On strange attractors for discrete models of long transmission lines. Part 2. Results of computer simulations and strange attractors

• Autorzy: Trzaska Zdzisław W.

Warianty tytułu

PL

Dziwne atraktory układów dyskretnych modelujących linie długie. Część 2. Wyniki symulacji komputerowych i dziwne atraktory

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

In the first part of this paper we have formulated approximate models of long transmission lines and their explicit solutions in terms of specific power polynomials characterised by coefficients corresponding to appropriate elements of the Pascal triangle have been presented. In this part of the paper the solutions in terms of appropriate continued fractions are established and the corresponding generating matrices are involved. Problems concerning some equalities and the limiting behaviour of the system as well as its parameters determining suitable initial terms are also studied. Conditions leading to strange attractors for semi-discrete models are formulated and their effects are studied. Basins of attraction of the strange attractors are exhibited.

PL

W części pierwszej artykułu przedstawione zostały pół-dyskretne modele stosowane w badaniach stanów nieustalonych w liniach długich oraz jawne rozwiązania wynikowych nieliniowych równań różnicowych w uzależnieniu od wielomianów potęgowych o współczynnikach wyrażonych za pomocą odpowiednich elementów trójkąta Pascala. W tej części artykułu zostały przedstawione rozwiązania przy zastosowaniu ułamków łańcuchowych oraz odpowiednich macierzy generujących poszczególne ilorazy tych ułamków. Zagadnienia odnoszące się do pewnych równości oraz zachowania się rozwiązań dla szczególnych przypadków granicznych w układzie jak też dla różnych warunków brzegowych zostały zbadane. Szczegółowym badaniom poddano wpływ częstotliwości wymuszenia sinusoidalnego na rozkład ustalonych napięć i prądów w układzie. Analizie poddane zostały warunki wiodące do dziwnych atraktorów w przypadku pół-dyskretnych modeli stosowanych często w badaniach układów o parametrach rozłożonych typu hiperbolicznego. Obszary przyciągania dla dziwnych atraktorów zostały również przedstawione.

Słowa kluczowe

EN

long transmission lines; discrete models; continued fractions; strange attractors

PL

linia przesyłowa; model dyskretny; atraktor

• Wydawca: Polish Academy of Sciences, Committee on Electrical Engineering
• Czasopismo: Archives of Electrical Engineering
• Rocznik: 2003
• Tom: Vol. 52, nr 1
• Strony: 3--20
• Opis fizyczny: Bibliogr. 28 poz., rys.

Twórcy

autor

Trzaska Zdzisław W.

• Institute of the Theory of Electrical Engineering and Electrical Measurements, Warsaw University of Technology

Bibliografia

• 1. Addison P. S.: Fractals and Chaos. Inst. of Physics Publish. Ltd, Bristol and Philadelphia, 1997.
• 2. Agarwal R. P., Wang P. J. Y.: Advanced Topics in Difference Equations. Kluwer, Dordrecht, 1997.
• 3. Chua L. O., Lin P. M.: Computer-Aided Analysis of Electronic Circuits: Algorithms & Computational Techniques. Prentice-Hall, Englewood Clifs, New Jersey, 1975.
• 4. Corless R. M.: Continued Fractions and Chaos. Canadian Mathematical Society Conference Proccedings, 1997, Vol. 20, pp. 205-237.
• 5. Elayadi S. N.: An Introduction to Difference Equations and Simulations. Prentice-Hall, Englewood Clifs, New Jersey, 1968.
• 6. Hildebrandt F. B.: Finite Difference Equations and Simulations.Prentice-Hall, Englewood Clifs, New Jersey, 1968.
• 7. Jodar L., Villaneuva R. J.: Explicit Solutions of lmplicit Second-Order Difference Systems in Unbounded Bilateral Domains. Comp. Math. Applic, Vol.32, No.9, 1966, pp. 19-28.
• 8. Jones W. B., Thron W. J.: Continued Fractions. Analytic Theory and Applications. Addison-Wesley, Reading, 1980.
• 9. Kahn P. B .: Mathematical Methods for Scientists & Engineers. J. Wiley & Sons, New York, 1990.
• 10. Kudrewicz J .: Fraktale i chaos (Fractals and Chaos - in Polish). WNT, Warszawa 1996.
• 11. Langtangen H. P.: Computational Partia! Differential Eąuations. Numerical Methods and Diffpack Programming. Springer-Verlag, Berlin/New York/Heidelberg, 1999.
• 12. Lax P. D., Wendroff B.: Systems of conservation laws. Comm. Pure Appl. Math Vol 13 1960 pp. 217-237.
• 13. Le Veque R. J.: Numerical Methods for Conservation Laws. Birkhauser, Basel, 1992.
• 14. Marafino J., McDevitt T. J.: Convergence of Complex Continued Fractions. Mathematics Magazine. Vol.6, No. 3, 1995, pp. 203-208.
• 15. Marszalek W., Unbehauen H.: A simple method of recursive parameter identifwations for a class of distributed parameter systems. Intern. J. Syst. Sci., Vol.24, No.8, 1993, pp. 1439-1453.
• 16. Marszalek W., Trzaska Z.: Analysis of implicit hyperbolic systems. Appl.Math. Model., Vol.l9, No.7 1995, pp. 400-410.
• 17. Parker T. S., Chua L. O.: Practical Numrical Algorithms for Chaotic Systems, Springer-Verlang, New York, Berlin , 1989.
• 18. Perron O.: Die Lehre von den Kettenbrchen . Band I, Band II. Tebner, Stuttgart, 1954, 1957.
• 19. Schinzel A.: Polynomials with special regard to reducibility. Cambr. Univ. Press, Cambridge, 2000.
• 20. Strikwerda J. C.: Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. Wadsworth & Brooks/Cole, Pacific Grove, California, 1989.
• 21. Szafrański Z., Szmanda B.: Oscillation Theorems for Some Nonlinear Difference Equations. Appl. Math. Comp., Vol. 83, No. 1, 1997, pp. 43-52.
• 22. Trzaska Z.: On links between continued fractions and modified numerical triangles. Comm. Anal. Theory Cont. Fracts., Vol. 5, Summer 1996 pp. 17-26.
• 23. Trzaska Z., Fibonacci polynomials: Their properties and applications. J. Anal. Applics., Vol. 15, No. 3, 1996, pp.729-746.
• 24. Trzaska Z., Marszalek W.: Singular distributed parameter systems. IEEE Proc.-D. Control Theory Appl., Vol. 140, No. 5, 1993, pp. 305-308.
• 25. Trzaska Z., On strange attractors for discrete models of long transmission lines. Part 1. The problem background and preliminary results. Archives of Electrical Engineering, Vol. LI, No 4, 2002, pp. 355-369.
• 26. Trzaska Z.: Explicit Solution of Certain Nonlinear Difference Equations by Using Power Polynomials. Int. J. Computers & Mathm. with Applications, Vol. 42, 2001, pp. 981-991.
• 27. Wai-Kai Chen: Theory and Design of Broadband Matching Networks. Pergamon Press, Oxford, New York, 1976.
• 28. Yang W., Ding E-J., Ding W.: Universal scaling law for largest Lyapunov exponent in coupled lattices. Phys. Rev. Lett., Vol. 76, No. 2, 1996, pp. 1808-1811.