Approximation of a Solidification Problem

• Autorzy: Aboulaïch R. , Haggouch I. , Souissi A.
• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

A two-dimensional Stefan problem is usually introduced as a model of solidification, melting or sublimation phenomena. The two-phase Stefan problem has been studied as a direct problem, where the free boundary separating the two regions is eliminated using a variational inequality (Baiocci, 1977; Baiocchi et al., 1973; Rodrigues, 1980; Saguez, 1980; Srunk and Friedman, 1994), the enthalpy function (Ciavaldini, 1972; Lions, 1969; Nochetto et al.., 1991; Saguez, 1980), or a control problem (El Bagdouri, 1987; Peneau, 1995; Saguez, 1980). In the present work, we provide a new formulation leading to a shape optimization problem. For a semidiscretization in time, we consider an Euler scheme. Under some restrictions related to stability conditions, we prove an L^2-rate of convergence of order 1 for the temperature. In the last part, we study the existence of an optimal shape, compute the shape gradient, and suggest a numerical algorithm to approximate the free boundary. The numerical results obtained show that this method is more efficient compared with the others.

Słowa kluczowe

EN

Stefan problem; free boundary; shape optimization; Euler method; finite element method

PL

zagadnienie Stefana; optymalizacja kształtu; metoda Eulera; metoda elementów skończonych

• Wydawca: Oficyna Wydawnicza Uniwersytetu Zielonogórskiego
• Czasopismo: International Journal of Applied Mathematics and Computer Science
• Rocznik: 2001
• Tom: Vol. 11, no. 4
• Strony: 921--955
• Opis fizyczny: Bibliogr. 19 poz., tab., wykr.

Twórcy

autor

Aboulaïch R.

• Université Mohammed V-Agdal, Ecole Mohammadia d'Ingénieurs, L.E.R.M.A, B.P. 765, Rabat, Morocco aboul,[e-mail]

autor

Haggouch I.

• Université Mohammed V-Agdal, Ecole Mohammadia d'Ingénieurs, L.E.R.M.A, B.P. 765, Rabat, Morocco aboul,[e-mail]

autor

Souissi A.

• Université Mohammed V-Agdal, Faculté des Sciences, Département de Mathématiques et d'Informatique, B.P. 1014, Rabat, Morocco

Bibliografia

• [1] Baiocchi C., Comincioli V., Magenes E. and Pozzi G.A. (1973): Free boundary problems in the theory of fluid flow through porous media. Existence and uniqueness theorems. - Annali Mat. Pura App., Vol. 4, No. 97, pp. 1-82.
• [2] Baiocchi C. (1977): Problèmes à frontière libre en hydraulique: milieu non homogène. - Annali della Scuola Norm. Sup. di Pisa, Vol. 28, pp. 429-453.
• [3] Ciavaldini J.F. (1972): Résolution numérique d'un problème de Stefan à deux phases. - Ph.D. Thesis, Rennes, France.
• [4] El Bagdouri M. (1987): Commande optimale d'un système thermique non-lineaire. - Thèse de Doctorat d'Etat és-Sciences, Ecole Nationale Supérieure de Mécanique, Université de Nantes.
• [5] Haggouch I. (1997): Résolution d'un problème de Stefan à deux phases par la méthode d'optimisation de forme. - Ph.D. Thesis, Rabat, Morocco.
• [6] Haslinger J. and Neittaanmäki P. (1988): Finite Element Approximation for Optimal Shape Design. Theory and Application. - New York: Wiley.
• [7] Humeau J.P. and Souza del Cursi J.E. (1993): Regularisation and numerical resolution of a two-dimensional Stefan problem. - J. Math. Syst. Estim. Contr., Vol. 3, No. 4, pp. 473-497.
• [8] Lions J.L. (1968): Contrôle Optimal d'un Système Gouverné par des Équations aux Dérivées Partielles. - Paris: Dunod.
• [9] Lions J.L. (1969): Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites Non Linéaires. - Paris: Dunod.
• [10] Lyaghfouri A. (1996): The inhomogeneous dam with linear Darcy's law and Dirichlet boundary conditions. - Math. Models Meth. Appl. Sci., Vol. 6, No. 8, pp. 1051-1077.
• [11] Nochetto R.H., Paolin M. and Verdi C. (1991): An adaptive finite element method for two phase Stefan problems in two space dimension, Part 1: Stability and error estimates. - Math. Comp., Vol. 57, No. 57, pp. 73-108, S1-S11 (supplement); Part 2: Implementation and Numerical Experiments. - SIAM J. Sci. Stat. Comput., Vol. 12, No. 5, pp. 1207-1244.
• [12] Peneau S. (1995): Contrôle optimal et optimisation de forme dans des problèmes à frontière libre. Application à un système thermique avec changement de phase. - Ph.D., Ecole Central de Nantes, France.
• [13] Pironneau O. (1983): Optimal Shape Design for Elliptic Systems. - Berlin: Springer.
• [14] Raviart P.A. and Girault V. (1981): Finite Element Approximation of the Navier-Stokes Equations. - Berlin: Springer.
• [15] Rodrigues J.F. (1980): Sur la cristallisation d'un métal en coulée continue par des méthodes variationnelles. - Ph.D. Thesis, Université Paris 6.
• [16] Saguez C. (1980): Contrôle optimal de systèmes à frontière libre. - Ph.D. Thesis, Université de Technologie de Compiègne, France.
• [17] Srunk and Friedman A. (1994): Variational and Free Boundary Problems. - Berlin: Springer.
• [18] Zolésio J.P. (1981): The material derivative (or speed method) for shape optimisation, In: Optimisation of Parameter Structures, Vol. II (E.J. Haug and J. Cea, Eds.). - Alphen aan den Rijn, the Netherlands: Sijthoff, pp. 1098-1151.
• [19] Zolésio J.P. (1979): Identification de domaines par déformations. - Thèse d'Etat, Université de Nice, France.