Analiza i optymalizacja niezawodnościowa konstrukcji za pomocą adaptacyjnych metod symulacyjnych

• Autorzy: Kolanek K.
• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Do oszacowania prawdopodobieństwa awarii można wykorzystać adaptacyjne metody symulacyjne. Algorytmy tego rodzaju nie wymagają, tak jak FORM/SORM, różniczkowalności funkcji granicznej, a zarazem są bardziej efektywne obliczeniowo niż klasyczna metoda Monte Carlo. W literaturze można znaleźć wiele przykładów zastosowania algorytmów adaptacyjnych do rozwiązania zadania analizy niezawodności konstrukcji. Podstawą tych metod zwykle są skomplikowane procedury iteracyjne, dla których analiza zbieżności jest bardzo trudna. Dlatego też w publikacjach dotyczących tego zagadnienia najczęściej przedstawiane są przykłady efektywnego zastosowania proponowanych algorytmów ale bez dowodów ich zbieżności. Oczywiście znajomość warunków zbieżności jest cechą ułatwiającą efektywne wykorzystanie jakichkolwiek metod iteracyjnych. Podjęto więc próbę wyszukania i zbadania możliwości zastosowania w analizie niezawodności konstrukcji adaptacyjnych metod symulacyjnych, które mają dobrze opracowane podstawy teoretyczne. Ostatecznie analizie poddano metodę wzajemnej entropii (ang. Cross-Entropy Method) oraz metody generujące łańcuchy Markowa, które w literaturze anglojęzycznej są określane jako Markov chain Monte Carlo. Metoda wzajemnej entropii została zaproponowana w roku 1997 jako efektywny algorytm służący do oszacowania prawdopodobieństwa rzadkich zdarzeń. Od tego czasu metoda ta była intensywnie rozwijana i obecnie jest dobrze opracowanym teoretycznie algorytmem symulacji rzadkich zdarzeń i optymalizacji kombinatorycznej. Zastosowanie metody wzajemnej entropii w analizie niezawodności konstrukcji wymaga jedynie uwzględnienia innej postaci nierówności, która definiuje przekroczenie stanu granicznego. Autorowi, nie są jednak znane wcześniejsze przykłady wykorzystania tego podejścia w analizie niezawodności konstrukcji. W jednym z rozdziałów omówiono podstawy teoretyczne oraz szczegółowo przedstawiono implementację metody wzajemnej entropii. Wykorzystano przy tym notację charakterystyczną w przypadku analizy niezawodności konstrukcji. Ponadto, na podstawie przykładów testowych reprezentujących trudności związane z oszacowaniem prawdopodobieństwa awarii zbadano efektywność numeryczną tego algorytmu. Otrzymane wyniki mogą być wykorzystane jako podstawa doboru wartości jego parametrów, zależnie od cech rozwiązywanego zadania. Metody Markov chain Monte Carlo są drugą grupą algorytmów symulacyjnych, których zastosowanie w analizie niezawodności jest przedmiotem tej pracy. Jak wiadomo efektywność metody importance sampling zależy od właściwego doboru rozkładu prawdopodobieństwa, z którego generowana jest próba losowa. Gęstość rozkładu prawdopodobieństwa minimalizującego wariancję estymatora importance sampling jest niezerowa jedynie w obszarze awarii, gdzie jest proporcjonalna do gęstości prawdopodobieństwa losowych parametrów konstrukcji (estymator określony w ten sposób ma rozkład punktowy). Zastosowanie metod bezpośredniego generowania liczb losowych do tak zdefiniowanej gęstości prawdopodobieństwa, wymaga wyznaczenia jej stałej normalizującej, którą w tym przypadku jest prawdopodobieństwo awarii. Często można spotkać się ze stwierdzeniem, ze w celu dokładnego oszacowania prawdopodobieństwa awarii za pomocą importance sampling wystarczyłaby jedna symulacja z rozkładu optymalnego, ale do uzyskania oszacowania w ten sposób konieczna jest znajomość rozwiązania zadania. Zdaniem autora stwierdzenie takie jest mylące, gdyż znając stałą normalizującą znamy rozwiązanie zadania i przeprowadzanie symulacji jest bezcelowe. Zasadniczym problemem nie jest w tym przypadku generowanie próby losowej, a jest nim oszacowanie stałej nonnalizującej równej prawdopodobieństwu awarii. Algorytmy Markov chain Monte Carlo pozwalają otrzymać próbę losową z rozkładu o danej gęstości prawdopodobieństwa, jeżeli