Galilean-invariant formulation of the fluid mechanics

• Autorzy: Piekarski S.
• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

It seems that an approach, discussed in this text, started in 1991; then the notions of the "amorphous Galilean space-time" and the "Galilean space-time with measurable time intervals" have been introduced in S?lawianowski's monograph [1] and the notion of the "non-relativistic four-velocity" has been introduced in [2] by Piekarski. In the present text applications of the non-relativistic four-velocity in fluid mechanics and kinetic theory are discussed. The most direct application of the non-relativistic four-velocity is that it allows one to construct inertial coordinate systems explicitly, that is, in terms of the four-dimensional affine geometry (see [3]). The Galilean space-time and the Minkowski space-time are both four-dimensional affine spaces and an important difference is that the first one possess a "canonical" family of parallel hyperplanes of simultaneous events. In order to analyse Galilean-invariant field equations (like Navier-Stokes-Fourier theory) one has to understand the nature of differential operators on the "amorphous Galilean space-time" and related spaces [1]. In 1992, the differential operators on the amorphous Galilean space-time have been introduced using the "dual" approach of Peradzy´nski by Piekarski (compare [4, 5, 6], see also [7, 8, 9, 10]). Alternatively, one can use the definition of the complete derivative in the normed affine space given in Schwartz's monograph [11]. This definition can be applied in finite-dimensional affine spaces since all norms in the corresponding translation spaces are equivalent. In Galilean spacetime (which is a four-dimensional affine space) the hyperplanes of simultaneous events are the three-dimensional affine spaces what implies a coexistence of two "canonical" complete derivatives; one is the "four-dimensional" and the second one is the "three-dimensional" (some results on that subject are given in [3], together with the observation that the "substantial derivative" of the fluid mechanics is a directional derivative along the non-relativistic four-velocity). In the present text it is shown that the Navier-Stokes-Fourier equations can be written invariantly. The invariant interpretation of the Gibbs identity is given (see Eqs. (3.43)-(3.53)). vi Preface Some invariant aspects of the non-relativistic kinetic theory are also discussed. The potential application of our approach is the problem of the symmetry group for the fluid mechanics and the kinetic theory. As it is well-known, in continuum mechanics one usually applies the "principle of the material indifference" (see, for example, Jemio?lo and Telega [12]) but at the same time some scientists stress that in the kinetic theory of gases such quantities as the heat flux have non-objective macroscopical constitutive laws ([13], p. 97). It is not excluded that the above mentioned discrepancy could be eliminated after formulating the fluid mechanics and the kinetic theory in the manner invariant with respect to the automorphisms of the Galilean space-time. Our hypotheses on this subject is discussed shortly in the last chapter and in Appendix F (the adequate formalism here is Rychlewski's theory of "?-structures" [45] for "affine" automorphisms of Galilean group acting on the Galilean space-time). Readers uninterested in Galilean invariance can read the second chapter only, where the results of this text concerning the Navier-Stokes-Fourier equations are written in the standard notation. In particular, new solutions of the Gibbs identity for dense fluids are found and the corresponding sound speeds are computed. It is hoped that our approach shall be applied in acoustics of fluids (part of our main results shall be published in Archives of Acoustics, [17]). In medical acoustics, biological tissues are often modelled as the dense fluids [47, 67] what gives strong motivation for developing of mathematical methods in the modelling of dense fluids.

