Dynamiczna eliminacja rezonansowych drgań parametrycznych

• Autorzy: Wójcicki Z.

Warianty tytułu

EN

Dynamic elimination of a parametric resonance vibration

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

W rozprawie zanalizowano możliwość zastosowania aktywnego dynamicznego eliminatora drgań do stabilizacji niestatecznego okresowego układu parametrycznego. Badana jest także efektywność eliminatora w zagadnieniu redukcji drgań rezonansowych, które powstają w wyniku zależności między drganiami parametrycznymi i wymuszonymi. Opracowano metodę automatycznego dostrajania dynamicznego eliminatora drgań. W metodzie tej rozwiązuje się najpierw problem wrażliwości zespolonego zagadnienia własnego w stosunku do tzw. macierzy monodromii i oblicza się pochodne jej multiplikatorów. Następnie metodą gradientów określa się jak zmieniać parametry eliminatora (lub/i układu), aby w sposób najszybszy opuścić obszar niestabilności drgań. Metodę uogólniono tak, aby możliwe było sterowanie w procesie stabilizacji drgań także tymi parametrami układu i eliminatora, od których zależy okres wymuszenia parametrycznego. Stało się zwłaszcza możliwe wykorzystanie okresu wymuszenia parametrycznego jako parametru projektowego. Rozszerzono ponadto teorię na klasę nieciągłego okresowego wymuszenia parametrycznego. Przeanalizowano także przypadek występowania multiplikatorów wielokrotnych. Odmienną metodę strojenia eliminatora zastosowano w przypadku rezonansowych drgań wymuszonych poza obszarami niestabilności drgań. W układzie ze wzbudzaniem parametrycznym i jednocześnie nieparametrycznym wyznacza się logarytmiczne funkcje wrażliwości w dziedzinie częstości. Na ich podstawie określa się, które parametry i w jaki sposób należy zmienić, aby efektywność eliminatora w procesie redukcji drgań rezonansowych była największa. Rozpatrzone zostały dwa rodzaje aktywnych eliminatorów drgań: klasyczny i parametryczny. Wykazano, że za ich pomocą można skutecznie stabilizować niestateczny układ parametryczny oraz skutecznie redukować amplitudy rezonansowych drgań wymuszonych.

EN

The possibility of applying an active dynamic vibration eliminator in the process of stabilizing an unstable parametric periodic system is analysed. The efficiency of the eliminator in reducing resonance vibration, caused by the dependence between parametric and excitation vibration, is also investigated. A method of automatic tuning of the dynamic vibration eliminator has been established. By the method of the complex eigensolutions sensitivity with respect to the (so called) monodromy matrix is first solved, and the derivatives of its multiplica-tors are calculated. The gradient method is then applied to determine how to change the eliminator (and/or system) parameters in order to leave the vibration instability region as quickly as possible. The method was generalized, so as to allow, in the vibration stabilization process, the steering of those eliminator and system parameters, on which the parametric excitation period depends. In particular, it has become possible to use the parametric excitation period as a design parameter. Furthermore, the theory has been expanded to cover a class of discontinuous parametric periodic excitation. The occurrence of the multiple multiplicators has also been analysed. A different method of eliminator tuning has been applied in the case of resonance excitation vibration, existing outside the vibration instability regions. In a system with a parametric, and, at the same time, non-parametric excitation, the logarithmic sensitivity functions in the frequency domain are calculated. According to the results it is determined, which parameters are to be changed (and in what way) to increase the efficiency of the eliminator in the process of resonance vibration reduction to a maximum. Two types of active vibration eliminators: a classic and a parametric eliminator were considered. It was proved that they can effectively stabilize an unstable parametric system and effectively reduce the resonance excitation vibration amplitude.

Słowa kluczowe

PL

eliminator drgań; rezonans parametryczny; stabilizacja drgań; zagadnienie własne; wrażliwość; dynamika

• Wydawca: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej
• Czasopismo: Prace Naukowe Instytutu Inżynierii Lądowej Politechniki Wrocławskiej. Monografie
• Rocznik: 2003
• Tom: Vol. 51, nr 20
• Strony: 3--158
• Opis fizyczny: Bibliogr. 141 poz.

Twórcy

autor

Wójcicki Z.