jest znana funkcja do nie] proporcjonalna. Za, pomocą tych metod można, więc wygenerować próbę, losową o rozkładzie optymalizującym metodę importance sampling. Przybliżenia, prawdopodobieństwa awarii na podstawie takiej próby losowej wymaga oszacowania stałej normalizującej jej gęstość, do czego konieczne jest posłużenie się odpowiednim algorytmem. Rozdział poświęcony zastosowaniu Markov chain Monte Carlo w analizie niezawodności zawiera omówienie metod wykorzystywanych do oszacowania prawdopodobieństwa awarii za pomocą przedstawionego podejścia. Poruszane są zagadnienia kluczowe w przypadku numerycznej implementacji algorytmów, takie jak efektywność oszacowania czy modyfikacja rozkładu prawdopodobieństwa pozwalająca przyjąć dowolny punkt startowy. Rozdział ten zawiera również przykłady zastosowania proponowanej metody do rozwiązania zadań testowych charakterystycznych w przypadku analizy niezawodności. W niniejszej pracy również przedstawiono wykorzystanie pól losowych do modelowania imperfekcji geometrycznych konstrukcji jedno i dwuwymiarowych. Rozważane imperfekcje mają postać wstępnych odchyleń od idealnej osi pręta bądź powierzchni środkowej płyty. Szczególną uwagę poświęcono uzyskaniu pól losowych, których realizacje spełniają warunki brzegowe utwierdzenia. W tym celu posłużono się metodą warunkowania pól losowych. To podejście było już wcześniej stosowane do definiowania pól losowych, których realizacje spełniają warunki brzegowe swobodnego podparcia. Uwzględnienie warunków utwierdzenia wymagało teoretycznego opracowania zagadnienia warunkowania pól losowych na ich pochodnych. Zaproponowaną metodę przedstawiono na przykładach numerycznych, które pokazały, że uzyskane realizacje pól losowych spełniają warunki brzegowe z zadowalającą dokładnością. Ponadto omówiono warunki ciągłości i różniczkowalności realizacji pól losowych. Przedmiotem jednego z rozdziałów jest przykład, w którym analizuje się niezawodność ściskanej półki blachownicy z uwzględnieniem jej wstępnej deformacji. Jako model tego elementu konstrukcyjnego przyjęto płytę z imperfekcjami w postaci gaussowskiego pola losowego. Spełnienie warunków podparcia przez realizacje pola losowego zostało zapewnione za pomocą metody warunkowania. Rozważanym stanem granicznym jest przekroczenie dopuszczalnych wartości przemieszczeń normalnych do idealnej powierzchni płyty, w wyniku jej ściskania. Do wyznaczenia prawdopodobieństwa awarii zastosowano metodę wzajemnej entropii i metody oparte na Markov chain Monte Carlo. Zwrócono także uwagę, że symetrie konstrukcji skutkują symetriami powierzchni awarii, co wiąże się z występowaniem kilku istotnych punktów projektowych. Intrygujący jest fakt, że pomimo powszechnego wykorzystywania symetrycznych modeli konstrukcji, zagadnienie to nie było wcześniej poruszane w literaturze. Do rozwiązania tego problemu zastosowano podejście oparte na przedstawieniu stanu granicznego w postaci systemu awarii. Tematem poruszanym w pracy jest także optymalizacja niezawodnościowa konstrukcji. Oryginalnym elementem w tym przypadku jest przyjęcie założenia, że pewne parametry projektowe przyjmują wartości w zbiorach dyskretnych. Optymalizacja niezawodnościowa jest problemem, którego rozwiązanie wymaga długotrwałych obliczeń komputerowych. Uwzględnienie dyskretnego charakteru parametrów projektowych stanowi dodatkowe utrudnienie, gdyż uniemożliwia zastosowanie algorytmów gradientowych. Do rozwiązania tak sformułowanego zadania zaproponowano dwa algorytmy. Pierwszy z nich wykorzystuje transformację zmiennych dyskretnych do rozszerzonej przestrzeni parametrów ciągłych. Drugi, to algorytm kontrolowanego przeglądu, w którym wprowadzono modyfikacje zwiększające jego efektywność. Praktyczne zastosowanie tych metod zostało przedstawione na przykładach optymalizacji konstrukcji kratownicowych, gdzie dyskretnymi parametrami projektowymi były pola przekrojów prętów. Takie sformułowanie zagadnienia odzwierciedla ograniczone możliwości doboru elementów