PL

Przedstawiona praca dotyczy sformułowania mechaniki cieczy w jezyku nierelatywistycznej czasoprzestrzeni Galileusza (jako struktury algebraicznej) oraz niezmienniczości operatorów różniczkowych i równań. Treść rozprawy jest kontynuacją wcześniejszych wyników, które otrzymano w roku 1991, gdy to Sławianowski wprowadził modele czasoprzestrzeni Galileusza ("amorphous Galilean spacetime" i "Galilean space-time with measurable time distances") opisane w [1] oraz autor wprowadził w [2] pojęcie "nierelatywistycznej czteropredkości". Niektóre wyniki, opisane w rozprawie, zostały opublikowane przez autora niedawno [16, 17], natomiast na ostateczna treść miały wpływ zarówno wcześniejsze prace autora o niezmienniczych definicjach równań cząstkowych na przestrzeniach afinicznych i przestrzeniach afinicznych z dodatkowymi strukturami [3, 4, 7-10] jak i prace dotyczące niezmienników w ogólnorelatywistycznym rachunku perturbacyjnym, wykonane przez autora wspólnie z Z. Banachem [58-65]. Najwięcej uwagi poswięcono równaniom Naviera-Stokesa-Fouriera i ich konsekwencjom. Z punktu widzenia zastosowań, najważniejsze wydają sie wyniki dotyczące gestych cieczy, które zostały opisane w "standardowej" notacji w rozdziale drugim (zostały one częściowo opublikowane w artykułach [16, 17]). "Tożsamości termostatyczne" otrzymuje się tam jako konsekwencje równań Naviera-Stokesa- Fouriera a jako pola pierwotne przyjmuje gęstość masy i temperature T. Opisano tam propozycje autora, aby "gęstą ciecz" definiować poprzez warunek, że gęstość energii (na jednostkę masy) zależy nie tylko od temperatury T, ale także od gęstości masy. W przedstawionej rozprawie (i w pracach [16, 17]) autor pokazał, ze jesli gestosc energii na jednostke masy zależy tylko od temperatury oraz jednocześnie spełniona jest tożsamość Gibbsa, to ciśnienie jest dowolną funkcją od gestości masy mnożoną przez temperature T. Podano nowe rozwiazania dla tożsamości Gibbsa, opisujące w szczególności gęste ciecze i obliczono odpowiednie prędkości dźwieku. Pokazano, że w ramach zaproponowanego podejścia można opracowaćprzyblizona klasyfikacje gęstych cieczy, która w szczególności może przypominać rozwinięcia wirialne i, dla przykładu, zbadano proste przypadki "gęstych cieczy". Modele gęstych cieczy mogą być użyteczne np. dla akustyki medycznej, gdzie często tkanki biologiczne są modelowane jako gęste ciecze. Przedstawione w rozprawie wyniki mają tylko zilustrować proponowane podejście i uzasadnić celowość kontynuowania badań. Przy badaniu gęstych cieczy, Galileuszowskie niezmienniki pomogły uścislić dyskusje. Jednoczesnie, Galileuszowska niezmienniczość operatorów rózniczkowych i równań pola może bycćosobnym tematem badań i niezmiennicze zapisanie równan Naviera-Stokesa-Fouriera zostało ułatwione dzięki obserwacji autora, ze "pochodna substancjalna" nierelatywistycznej hydrodynamki kontinuum jest pochodną kierunkową w kierunku "nierelatywistycznej czteroprędkości" [3]. W przedstawionej rozprawie dyskutowane są też niektóre fakty, dotyczące niezmienniczych aspektów nierelatywistycznej teorii kinetycznej. W rozdziale czwartym podano niezmiennicze sformułowanie nierelatywistycznej funkcji rozkładu (z włączeniem rozkładów kwantowych w przybliżeniu bezspinowym). W rozdziale piatym dyskutowane jest równanie Boltzmanna. Jednym z aspektów teorii kinetycznej sa równania momentowe; ogólna postac równan momentowych dla równania Boltzmanna została opublikowana przez autora (wspólnie z Z. Banachem) w roku 1989 [56]. Jednak podane tam równania nie są zapisane poprzez niezmienniki i sposób, w jaki pojawiają się "niezmiennicze" momenty w nierelatywistycznej teorii kinetycznej jest krótko omawiany w rozdziale piątym. Aby lepiej zrozumieć operatory rózniczkowe stosowane przy niezmienniczym zapisie równań Naviera-Stokesa-Fouriera, w dodatkach opisujemy kanoniczne operatory rózniczkowe na rozwazanych "modelach" czasoprzestrzeni Galileusza. W dodatkach szczególną uwagę zwracamy też na te podgrupy automorfizmów rozwazanych przestrzeni, dla których zbiorami punktów stałych sa proste afiniczne. Mamy nadzieję, że badanie takich przekształceń dla czasoprzestrzeni Galileusza mogłoby pomóc przy dyskusji "zasady obiektywności materialnej". Warto podkreslic, że zarówno przy wprowadzaniu "nierelatywistycznych" niezmieników (opisywanych w przedstawionej pracy) jak i przy wprowadzaniu niezmienników dla ogólnorelatywistycznego rachunku perturbacyjnego (wprowadzonych wspólnie z Z. Banachem, [58-65]) nie korzystano z teorii reprezentacji grup. Skonczeniewymiarowe przestrzenie afiniczne "z dodatkowymi strukturami" opisujemy jako odpowiednie "struktury algebraiczne" i opisujemy niektóre ich automorfizmy. Tak otrzymywane grupy automorfizmów są jednocześnie grupami Lie przekształceń, ale ten aspekt, podobnie jak "teoriomnogościowe" sformułowanie teorii grup przekształceń Rychlewskiego [45], jest poza zakresem przedstawionej pracy.