• Instytut Inżynierii Lądowej Politechniki Wrocławskiej, Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław

Bibliografia

• [1] ADELMAN H.M., HAFTKA R.T., 1986 AIAA Journal 24, 5, 823-832, Sensitivity analysis of discrete structural systems.
• [2] ARIARATNAM S.T., 1967 Dynamic stability of column under random loading, in: Dynamic Stability of Structures, ed. By G. Hermann, 255-256, J.W. Arrow-Smith ltd., Bristol.
• [3] ARORA J.S., HAUG E.J., 1979 AIAA Journal 17, 9, 970-974, Method of design sensitivity analysis in structural optimization.
• [4] BENEDETTI G.A., 1974 Journal of Applied Mechanics 41, 1069-1071, Dynamic stability of a beam loaded by a sequence of moving mass particles.
• [5] BISHOP R.E.D., GLADWEL G.M.L., MICHAELSON S., 1972Macierzowa analiza drgań, WNT, Warszawa.
• [6] BOLOTIN W. W., 1956 Dynamiczna stateczność układów sprężystych, GITTL, Moskwa.
• [7] CARTMELL M., 1990 Introduction to linear, parametric and nonlinear vibrations, Chapman & Hall, London.
• [8] CHEN L.-W., KU D.-M., 1992 Journal of Sound and Vibrations 153, 3, 403-411, Eigenvalue sensitivity in the stability analysis of Beck's column with a concentrated mass at the free end.
• [9] DEMIDOWICZ B.R, 1972 Matematyczna teoria stabilności, WNT, Warszawa.
• [10] DEMS K., MRÓZ Z., 1983 International Journal of Solid Structures 19, 8, 677-692, Variational approach by means of adjoint systems to structural optimization and sensitivity analysis-I. Variation of material parameters within fixed domain.
• [11] DEMS K., MRÓZ Z., 1984 International Journal of Solid Structures 20, 6, 527-552, Variational approach by means of adjoint systems to structural optimization and sensitivity analysis-II. Structure shape variation.
• [12] DEN HARTOG J.R, 1956 Mechanical vibrations. New York: McGraw-Hill, forth edition.
• [13] DEOLASI P.J., DATTA P.K., 1997 Engineering Structures 19, 12, 1011-1017, Simple and combination resonance of rectangular plates subjected to non-uniform edge loading with damping.
• [14] DOSCH J.J., INMAN D., GARCIA E., 1992 Journal of Intelligent Material Systems and Structures 3, 166-185, A self-Sensing piezoelectric actuator for collocated control.
• [15] DZIUBIŃSKI I., ŚWIĄTKOWSKI T., 1980 Poradnik matematyczny, PWN, Warszawa.
• [16] ESMAILZADEH E., NAKHAIE-JAZAR G., 1997 International Journal of Non-Linear Mechanics 32, 5, 905-912, Periodic solution of a Mathieu-Duffing type equation.
• [17] ESMAILZADEH E., NAKHAIE-JAZAR G., 1998 International Journal of Non-Linear Mechanics 33, 4, 567-577, Periodic behaviour of a cantilever beam with end mass subjected to harmonic base excitation.
• [18] EVAN-IVANOWSKI R.M., 1965 Applied Mechanics Reviews 18, 9, 699-702, On the parametric response of structures.
• [19] FICHTENHOLZ G.M., 1978 Rachunek różniczkowi/ i całkowy, WNT, Warszawa.
• [20] FORYŚ A., GAJEWSKI A., 1987 Rozprawy Inżynierskie 35, 2, 297-308, Parametryczna optymalizacja pręta lepkosprężystego ze względu na stateczność dynamiczną.
• [21] FRANK P.M., 1978 Introduction to System Sensitivity Theory, Acad. Press.
• [22] GAJEWSKI K., RADZISZEWSKI B., 1987 Biuletyn of the Polish Academy of Sciences Technical Sciences 35, 3-A, On the stability of impact systems.
• [23] GAO H., KWOK K.S.C., SAMALI B., 1999 Engineering Structures 21, 316-331, Characteristics of multiple timed column dampers in suppressing structural vibration.
• [24] GLABISZ W., 1991 Archiwum Inżynierii Lądowej 37, 2, 151-164, O stabilizującym działaniu obciążeń niepotencjalnych w analizie stateczności układów prętowych.
• [25] GLABISZ W., 1994 Computers and Structures 53, 1, 143-153, Application of Hamilton's law to the stability analysis of a double pendulum under nonconservative loads.