konstrukcyjnych przy wykorzystaniu standardowych wyrobów hutniczych. W pracy omówiono również podstawowe zagadnienia związane z analizą niezawodności. Obok klasycznych metod oszacowania prawdopodobieństwa awarii przedstawione jest sformułowanie niezawodności zależnej od czasu oraz metody analizy niezawodności systemów awarii. Rozprawa składa się z 10 rozdziałów. Poza zawierającym wstęp pierwszym rozdziałem, opisują one następujące zagadnienia: Rozdział 2 zawiera podstawy analizy niezawodności. Na wstępie wprowadzane są pojęcia, takie jak: awaria konstrukcji, funkcja graniczna, obszar awarii, prawdopodobieństwo awarii oraz wskaźnik niezawodności. Wykorzystanie tych pojęć zilustrowano za pomocą prostego przykładu. Dalej, rozdział 2 zawiera omówienie podstawowych algorytmów numerycznych wykorzystywanych do wyznaczenia prawdopodobieństwa awarii; są to: transformacja zmiennych losowych do gaussowskiej przestrzeni standardowej, metody FORM i SORM, a także całkowania Monte Carlo z uwzględnieniem metod redukcji wariancji. Rozdział 3 poświęcono zagadnieniu optymalizacji niezawodnościowej konstrukcji. Przedstawiono sformułowanie minimalizacji kosztu początkowego przy ograniczeniach nałożonych na wielkość prawdopodobieństwa awarii. Następnie sformułowanie to rozszerzono o ograniczenia pozwalające uwzględnić dyskretny charakter zmiennych projektowych. Do rozwiązania zadania niezawodnościowej optymalizacji dyskretnej zaproponowano dwa algorytmy. Pierwszy z nich wykorzystuje transformację zadania do ciągłej przestrzeni parametrów. Dopuszczalne wartości dyskretnych parametrów projektowych reprezentowane są za pomocą zmiennych z przedziału [0,1]. Wprowadzenie do zadania dodatkowych ograniczeń pozwala na jednoznaczne określenie optymalnych wartości parametrów dyskretnych. Drugą omawianą metodą jest algorytm kontrolowanego przeglądu. W tym przypadku wprowadzono modyfikację, która polega na wstępnej selekcji kombinacji parametrów projektowych w oparciu o liniową aproksymację wskaźników niezawodności. Dokładnej analizie niezawodności poddawane są tylko te kombinacje, których przybliżone wartości ograniczeń są najbliższe zeru. Taka modyfikacja pozwala na uzyskanie zadowalającego rozwiązania, przy znacznej oszczędności czasu obliczeń. Efektywność obydwu metod porównano na przykładach, optymalizacji konstrukcji kratownicowych. Analizie poddano płaską kratownicę złożoną z 10 prętów oraz kopułę kratownicową podatną na utratę stateczności. W przykładach tych, jako zmienne dyskretne przyjęto pola przekrojów prętów. Rozdział 4 dotyczy wykorzystania w analizie niezawodności pól losowych. Omówiono podstawowe charakterystyki pól losowych, takie jak: funkcja wartości oczekiwanej, funkcja kowariancji, długość korelacji oraz stacjonarność. Oszacowanie prawdopodobieństwa awarii wymaga przedstawienia pola losowego za pomocą skończonej liczby zmiennych losowych - konieczne jest wykonanie tzw. dyskretyzacji. W pracy przedstawiono następujące algorytmy wykorzystywane w tym celu: metody średnich przestrzennych, metody rozwinięcia w szereg oraz aproksymację liniową. Głównym celem rozdziału 4 jest modelowanie za pomocą pól losowych imperfekcji geometrycznych z uwzględnieniem warunków brzegowych utwierdzenia. Zaproponowana metoda wykorzystuje warunkowanie jednorodnego pola losowego na wartościach i pochodnych jego realizacji w punktach brzegowych. Przedstawiono więc sposób, w jaki można określić warunkowe pole losowe, a w załączonym przykładzie wyprowadzano warunkowe funkcje wartości oczekiwanej i kowariancji gaussowskich, pól losowych. Uwzględnienie warunków brzegowych w postaci utwierdzenia wymaga wprowadzenia pojęcia gradientu pola losowego. Ponadto konieczne jest wyznaczenie wzajemnych kowariancji między składowymi gradientu oraz kowariancji wartości pola losowego i składowych jego gradientu. W pracy podano również warunki zapewniające ciągłość i różniczkowainość pól losowych. Przykłady zamieszczone w rozdziale 4 ilustrują zastosowanie zaproponowanej metody