Computing periodic solutions of linear differential-algebraic systems with nonsinusoidal excitations

• Autorzy: Trzaska Z.W. , Marszałek W.

Warianty tytułu

PL

Wyznaczanie okresowych rozwiązań liniowych układów różniczkowo-algebraicznych z niesinusoidalnymi wymuszeniami

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

In the paper the Kronecker-Weierstrass form of linear matrix pencils is applied to analyse periodic solutions of linear differential algebraic equations that are frequently used as models of electric circuits as well as of mechanical and chemical systems. The input variables are periodic, bounded and may have discontinuities. The obtained solutions are exact and all the drawbacks of the Fourier series approach (e.g. the Gibbs phenomenon) are avoided. Two illustrative examples are also presented.

PL

W artykule przedstawiona jest efektywna metoda wyznaczania okresowych rozwiązań układów liniowych równań różniczkowo-algebraicznych, które są często stosowane w modelowaniu zarówno obwodów elektrycznych, jak też układów mechanicznych oraz procesów chemicznych. Rozpatrzono układy z wieloma źródłami niesinusoidalnych sygnałów o tym samym okresie zmian w czasie ich wartości chwilowych i z możliwymi nieciągłościami spełniającymi warunki Dirichleta. Przedstawiono efektywny sposób dokładnej reprezentacji niesinusoidalnych sygnałów okresowych bez stosowania szeregu Fouriera, co pozwoliło ustrzec się od niedogodności powodowanych efektem Gibbsa. Zastosowane zostało przekształcenie Kroneckera-Weierstrassa w odniesieniu do liniowego pęku macierzowego, co w efekcie pozwoliło na rozseparowanie równań różniczkowo-algebraicznych na dwa podukłady: regularny oraz singularny. Dla stanu ustalonego wyznaczono dokładne rozwiązania otrzymanych podukładów równań. Podano kryteria istnienia oraz algorytm określania tych rozwiązań. Dla poszczególnych źródeł zostały zdefiniowane i szczegółowo przedyskutowano pętle określające dokładnie ich energię jednookresową na fazowej płaszczyźnie energii. Przedstawione zostały odpowiednie schematy służące do jednolitej reprezentacji histerezowych pętli energii jednookresowej dla każdego źródła. Zrealizowane zostały stosowne symulacje komputerowe a ich reprezentatywne wyniki odniesione są do wybranych układów, które często występują w praktyce.

Słowa kluczowe

EN

periodic solutions; DAEs; concatenation method

PL

rozwiązanie okresowe; metoda konkatenacji

• Wydawca: Polish Academy of Sciences, Committee on Electrical Engineering
• Czasopismo: Archives of Electrical Engineering
• Rocznik: 2006
• Tom: Vol. 55, nr 3-4
• Strony: 255--271
• Opis fizyczny: Bibliogr. 29 poz., rys.

Twórcy

autor

Trzaska Z.W.

autor

Marszałek W.