• [26] GLABISZ W., 1996 Computers and Structures 60, 4, 653-663, Stability of simple discrete systems under nonconservative loading with dynamic follower parameter.
• [27] GODOY L.A., 1996 International Journal of Solid Structures 33, 15, 2177-2192, Sensitivity of post-critical states to changes in design parameters.
• [28] GRYBOŚ R., 1980 Stateczność konstrukcji pod obciążeniem uderzeniowym, PWN, Warszawa.
• [29] GU Y., CHEN L., WANG W., 1999 AIAA Journal 37, 5, 653-656, Further research for sensitivity analyses of discrete periodic systems.
• [30] GUTOWSKI R., 1978 Stateczność i wrażliwość w układach mechanicznych, Praca zbiorowa IPPT PAN, Ossolineum, Wrocław.
• [31] GUTOWSKI R., SWIETLICKI W.A., 1986 Dynamika i drgania układów mechanicznych, PWN, Warszawa.
• [32] HARRIS C.M., 1996 Shock and vibration handbook. New York: McGraw-Hill, forth edition.
• [33] HAUG E.J., CHOI K.K, KOMKOV V., 1986 Design sensitivity analysis of structural systems, Acad. Press.
• [34] HAUG E.J., EHLE P.E., 1982 International Journal for Numerical Methods in Engineering 18, 1699-1717, Second-order design sensitivity analysis of mechanical system dynamics.
• [35] HAUG E.J., ROUSSELET B., 1980 Journal of Structural Mechanics 8, 1, 17-41, Design sensitivity analysis in structural mechanics. I. Static response variations.
• [36] HOLNICKI-SZULC J., 1989 Rozprawy Inżynierskie 37, 4, 675-691, Active strategy of avoiding resonance.
• [37] HSIEH C.C., ARORA J.S., 1984 Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 43, 195-219, Design sensitivity analysis and optimization of dynamic response.
• [38] HSIEH C.C., ARORA J.S., 1984 International Journal for Numerical Methods in Engineering 20,1161-1670, Structural design sensitivity analysis with general boundary conditions: static problem.
• [39] HSU C.S. and CHENG W.H., 1974 Transaction of the ASME 98, Journal of Applied Mechanics, 41, 6, 371-378, Steady-state response of a dynamical system under combined parametric and forcing excitation.
• [40] HSU C.S., 1963 Transaction of the ASME 85, s. E, Journal of Applied. Mechanics 30, 367-372, On the parametric excitation of a dynamic system having multiple degrees of freedom.
• [41] HSU C.SV 1965 Transaction of the ASME, Journal of Applied Mechanics, 32, 373-377, Further results on parametric excitation of a dynamic system.
• [42] HSU C.S., 1972 Transaction of the ASME 96, Journal of Applied Mechanics, 39, 551-558, Impulsive parametric excitation: theory.
• [43] IBRAHIM R.A., BARR A.D., 1978 Shock and Vibration Digest 10, 1, 15-29, Parametric Vibrations Part I: Mechanics of Linear Problems.
• [44] IWATSUBO T., SAIGO M., SUGIJAMA Y., 1973 Journal of Sound and Viferation 30, 1, 65-77, Parametric instability of clamped-clamped and clamped-simply supported columns under periodic axial load.
• [45] KAMIŃSKI E., OSIŃSKI J., 1981 Archiwum Budowy Muszyn 1, 221-246, Parametric vibration of a model of one-stage gear transmission taking into account damping and constant load.
• [46] KLASZTORNY M., 1982 Archiwum Inżynierii Lądowej 28, 1-2, Drgania belkowych mostów kolejowych wywołane złożonym cyklicznym obciążeniem ruchomym.
• [47] KLASZTORNY M., 1995 Earthquake Engineering and Structural Dynamics 24, 1155-1172. Reduction of steady-state forced vibrations of structures with dynamic absorbers.
• [48] KLASZTORNY M., WÓJCICKI Z., 1987 Archiwum Inżynierii Lądowej 44, 4, 385-408. Drgania ustalone i dynamiczna stabilność układów dyskretnych poddanych działaniu wymuszenia parametrycznego i siłowego.
• [49] KRÓLIKOWSKI J., STECKIEWICZ C., 1970 Matematyka, wzory. definicje, tablice, WKŁ, Warszawa.
