Linear algebra approach and the quasi-Newton algorithm for the optimal coil design problem

• Autorzy: Garda B.

Warianty tytułu

PL

Zastosowanie liniowej algebry i algorytmu quasi Newtona do optymalnego projektowania cewki

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

In this work, the problem of shaping magnetic field excited by magnetic coils is considered. An important special case is constructing coils that excite a homogenous magnetic field in some specific regions. This problem is an important step in the design of superconducting magnetic coils for Magnetic Resonance Imaging devices, where in certain regions a strong static magnetic field with high homogeneity is needed. The linear coil design problem is investigated using two approaches. The first approach is based on linear algebra. The problem under study can be formulated as an over-determined set of linear equations. Since usually the matrix describing the problem is ill-conditioned, solutions obtained using the least squares method are very large in magnitude and hence are useless from the applications point of view. The Tichonov regularization method is employed to make the linear problem well-posed. In the second approach the problem is formulated as an optimisation task, which is solved using the quasi-Newton optimisation algorithm. Performance of both methods in terms of their effectiveness is compared using several examples.

PL

W niniejszej pracy autor rozważa problem kształtowania pola magnetycznego w cewce. Ważnym szczególnym przypadkiem jest konstrukcja cewek wytwarzających pole jednorodne w zadanym obszarze. Ten problem szczególnie dotyczy budowy cewek dla urządzeń rezonansu magnetycznego, gdzie w pewnym rejonie wymagane jest jednorodne pole magnetyczne. Rozważane są dwie metody rozwiązania tego problemu. Pierwsza z nich korzysta z metod algebry liniowej, na potrzeby których problem formułuje się jako nadokreślony układ równań liniowych. Problem ten zwykle jest źle uwarunkowany, szczególnie dla wysokiego wymiaru problemu. W efekcie rozwiązania otrzymane za pomocą metody najmniejszych kwadratów mają bardzo duże wartości bezwzględne i są nieprzydatne punku widzenia aplikacji. W celu poprawy wskaźnika uwarunkowania problemu zastosowano metodę regularyzacji Tichonowa. W drugim podejściu problem jest sformułowany jako zadanie optymalizacyjne, do którego rozwiązania zastosowano metodę quasi-Newtona. Oba podejścia zostały porównane, ze względu na efektywność oraz możliwość aplikacji w układach rzeczywistych.

Słowa kluczowe

EN

coil design; least squares method; Tichonov regularization; quasi-Newton method

PL

projektowanie cewek; metoda najmniejszych kwadratów; regularyzacja Tichonowa; metoda quasi-Newtona

• Wydawca: Wydawnictwo SIGMA-NOT
• Czasopismo: Przegląd Elektrotechniczny
• Rocznik: 2012
• Tom: R. 88, nr 7a
• Strony: 261--264
• Opis fizyczny: Bibliogr. 12 poz., tab., wykr.

Twórcy

autor

Garda B.

• Faculty of Electrical Engineering, Automatics, Computer Science and Electronics, AGH University of Science and Technology, al. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków, Poland,

Bibliografia

• [1] S. Crozier, D. M. Doddrell; Compact MRI magnet design by stochastic optimization; Journal of the Magnetic Resonance, vol. 127 pp. 233–237, Aug 2007
• [2] J. Czosnowski; Air-coil design using genetic algorithm (in Polish); Proceedings of the XXII National Conference on Circuit Theory and Electronic Networks : Warszawa-Stare Jabłonki, October, 1999. Vol. 2/2
• [3] H. Sanchez, C. Garrido: Multiobjective resistive magnet optimization using differential evolution algorithm; Proceedings VI International Workshop Inverse Problems in Electromagnetism, Turyn, Italy, 2000
• [4] S. Wincenciak, J. Starzyński , R. Szmurło, A. Michalski, Z. Watral, P. Rowiński; Searching for the best optimizer for an automated CAD system; Przegląd Elektrotechniczny (Electrical Review), vol. 86, pp. 91-93, no. 1, 2010,
• [5] R. Turner: A target field approach to optimal coil design; J. Phys. D., vol. 19, no. 8, pp.147–151, Aug. 1986
• [6] R. Ravaud, G. Lemarquand; Magnetic field in MRI Yokeless devices: Analytical approach; Proceedings of The Progress In Electromagnetics Research, pp. 327–341, 2009.
• [7] Hao Xu. S. M. Conolly, G. C. Scott, A. Macovski: Homogeneous magnet design using linear programing; IEEE Transactions on Magnetics, 36, pp. 476–483, 2000.
• [8] James Demmel; Applied numerical linear algebra; SIAM, 1997
• [9] A. N. Tikhonov, W. J. Arsenin; Methods of solution incorrect problems; Moscow: Nauka, (in Russian). 1974
• [10] R. Zdunek, A. Prałat; Estimation of Tichonov Regularization Parameter for Image Recognition in Electromagnetic Geotomography; Proceedings of the 2nd International Symposium on Process Tomography, Wroclaw, Poland, September, 2002
• [11] Per Christian Hansen; Regularization Tools — A Matlab package for analysis and solution of discrete ill-posed problems; Numerical Algorithms, vol. 46 pp. 189–194, 2007
• [12] Abebe Geletu; Solving optimisation problems using the Matlab Optimisation Toolbox — a Tutorial; TU-Ilmenau, Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften, December 2007