• Department of Electrical Engineering, Warsaw University of Technology,,

Bibliografia

• 1. Trzaska Z., Marszalek W.: Periodic solutions of DAEs with applications to dissipative electric circuits. Proc. IASTED Conf. Modelling, Identification and Control (MIC'06), Lanzarote (Spain), 6-8 Feb. 2006.
• 2. Farkas M.: Periodic Motion. Springer-Verlag, New York, 1994.
• 3. Chian H.D., Chu C.C., Cauley G.: Direct stability analysis of electric power systems using energy functions: theory, applications, and perspective. Proc. IEEE, Vol.83, 1995, pp. 1497-1529.
• 4. Trzaska Z.: Straightforward method for studies of periodic non-harmonic states of linear systems. Archives of Electrical Engineering, Vol. LIII, No. 2, 2004, pp. 191-215.
• 5. Trzaska Z.: A new method of shaping one-period energies of dynamical systems operating in non-sinusoidal states. Archives of Electrical Engineering, Vol. LIV, No. 3, 2005, pp. 265-287.
• 6. Campbell S.L., Marszalek W.: Index of infinite dimensional differential algebraic equations. Mathematical and Computer Modeling of Dynamical Systems, Vol. 5, 1999, pp. 18-42.
• 7. Campbell S.L., Marszalek W.: ODE/DAE integrators and MOL problems. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (ZAMM), Vol. 34, 1996, pp. 251-254.
• 8. Campbell S.L., Marszalek W.: Mixed symbolic-numerical computations with general DAEs: an applications case study. Numerical Algorithms, Vol. 19, 1998, pp. 85-94.
• 9. Ragos O., Vrahatis M.N., Androulakis G.S.: Methods for the computation of periodic solutions of dynamical systems. Proc. Sixth Int. Colloq. Diff. Eqs, D. Bainov, ed., Zeist, The Netherlands: VSP International Science Publishers, 1996, pp. 213-220.
• 10. Albertos P., Sala A.: Multivariable Control Systems. An Engineering Approach. Springer- Verlag: Berlin, New York, 2003.
• 11. Chua L.O., Lin P.M.: Computer-Aided Analysis of Electronic Circuits: Algorithm and Computational Techniques. Prentice-Hall, Englewood Clifs, N.J, 1975.
• 12. Mhaskar H.N., Prestin J.: On the detection of singularities of a periodic function. Adv. in Comp. Math., Vol. 12, No. 1, 2000, pp. 95-131.
• 13. Bart1e R.G., Sherbert D.: Introduction to Real Analysis. 2nd ed., New York, J. Wiley, 1997.
• 14. Riaza R.: A matrix pencil approach to the local stability analysis of non-linear circuits. Int. J. Circuit. Theory and Appl., Vol. 32, No. 23, 2004, pp. 23-46.
• 15. Tadeusiewicz M.: A method for identification of asymptotically stable equilibrium points of certain class of dynamic circuits. IEEE Trans. Circuits and Systems, Part I., Vol. 46, No. 5, 1999, pp. 1101-1109.
• 16. Beardmore R.E.: The singularity induced bifurcation and its Kronecker normal form. SIAM J. Matrix Anal, Vol. 23, 2001, pp. 1-12.
• 17. Beardmore R.E.: The flow of a differential-algebraic equation near singular equilibrium. SIAM J. Matrix Anal., Vol. 24, No. 1, 2002, pp. 106-120.
• 18. Chun-Lei T., Wu X.-P: A note on periodic solutions of non-autonomous second-order systems. Proc. Am. Math. Soc, Vol. 132, No. 5, 2004, pp. 1295-1303.
• 19. Riaza R., Campbell S.L., Marszalek W.: On singular equilibria of index-1 DAEs. Circuits, Syst., Signal Proc, Vol. 19, 2000, pp. 131-157.
• 20. Trzaska Z.W., Marszalek W.: Singular distributed parameter systems. IEE Proceedings, Pt.D, Control Theory and Appl., Vol. 140, 1993, pp. 305-308.
• 21. Est'evez Schwarz D., Tischendorf C: Structural analysis of electrical circuits and consequences for MNA. Int. J. Circuit Theory and Applications, Vol. 28, 2000, pp. 131—162.
• 22. Tischendorf C: Coupled Systems of Differential Algebraic and Partial Differential Equations in Circuit and Device Simulation. Habilitation Thesis, Humboldt University, Berlin, 2003.
• 23. März R.: Progress in handling differential-algebraic equations. Annals of Numerical Mathematics, Vol. 1, 1994, pp. 279-292.
• 24. März R.M.: On linear differential-algebraic equations and linearizations. APNUM, Vol. 18, 1995, pp. 267-292.
• 25. Tischendorf C: Topological index calculation of DAEs in circuit simulation. Survey Math. Ind., Vol. 8, 1999, pp. 187—199.
• 26. Günther M., Feldmann U.: The DAE index in electric circuit simulation. Math, and Comp. in Simul., Vol. 39, 1995, pp. 573-582.
• 27. Arnold M., Günther M.: Preconditioner dynamic iteration for coupled differential-algebraic systems. BIT Numerical Mathematics, Vol. 41, 2001, pp. 1-25.
• 28. Morisue M., Kanasugi K.: Chaos and Its Associated Oscillations in Josephson Circuits. In: Bifurcation and Chaos. Theory and Applications. J. Awrajcewicz (ed.), Springer, New York, 1995, pp. 133-152.
• 29. Jiang Y.-L., Chen R.M.M.: Computing periodic solutions of linear differential-algebraic equations by waveform relaxation. Mathematics of Computation, Vol. 74, No. 250, 2005, pp. 781-804.