do modelowania imperfekcji geometrycznych prętów i płyt z uwzględnieniem warunków ich podparcia. Rozdział 5 poświęcono omówieniu niezawodności zależnej od. czasu. Na wstępie zostały przedstawione podstawowe sformułowania pojęcia prawdopodobieństwa awarii w przedziale czasu: transformacja do zadania niezależnego od czasu oraz klasyczna teoria niezawodności. Przedstawiono również wykorzystywane współcześnie w analizie niezawodności konstrukcji pojęcie prawdopodobieństwa pierwszego przekroczenia powierzchni awarii przez proces losowy modelujący losowe i zależne od czasu parametry projektowe. W dalszej części rozdziału 5 omówiono: kluczowe w przypadku prawdopodobieństwa pierwszego przekroczenia, zagadnienie częstości wyjść procesu losowego do obszaru awarii. Przedstawiono formułę Rice'a dotyczącą procesów ciągłych oraz omówiono metody wyznaczania częstości przekroczeń procesów odnowy o prostokątnych impulsach. Rozdział kończy elementarne zadanie analizy niezawodności zależnej od czasu. Rozdział 6 dotyczy analizy niezawodności systemów. Przedstawiono definicje pojęć takich, jak element oraz system awarii, a w przykładzie wykorzystano je do określenia globalnej awarii kratownicy statycznie niewyznaczalnęj. Omówiono również metody wyznaczania przybliżeń i ograniczeń prawdopodobieństwa awarii systemów. Rozdział 7 poświęcono zastosowaniu metody wzajemnej entropii do wyznaczenia, prawdopodobieństwa awarii konstrukcji. Omówione zostały podstawy teoretyczne tej metody, jak również szczegółowo przedstawiono algorytm numeryczny. Wykorzystano przy tym notację stosowaną w analizie niezawodności konstrukcji. Efektywność prezentowanej metody zbadano na podstawie przykładów testowych odzwierciedlających problemy charakterystyczne w przypadku analizy niezawodności: dużą liczbę zmiennych losowych, małe prawdopodobieństwo awarii, silną nieliniowość powierzchni granicznej, zaszumienie funkcji granicznej, nieróżniczkowalność powierzchni granicznej, złożony kształt systemowych obszarów awarii. Podane wyniki zawierają średnią liczbę symulacji koniecznych do oszacowania prawdopodobieństwa awarii ze współczynnikiem zmienności na poziomie 10%. Na ich podstawie można, więc zidentyfikować zagadnienia, w których metoda wzajemnej entropii jest efektywna. W przykładach omówiono również zagadnienie doboru parametrów algorytmu, zapewniających jego efektywne działanie. Rozdział 8 zawiera podstawy metod Markov chain Monte Carlo oraz prezentuje ich zastosowanie w analizie niezawodności konstrukcji. Rozdział rozpoczyna się od omówienia wybrany cli własności łańcuchów Markowa. Dalej opisywany jest algorytm Metropolis-Hastings będący podstawowym algorytmem typu Markov chain Monte Carlo. Poruszane są następujące zagadnienia związane z jego implementacją: klasyfikacja odmian algorytmu, efektywność oszacowania, oraz dostosowanie do rozwiązywanego zadania. Część rozdziału poświęcono metodom wyznaczania stałych, normalizujących gęstość rozkładu prawdopodobieństwa. Zagadnienie to jest kluczowe w przypadku zaproponowanego sposobu oszacowania prawdopodobieństwa awarii na podstawie próby losowej z optymalnego rozkładu importance sampling otrzymanej za pomocą Markoy chain Monte Cario. W rozdziale 8 omówiono również inne zagadnienia, które są istotne w przypadku proponowanego podejścia: rozszerzenie poza obszar awarii rozkładu prawdopodobieństwa, z jakiego generowana jest próba losowa, ocena błędu oszacowania za pomocą metody bootstrap oraz dobór parametrów tzw. rozkładu pomocniczego. Zamieszczone przykłady numeryczne prezentują efektywność opracowanej metody w przypadku testowych zadań analizy niezawodności. Rozdział 9 stanowi przykład analizy niezawodności ściskanej półki blachownicy z im-perfekcjami geometrycznymi. Zadanie to przedstawia praktyczne zastosowanie omówionych we wcześniejszej części pracy metod modelowania imperfekcji geometrycznych oraz algorytmów analizy niezawodności. Rozdział 10 zawiera wnioski, spostrzeżenia i omówienie możliwości kontynuacji badań.