• [50] KRUPA A., OSIŃSKI J,. 1996 Prace Instytutu Podstaw Budowy Maszyn Politechniki Warszawskiej 2, 19-29. Zależność między drganiami parametrycznymi I wymuszonymi w dyskret-no-ciągłym układzie dynamicznym.
• [51] LASALLE J., LEFSCHETZ, 1966 Zarys teorii stabilności Lapunowa i jego metody bezpośredniej, BNI PWN, Warszawa.
• [52] LALLEMAND B., LEVEL P., DUVEAU H., MAHIEUX B., 1999 Computer and Structures 71, 257-265, Eigensolutions sensitivity analysis using a sub-structuring method.
• [53] LANGER J., 1980 Dynamika budowli, Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław.
• [54] LANGER J., KLASZTORNY M., 1981 Archiwum Inżynierii Lądowej 27, 2, Drgania złożonego układu belkowego pod ruchomym inercyjnym obciążeniem cyklicznym.
• [55] LEE I.-W., KIM D.-O., JUNG G.-H., 1999 Journal of Sound and Vibrations 223, 3, 399^12, Natural frequency and mode shape sensitivity of damped systems: Part I, Distinct natural frequencies.
• [56] LEE I.-W., KIM D.-O., JUNG G.-H., 1999 Journal of Sound and Vibrations 223, 3, 413^24, Natural frequency and mode shape sensitivity of damped systems: Part II, Multiple natural frequencies.
• [57] LEIPHOLZ H.H., 1987 Stability theory. An introduction to the stability of dynamic systems and rigid bodies. Stuttgart, John Wiley & Sons, (second edition).
• [58] LU Y., MURTHY V.R., 1992 AIAA Journal 30, 8, 1962-1969, Sensitivity analysis of discrete periodic systems with applications to helicopter rotor dynamics.
• [59] MAZUR-ŚNIADY K., ŚNIADY P., 2000 ZAMM 80, 2, 395-396, Design sensitivity of a beam with periodically variable geometry under harmonic excitation.
• [60] MCWHANNELL D.C., 1976 Journal of Sound and Oration 48, 1, 73-81, Parametric instability regions in multi-degree of freedom systems under quasi-periodic beating input excitation.[61] MIKHLIN Yu.V., ZHUPIEV A.I., 1997 International Journal of Non-Linear Mechanics 32, 2, 393-409, An application of the Ince algebraization to the stability of non-linear normal vibration models.
• [62] MOSTOWSKI A., STARK M., 1974 Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa (wydanie siódme).
• [63] MRÓZ Z., PIEKARSKI J., 1998 International Journal for Numerical Methods in Engineering 42, 1231-1262, Sensitivity analysis and optimal design of non-linear structures.
• [64] MULLER L., 1970 Przekładnie zębate, WNT Warszawa.
• [65] MURTHY V.R., LIN Y.-A., O'HARA S.W., 2000 AIAA Journal 38, 1, 115-122, Sensitivity derivatives of eigendata of one-dimensional structural systems.
• [66] NADOLSKI W., 1971 Rozprawy Inżynierskie 19, 3, 451-465, Siły dynamiczne występujące między zębami kół przekładni jednostopniowej o osiach równoległych.
• [67] NAŁĘCZ A.G., WICHER J., 1988 Journal of Sound and Vibration 120, 3, 517-526, Design sensitivity analysis of mechanical systems in frequency domain.
• [68] NAYFEH A.H., MOOK D.T., 1979 Nonlinear oscillations, Willey Interscience, New York.
• [69] NOWACKI W., 1972 Dynamika budowli, ARKADY, Warszawa (wydanie drugie).
• [70] OSIECKI J., 1969 Archiwum Budowy Maszyn 13, 3, Struktura i kinetyka płaskich sprzęgieł kompensujących niewspółosiowość łączonych wałów.
• [71] OSIECKI J., 1969 Archiwum Budowy Maszyn 13, 4, Drgania układów mechanicznych z płaskimi sprzęgłami kompensującymi niewspółosiowość łączonych wałów.
• [72] OSIŃSKI J., 1985 Mechanika Teoretyczna i Stosowana 2, 23, Analiza drgań parametrycznych układów ciągłych poddanych stałemu obciążeniu poprzecznemu z zastosowaniem metody asymptotycznej i metody elementów skończonych.