Słowa kluczowe

EN

mechanics; fluid mechanics; mathematical models

PL

mechanika; mechanika płynów; modele matematyczne

• Wydawca: Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN
• Czasopismo: Prace Instytutu Podstawowych Problemów Techniki PAN
• Rocznik: 2007
• Tom: nr 7
• Strony: 1--103
• Opis fizyczny: Bibliogr. 87 poz.

Twórcy

autor

Piekarski S.

Bibliografia

• [1] J. J. Sławianowski, Geometry of Phase Spaces, John Wiley & Sons, Chichester, PWN, Warszawa, 1991.
• [2] S. Piekarski, Quasi-particle kinetic equation in a deformable material continuum, Arch. Mech., 43, 6, 769–782, 1991.
• [3] S. Piekarski, On the invariant formulation of fluid mechanics, http://xxx.lanl.gov/ftp/physics/papers/0411/0411154.pdf
• [4] S. Piekarski, On integration of constraints imposed on a system of conservation laws by the second law of thermodynamics, Continuum Thermodyn., 4, 109–119, 1992.
• [5] Z. Peradzyński, Geometry of Interactions of Riemann Waves: Advances in Nonlinear Waves, Ed.: L. Debneth, Pitman, 244–283, 1985.
• [6] Z. Peradzyński, Geometry of Nonlinear Interactions in Partial Differential Equations, Habilitation Thesis, Warsaw, 1981 (in Polish).
• [7] S. Piekarski, Geometrical aspect of symmetric conservative systems of partial differential equations, Arch. Mech., 44, 603–614, 1992.
• [8] S. Piekarski, Geometrical aspect of symmetrization of quasinlinear systems of the first-order partial differential equations, Arch. Mech., 45, 3, 369–377, 1993.
• [9] S. Piekarski, On the uniqueness of symmetric algebraic concequences implied by a system of conservation laws consistent with the additional conservation equation, Cont. Mech. Thermod., 6, 21–29, 1994.
• [10] S. Piekarski, Invariant Description of Symmetric Conservative Systems, Arch. Mech., 46, 1-2, 105–120, 1994.
• [11] L. Schwartz, Analyse Mathematique, Hermann, 1967.
• [12] S. Jemioło, J. J. Telega, Representations of tensor functions and applications in continuum mechanics, IFTR Reports 3/4, 1997.
• [13] K. Wilmański, Thermomechanics of continua, Berlin, Springer, 1998.
• [14] J. J. Sławianowski, Geometry of Phase Spaces, PWN, Warszawa, 1975, (in Polish).
• [15] J. Sławianowski, Analytical Mechanics of Deformable Bodies, PWN, Warszawa, 1982 (in Polish).
• [16] S. Piekarski, On the Navier–Stokes equations for water, Archives of Acoustics, 31, 2, 265–271, 2006.
• [17] S. Piekarski, On the classification of dense fluids, Archives of Acoustics, 32, 4, 933–940, 2007.
• [18] G. B. Whitham, Linear and nonlinear waves, Wiley-Interscience Publications, John Wiley & Sons, New York, 1974.
• [19] K. Huang, Statistical Mechanics, John Wiley & Sons, New York, 1963.
• [20] J. Komorowski, From the complex numbers to the tensors, spinors, Lie algebras and quadrics, PWN, Warszawa, 1978 (in Polish).
• [21] B. F. Schultz, Geometrical methods of mathematical physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1982.
• [22] P. Wintgen, R. Sulanke, Differential geometry and the theory of Fibre Bundles, PWN, Warszawa 1978 (in Polish); translated from: Differentialgeometrie und Faserbundel, Berlin, 1972.
• [23] C. Truesdell, A first course in rational continuum mechanics, Vol. 1, 2nd ed., Academic Press, San Diego, 1991.
