Los Angeles, Feb. 19-20.
• Mercer, J.W. and Faust, C.R.: The Application of Finite Element Techniques to Immiscible Flow in Porous Media. Proc., First Intl. Conference on Finite Elements in Water Resources, Princeton U. (July 1976) 1.2-1.57.
• Allen, M.B. and Pinder, G.F.: The Convergence of Upstream Collocation in the Buckley-Leverett Problem. SPEJ (June 1985) 363-370.
• Fleming, P.D., Thomas, C.P., and Winter, W.K.: Application of a General Multiphase, Multicomponent Chemical Flood Model to Ternary, Two-Phase Surfactant Systems. paper SPE 6727 presented at the 1977 SPE Annual Technical Conference and Exhibition, Denver, Oct. 9-12.
• Thomas, C.P. Fleming, P.D., and Winter, W.K.: A Ternary, Two-Phase, Mathematical Model of Oil Recovery with Surfactant Systems. SPEJ (Dec. 1984) 606-616.
• Fanchi, J.R.: Multidimensional Numerical Dispersion. SPEJ (Feb. 1983) 143-151.
• Price, H.S., Cavondish, J.C., and Varga, R.S.: Numerical Methods of Higher-order Accuracy for Diffusion-Convection Equations. SPEJ (Sept. 1968) 293-303; Trans., AIME, 243.
• Todd, M.R., O'Dell, P.M., and Hirasaki, G.J.: Methods for Increased Accuracy in Numerical Reservoir Simulators. SPEJ (Dec. 1972) 515-30; Trans., AIME, 253.
• Taggart, I.J., Pinczewski, W.V.: The Use of Higher-order Differencing Techniques in Reservoir Simulation. SPEJ (Aug. 1987) 360-372.
• Fleming, P.D. and Mansoori, J.: An Accurate Numerical Technique for Solution of Convection-Diffusion Equations without Numerical Dispersion. SPEJ (Aug. 1987) 373-383.
• Wang, X.: New High-Order Finite Difference Methods for Increasing Speed and Reducing Numerical Dispersion in Petroleum Reservoir Simulations. M.S. Thesis, University of Louisiana at Lafayette (2005).
• Mattax, C.C. and Dalton, L.R.: Reservoir Simulation. SPE Monograph Volume 13, 60-61.