• [73] OSIŃSKI J., 1991 Journal of Theoretical and Applied Mechanics 32, 2, 241-254, Analysis of parametric vibration of continuous systems under constant transversal loading using asymptotic method and finite elements method.
• [74] OSIŃSKI J., 1991 Machine Dynamic Problems 2, 221-246, Modelling and analysis of vibration of discrete-continuous systems with parametric excitation under constant load.
• [75] OSIŃSKI J., 1993 Nonlinear Vibration Problems 25, 336-349, Parametric vibration of nonlinear systems.
• [76] OSIŃSKI Z., 1980 Teoria drgań, PWN, Warszawa.
• [77] OSIŃSKI Z., 1997 Tłumienie drgań, PWN, Warszawa.
• [78] OSIOWSKI J., 1981 Zarys rachunku operatorowego teoria i zastosowania w elektronice, WNT, Warszawa (wydanie trzecie)
• [79] OSTACHOWICZ W., 1979 Archiwum inżynierii Lądowej 25,2,203-210, Nieliniowe zagadnienie drgań parametrycznych.
• [80] PAIDOUSSIS M.P., SUNDARARAJAN C., 1975 Transaction of the ASME, Journal of Applied Mechanics 42, 780-784, Parametric and combination resonance of a pipe converting pulsating fluid.
• [81] PARK S., KAPANIA R.K., KIM S.J., 1999 AIAA Journal 37, 5, 613-622, Nonlinear transient response and second-order sensitivity using finite element method.
• [82] PIOTROWSKI J., 1969 Zagadnienia Drgań Nieliniowych 10, 257-273, Torsional vibrations of mechanical systems with elastic universal coupling.
• [83] PIPES L.A., 1953 Journal of Applied Physics 24, 902-910, Matrix solution of equations of Mathieu-Hill type.[84] RAY D., PISTER K.S., POLAK E., 1978 Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 14, 179-208, Sensitivity analysis for hysteretic dynamic systems: theory and applications.
• [85] RUDISILL C.S., BHATIA K.G., 1972 AAIA Journal 10, 12, 1569-1572, Second derivatives of the flutter velocity and the optimization of aircraft structures.
• [86] RUTA P., WÓJCICKI Z., 1999 Proceedings of the 4th European Conference on Structural Dynamics EURODYN'99, Prague, Czech Republic, (L. Fryba, J. Naprstek, editors), 1, 843-848, Rotterdam: A.A. Balkema, The sensitivity problem in identification algorithm of rairoad parameters.
• [87] RUTA P., WÓJCICKI Z., 2003 journal of Sound and Vibrations 266, 4, 1-13, Analytical sensitivity method in problem of railroad vibration.
• [88] S ANKAR T. S., RAJ AN G., 1977 Journal of Engineering for Industry, Transaction of the ASME 99, 41-45, Dynamic response of elastic rods tinder parametric excitation.
• [89] SCARPA F., CURTI G., 1999 Applied Acoustics 58, 451-467, A method for the parametric frequency sensitivity of interior acousto-structural coupled systems.
• [90] SCHMIDT G., TONDL A., 1986 Non-linear vibrations, Akademie-Verlag, Berlin.
• [91] SEYRANIAN A.P., SOLEM F., PEDERSEN P., 2000 Journal of Sound and Vibrations 229, 89-111, Multi-parameter linear periodic systems: sensitivity analysis and applications.
• [92] SHIAU L.-C., WU T.-Y., 1996 International Journal of Non-Linear Mechanics 31, 2,193-201, E finite-element method for analysis of a non-linear system tinder stochastic parametric and external excitation.
• [93] SINHA S.C., BUTCHER E.A., 1997 Journal of Sound and Vibrations 206, 1, 61-85, Symbolic computation of fundamental solution matrices for linear time-periodic dynamical systems.
• [94] SKALMIERSKI B., 1971 Mechanika teoretyczna, Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice
• [95] SKALMIERSKI B., 1973Mechanika z wytrzymałością materiałów dla automatyków, PWN, Warszawa.
• [96] SKALMIERSKI B., 1998 Mechanika, PWN, Warszawa.
• [97] SKALMIERSKI B., TYLIKOWSKI A., 1973 Stabilność układów dynamicznych, PWN, Warszawa.
• [98] SZABELSKI K., WARMIŃSKI J., 1995 International Journal of Non-Linear Mechanics 30, 2, 179-189, Parametric self-excited non-linear system vibrations analysis with inertial excitation.