• [24] W. Kosiński, Field singularities and wave analysis in continuum mechanics, Warszawa, PWN; Chichester, E. Horwood, 1986.
• [25] C. C. Wang, Mathematical methods of mechanics and electromagnetism, Plenum Press, New York, 1979.
• [26] W. Kondracki, J. Rogulski, Geometrical methods in classical mechanics and in classical field theory, Publications of Warsaw University, 1978 (in Polish).
• [27] M. Heller, Theoretical foundations of cosmology, PWN, Warszawa, 1975 (in Polish).
• [28] W. D. Curtis, F. R. Miller, Differential manifolds and theoretical physics, Academic Press, London, 1985.
• [29] B. A. Dubrovin, S.P. Hovikov, A. T. Fomenko, Contemporary Geometry. Methods and Applications, Nauka, Moskva, 1986 (in Russian).
• [30] B. Baranowski, A. E. de Vries, A. Haring, Thermal diffusion in systems with some transformable components, Advances in Chemical Physics, Eds.: I. Prigogine, S. A. Rice, John Wiley & Sons, London, 1969.
• [31] B. W. Alekseyev, Matematitsheskaya kinetika reagiriyushtshich gazov, Nayka, Moskva, 1982 (in Russian).
• [32] J. F. Clarke, Physico-chemical gas dynamics, Kinetic Theory and Gas Dynamics, Ed.: Cercignani, CISM Courses and Lectures, no. 293, Springer, 1988.
• [33] C. Cercignani, R. Illner, M. Pulverenti, The Mathematical Theory of Dilute Gases, Springer Verlag, New York, 1994.
• [34] A. Trautman, W. Kopczyński, Spacetime and gravitation, PWN, Warszawa 1981 (in Polish).
• [35] S. Piekarski, On the modified Fick law and its potential applications, Journ. Tech. Phys., 44, 2, 125–131, 2003.
• [36] S. Chapman, T. G. Cowling, The mathematical theory of non-uniform gases, Cambridge University Press, 1960.
• [37] S. Piekarski, On diffusion and thermodiffusion in a gravity field, Journ. Tech. Phys., 44, 3, 329–337, 2003.
• [38] S. Piekarski, Stress-assisted diffusion and the modified Fick law, Journ. Tech. Phys., 46, 1, 3–7, 2005.
• [39] A. Kawczyński, Chemical reactions from equilibrium to dissipative structures and chaos, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1990 (in Polish).
• [40] Z. Wesołowski, Cz. Woźniak, Fundamentals of nonlinear theory of elasticity, PWN, Warszawa, 1970 (in Polish).
• [41] K. Wilmański, Thermodynamical Models of Continuous Media, Pozna´n Technical University, 1985 (in Polish).
• [42] J. H. Dymond, E. B. Smith, The Virial Coefficients of Pure Gases and Mixtures, A Critical Compilation, Clarendon Press, Oxford, 1980.
• [43] Contemporary Trends in Thermodynamics, Polish Academy of Sciences, Wydział IV Nauk Technicznych, Komitet Termodynamiki i Spalania, Eds.: Z. Bilicki, J. Mikielewicz, S. Sieniutycz, Wydawnictwo Instytutu Maszyn Przepływowych, Gdańsk, 2001 (in Polish).
• [44] Cz. Rymarz, Mechanics of Continuous Media, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1993 (in Polish).
• [45] J. Rychlewski, Symmetry of Causes and Results, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1991 (in Polish).
• [46] J. Rychlewski, Dimensions and Similarity, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1991 (in Polish).
• [47] Nonlinear Acoustics, Eds.: M. F. Hamilton, D. T. Blackstock, Chapter: “Biomedical Applications”, Academic Press, 1998.