• [99] SZEMPLINSKA-STUPNICKA W., 1975 Zastosowanie parametrycznych równań różniczkowych w mechanice i technice, Pr. IPPT PAN, 1, Warszawska Drukarnia Naukowa, Warszawa.
• [100] SZEMPLINSKA-STUPNICKA W., 1976 Przybliżone metody analityczne badania niestateczno-ści parametrycznej, Współczesne Zagadnienia Dynamiki Maszyn, Wroclaw, Ossolineum.
• [101] SZEMPLINSKA-STUPNICKA W., 1977 Uogólnienie metody bilansu harmonicznych do wyznaczania parametrycznych rezonansów kombinowanych, Pr. IPPT PAN, 71, Warszawska Drukarnia Naukowa, Warszawa.
• [102] SZEMPLINSKA-STUPNICKA W., 1990 The behaviour of nonlinear vibrating systems, Khi-wer Academic, Dordrecht/Boston/London, Vol. II.
• [103] SZYMCZAK C., 1999 Archives of Civil Engineering, 40, 401—il2, Sensitivity analysis of critical loads of flexnral-torsional buckling of thin-walled I beam.
• [104] SZYMCZAK C., 2003 Thin-walled Structures, 41, 271-290, Sensitivity analysis of thin-wal-led members, problem and applications.
• [105] ŚNIADY P., GLABISZ W., 1999 Proceedings of the 4th International Conference on Stochastic Structural Dynamics-SSI798, Notre Dame, Indiana, USA, (B.RSpencer, E.A.Jonson, editors), 349-353, Rotterdam: A A. Balkema, Stability of 1 DOF system under nonconservative loading with stochastic follower parameter.
• [106] ŚNIADY P., GLABISZ W., 2000 Collegium on Stochastic Dynamics of Nonlinear Mechanical Systems, EUROMECH, Palermo, Italy, 413, Stability of nonlinear nonconservative system with Gaussian and non-Gaussian disturbances of periodic excitation.
• [107] ŚNIADY P., SIENIAWSKA R., ŻUKOWSKI S., 1999 Engineering Transactions 48, 4, 405-414, Sensitivity of a bar structures reliability.
• [108] ŚNIADY P., SIENIAWSKA R., ŻUKOWSKI S., 1999 Proceedings of a 14th Polish Conference on Computer Methods in Mechanics, Rzeszów, Poland, (W. Lakota, Z. Waszczyszyn, L. Ziemiański editors), 357-358, Sensitivity of a bar structures reliability.
• [109] ŚNIADY P., SIENIAWSKA R., ŻUKOWSKI S., 1999 Proceedings of the 4th European Conference on Structural Dynamics EURODYN'99, Prague, Czech Republic, (L. Fryba, J. Naprstek, editors), 1, 219-224, Rotterdam: A.A. Balkema, Design sensitivity of a system under stochastic impulses.
• [110] TONDL A., 1991 Quenching of self-excited vibrations, Elsevier, Amsterdam.
• [111] TONDL A., 1992 Acta Tech. CesŁ Akad. Ved, 37, 735-758, A contribution to the analysis of autoparametric systems.
• [112] TONDL Av NAB ERGO J Rv 1993 Autoparametric systemsy Rep. 16, University of Trieste, Department of Naval Architecture, Ocean and Environmental Engineering, Trieste, Italy.
• [113] TONDL A., RUIJGRIK T., VERSHULST F. I NABERGOJ R., 2000 Autoparametric resonance in mechanical systems, Cambridge University Press, Cambridge.
• [114] TYLIKOWSKI A., 1993 /. Theoretical and Applied Mechanics 31, 3, 657-670, Stabilization of beam parametric vibrations.
• [115] VAN BELLE H., 1982 AIAA Journal 20, 2, 286-288, High order sensitivities in structural systems.
• [116] VAN DER BURGH A., 1968 /. Mec.f 7, 4, 507-520, On the asymptotic solutions of the differential equations of the elastic pendulum.
• [117] WATARI A., IWAMOTO S., 1974 Vehicle System Dynamics 3, 1-16, Application of sensitivity analysis to vehicle dynamics.
• [118] WEISS K.D., CARLSON J.D., COULTER J.P., 1993 journal of Intelligent Material Systems and Structures 4, 13-34, Material aspects of electrorheological systems.
• [119] WICHER J., 1987 Rozprawy Inżynierskie 35, 2, 229-240, First and second order sensitivity derivatives of mechanical systems transfer matrix.