• [48] J. H. Dymond, E. B. Smith, The Virial Coefficients of Pure Gases and Mixtures. A Critical Compilation. Clarendon Press, Oxford, 1980.
• [49] G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967, 2000.
• [50] S. Piekarski, On the Modified Fick Law and its potential Applications, Journal of Technical Physics, 44, 2, 125–131, 2003.
• [51] S. Piekarski, On Diffusion and Thermodiffusion in a Gravity Field, Journal of Technical Physics, 44, 3, 329–337, 2003.
• [52] S. Piekarski, On the Debye effect in a semiconductor and an electrolite, arXiv:cond-mat/0403758v2 2Apr 2004.
• [53] S. Piekarski, Stress-Assisted Diffusion and the Modified Fick Law, Journal of Technical Physics, 46, 1, 3–7, 2005.
• [54] S. Piekarski, On the Thermodiffusion Equation for Electrically Charged Matter, Journal of Technical Physics, 46, 2, 83–95, 2005.
• [55] L. H. Soderholm, On the Range of Validity of the Principle of Material Frame-Indifference, Arch. Mech. Stos., 33, 1981.
• [56] Z. Banach, S. Piekarski, Irreducible Tensor Description. I. A Classical Gas, J. Math. Phys., 30, 1804–1815, 1989.
• [57] J. Wójcik, Conservation of energy and absorption in acoustic fields for linear and nonlinear propagation, J. Acoust. Soc. Am., 104, 5, November 1998.
• [58] Z. Banach, S. Piekarski, Perturbation theory based on the Einstein–Boltzmann system. I. Illustration of the theory for a Robertson–Walker geometry, Journal of Mathematical Physics, 35, 9, September 1994.
• [59] Z. Banach, S. Piekarski, Perturbation theory based on the Einstein–Boltzmann system. II. Illustration of the theory for an almost-Robertson–Walker geometry, International Journal of Mathematical Physics, 35, 11, November 1994.
• [60] Z. Banach, S. Piekarski, An almost–Robertson–Walker universe model and the equivalence classes of perturbations: Nonbarotropic perfect fluids, Ann. Inst. Henri Poincare’, Vol. 65, no. 3, 1996.
• [61] Z. Banach, S. Piekarski, Gauge-invariant cosmological perturbation theory for collisionless matter: Apllication to the Einstein–Liouville system, Gen. Relativ. Gravit., 28, 1996.
• [62] Z. Banach, S. Piekarski, Theory of Cosmological Perturbations Formulated in Terms of a Complete Set of Basic Gauge-Invariant Quantities, International Journal of Theoretical Physics, Vol. 35, No. 3, 1996.
• [63] Z. Banach, S. Piekarski, Geometrization of Linear Perturbation Theory for Diffeomorphism-Invariant Covariant Field Equations.I.The Notion of a Gauge-Invariant Variable. International Journal of Theoretical Physics, Vol. 36, No. 8, 1997.
• [64] Z. Banach, S. Piekarski, Geometrization of Linear Perturbation Theory for Diffeomorphism-Invariant Covariant Field Equations. II. Basic Gauge- Invariant Variables with Applications to de Sitter Space-Time, International Journal of Theoretical Physics, Vol. 36, No. 8, 1997.
• [65] Z. Banach, S. Piekarski, Equivalence classes of perturbations in cosmologies of Bianchi types I and V: Propagation and constraint equations. Journal of Mathematical Physics, Vol. 41, No. 10, October 2000.
• [66] A. M. Vinogradov, L. S. Krasilshchik and V. V. Lichagin, Introduction to geometry of nonlinear differential equations, Moscow Science, 1986 (in Russian).
• [67] T. Kujawska, Investigations of nonlinear properties of biological media by means of ultrasonic waves, IFTR REPORTS, 9/2006 (in Polish).
• [68] A. Wawrzyńczyk, Group Representations and Special Functions, Examples and problems prepared by A. Strasburger, D. Reidel, Boston, PWN, Warszawa, 1984.
• [69] A. W. Knapp, Lie groups beyond an introduction, Birkhauser, Boston, 1996.
• [70] M. Hamermesh, Group Theory and Its Applications to Physical Problems, PWN, Warszawa, 1968 (in Polish).
• [71] K. Maurin, Chapter: Mathematics and Physics, Mathematical Lexicon, Eds.: M. Kordos, M. Skwarczyński, W. Zawadowski, Wiedza Powszechna, 1993 (in Polish).
• [72] S. K. Godunov, V. M. Gordienko, The Simplest Galilean-invariant and Thermodynamically Consistent Conservation Laws, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, Vol. 43, No. 1, pp. 1–12, 2002.
• [73] S. K. Godunov, V. M. Gordienko, Complicated Structures of Galilean- Invariant Conservation Laws, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, Vol. 43, No. 2, pp. 175–189, 2002.
• [74] R.M. Cherniha, Nonlinear Galilei-Invariant PDEs with Infinite-Dimensional Lie Symmetry, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 253, 126–141, 2001.
• [75] A. M. Vinogradov, Local Symmetries and Conservation Laws, Acta Applicandae Mathematicae, 2, 21–78, 1984.
• [76] I. S. Krasilshchik, A. M. Vinogradov, Nonlocal Symmetries and the Theory of Coverings: An Addendum to A. M. Vonogradov’s “Local Symmetries and Conservation Laws”, Acta Applicandae Mathematicae, 2, 79–96, 1984.
• [77] W. D. McComb, Galilean invariance and vertex renormalization in turbulence theory, Physical Review E 71, 037301-4, 2005.
• [78] Ch. Tong, Galilean invariance of velocity probability density function transport equation, Physics of Fluids, Vol. 15, No. 7, 2073–2076, 2003.
• [79] J.-M. Levy-Leblond, Galilei Group and Nonrelativistic Quantum Mechanics, Journal of Mathematical Physics, Vol. 4, No. 6, 776–788, 1963.
• [80] Ch. G. Speziale, Comments on the “material frame-indifference” controversy, Physical Review A, Vol. 36, No. 9, 4522–4535, 1987.
• [81] D. Razafindralandy, A. Hamdouni, M. Oberlack, Analysis and development of subgrid turbulence turbulence models preserving the symmetry properties of the Navier–Stokes equations, European Journal of Mechanics B/Fluids, 26, 531–550, 2007.
• [82] D. Razafindralandy, A. Hamdouni, C. Be’ghein, A class of subgrid-scale models preserving the symmetry group of Navier–Stokes equations, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 12, 243–253, 2007.
• [83] D.-W. Chiou, Galileo symmetries in polymer particle representation, Class. Quantum Grav., 24, 2603–2620, 2007.
• [84] G. Manno, F. Oliveri, R. Vitolo, On differential equations characterized by their Lie point symmetries, J. Math. Anal. Appl., 332, 767–786, 2007.
• [85] G. A. Goldin, V. M. Shtelen, On Galilean invariance and nonlinearity in electrodynamics and quantum mechanics, Physics Letters A 279, 321–326, 2001.
• [86] N. Ch. Ibrahimov, Gruppy preobrazovanij v matematic’eskoj fizike, Nauka, Moskva, 1983.
• [87] S. Piekarski, On invariant harmonic analysis on the Galilean space-time, in preparation.