• [120] WICHER J., NAŁĘCZ A., 1987 International Journal for Numerical Methods in Engineering 24, 2357-2366, Second order sensitivity analysis of lumped mechanical systems in the frequency domain.
• [121] WOLFRAM S., 1999 The Mathematica Book. New York: Wolfram Media/Cambridge University Press (forth edition).
• [122] WÓJCICKI Z., L986 Archiwum Inżynierii Lądowej 32,2,207-220, Metoda bezpośredniej analizy rezonansów parametrycznych.
• [123] WÓJCICKI Z., 1994 Proceedings of the 2nd International Conference on Computer Structure Technology, Athens, Greece, Advances in Computational Mechanics, 215-223, CIVIL-COMP ltd, Edinburgh, Scotland, (M. Papadrkakis and B.H.V. Topping, editors), Sensitivity analysis of steady-state response of parametric systems.
• [124] WÓJCICKI Z., 1997 Proceedings of a 11th Polish Conference on Computer Methods in Mechanics, Poznań, Poland, 4, 1417-1424, Efficiency analysis of a vibration absorber in a case of parametric excitation.
• [125] WÓJCICKI Z., 1998 ZAMM 78, 2, 815-816, Sensitivity analysis of steady-state response of parametric mass supporting bare structure.
• [126] WÓJCICKI Z., 2000 Archives of Civil Engineering 46, 2, 345-355, Design sensitivity of transient vibration of two-mass system.
• [127] WÓJCICKI Z., 2001 ZAMM 81,2, 237-238, Transient process' sensitivity for turbo-generator supporting structure with regard to parametric excitation.
• [128] WÓJCICKI Z., 2002 Journal of Sound and Vibrations 253, 4, 755-772, Sensitivity analysis as a method of absorber tuning for reduction of steady state response of linear parametric systems.
• [129] WÓJCICKI Z., CHROBOK R., 1998 Inżynieria i Budownictwo 10, 567-570, The sensitivity analysis as a estimate criterion of shaker-foundation structure model.
• [130] WÓJCICKI Z., GROSEL J., 1999 Proceedings of the 4th European Conference on Structural Dynamics EURODYN'99, Prague, Czech Republic, (L. Fryba, J. Naprstek, editors), 1, 531-536, Rotterdam: A.A. Balkema, Efficiency of a parametric absorber in a case of parametric excitation.
• [131] WÓJCICKI Z., GROSEL J., 1999 ZAMM 79,2, 367-368, The stability and sensitivity analysis of structure supporting turbo-generator with regard to parametric effects.
• [132] WÓJCICKI Z., GROSEL J., 2000 ZAMM 80,2, 311-312, The stability and sensitivity analysis of structure supporting turbo-generator with regard to parametric effects.
• [133] WÓJCICKI Z., IWANKIEWICZ R., 1988 Rozprawy inżynierskie 36, 4, 769-779, Stochastyczna stateczność dynamiczna pręta przy niestacjonarnym impulsowym wymuszeniu parametrycznym.
• [134] WÓJCICKI Z., LANGER J., 1982 Archiwum Inżynierii Lądowej 28, 3-4, 195-204, Bezpośrednia metoda analizy dynamicznej stateczności konstrukcji w przestrzeni konfiguracyjnej.
• [135] XU Y.L., 1996 Engineering Structures 18, 1, 64-76, Parametric study of active mass dampers for wind-excited tall buildings.
• [136] YAKUBOVITCH V.A., STARZHINSKI V.M., 1987 Paramietriceski rezonans w liniejnych sistiemach, Moskwa, Nauka.
• [137] YAMAGUCHI H., YASHIME M., HIRAYAMAY., 1997 Journal of Sound and Vibrations 208, 5, 729-743, Vibration reduction and isolation performance for on-off control of a friction force at a spring support.
• [138] YANG S.M., TSAO S.M., 1997 Computer and Structures 62, 4, 643-651, Dynamics of a pre-twisted blade under nonconstant rotating speed.
• [139] YU R, HUSEYIN K., 1998 International Journal of Non-Linear Mechanics 33, 6, 967-978, Parametrically excited non-linear systems: a comparison of certain methods.
• [140] ZHANG Q-L., PEIL U., 1999 Computer and Structures 73, 437-443, Dynamic behaviours of cables in parametrically unstable zones.
• [141] ZIEMBA S., 1957 Analiza drgań, PWN, Warszawa.