Słowa kluczowe

PL

konstrukcje; konstrukcje inżynierskie

EN

constructions; building structure

• Wydawca: Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN
• Czasopismo: Prace Instytutu Podstawowych Problemów Techniki PAN
• Rocznik: 2007
• Tom: nr 3
• Strony: 3--183
• Opis fizyczny: Bibliogr. 131 poz., rys.

Twórcy

autor

Kolanek K.

Bibliografia

• [1] T. Abdo, R. Rackwitz. Reliability of uncertain structural systems. Proc. Finite Elements in Engineering Applications, strony 161-176, Stuttgart, 1990. INTES GmbH.
• [2] P. Abrahamsen. A review of gaussian random fields and correlation functions -second edition. Raport instytutowy 917, Norsk Regnesentral/Norwegian Com-puting Center, Oslo, 1997.
• [3] J.R. Adler, J.E. Taylor. Random fields and geometry. W przygotowaniu, 2006.
• [4] R.J. Adler. The Geometry of Random Fields. Wiley, London, 1972.
• [5] C. Andrieu, C. P. Robert. Controlled mcmc for optimal sampling. Raport instytutowy, Universitś Paris-Dauphine, 2001.
• [6] G.L. Ang, A.H-S. Ang, W.H. Tang. Optimal importance sampling density esti-mator. Journal of Engineering Mechanics ASCE, 118(6): 1146-63, 1992.
• [7] J. Arbocz, J.H. Starnes Jr. Futurę directions and challenges in shell stability analysis. Thin-Walled Structures, 40:729-754, 2002.
• [8] S.K. Au, J.L. Beck. A new adaptive importance sampling scheme for reliability calculations. Structural Safety, 21 (2): 135-158, 1999.
• [9] Y.K. Belya£v. On the number of exits across the boundary of a region by a vec-tor stochastic processes. Theory of Probability and Its Applications, 13(2):320-324, 1968.
• [10] Y.K. Belyaev. Point processes and first passage problems. Proc. Sixth Berkeley Symp. Math. Statist. Prób., wolumen 2, strony 1-17, Berkeley, 1972. Univ. of California Press.
• [11] P. Buhlmann. Bootstraps for time series. Statistical Science, 17(l):52-72, 2002.
• [12] A. Biegus. Probabilistyczna analiza konstrukcji stalowych. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa - Wrocław, 1999.
• [13] V.V. Bolotin. Wahrscheinlichkeitsmethoden zur Berechnung von Konstruktionen. VEB Verlag fur Bauwesen, Berlin, 1981.
• [14] K.W. Breitung. Asymptotic approximations for multinormal integrals. Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, 110:357-366, 1984.
• [15] K.W. Breitung. Asymptotic Approrimations for Probability Integrals. Springer-Verlag, 1994.
• [16] K.W. Breitung, R. Rackwitz. Nonlinear combination of load processes. Journ. Struct. Mech., 10:145-166, 1982.
• [17] C.G. Bucher. Adaptive sampling - an iterative fast monte carlo procedurę. Structural Safety, 5:119-126, 1988.
• [18] G. Celeux, M. Hurn, C.P. Robert. Computational and inferential difficulties with mixture posterior distributions. J. American Statist. Assoc, 95:957-970, 2000.
• [19] C.A. Cornell. A probability-based structural codę. Journal of American Concrete Institute, 66:974-985, 1969.
• [20] H. Cramer, M. R. Leadbetter. Stationary and Related Stochastic Processes Wiley, 1967.
• [21] P.T. de Boer, D.P. Kroese, S. Mannor, Rubinstein R.Y. A tutorial on the cross-entropy method. Annals of Operations Research, 134(1): 19-67, 2005.
• [22] G. Defaux, R. Rackwitz. Improvement of outcrossing rates by importance sampling. EURODYN2002, Munich, Germany, September 2002.
• [23] A. Der Kiureghian, J.-B. Ke. The stochaśtic finite element method in structural reliability. Probabilistic Engineering Mechanics, 3(2):83-91, 1988.
• [24] A. Der Kiureghian, H-Z. Lin, S-J. Hwang, Second-order reliability approxima-tions. Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE, 113(8): 1208-1225, 1987.
• [25] A. Der Kiureghian, Liu P-L. Structural reliability under incomplete probability information. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 112(1):85-104, 1986.
• [26] O. Ditlevsen. Random field interpolation between point by point measured pro-perties. P.D. Spanos, C.A. Brebbia, redaktorzy, Proc. lst Int. Conf on Computational Stochaśtic Mechanics, strony 801-812, Corfu, Greece, September 17-19 1991. Computational Mechanics Publications.
• [27] O. Ditlevsen, P. Bjerager. Methods of structural systems reliability. Structural Safety, 3(3-4): 195-229, 1986.
• [28] O. Ditlevsen, H. O. Madsen. Structural Reliability Methods. Wiley, 1996.
• [29] K. Doliński. Importance sampling techniąues in reliabilitv calml IPPT, 37, 1988.
• [30] K. Doliński, R. Stocki. Reliability-based structural optimisation acco^ manufacturing and materiał quality. Engineering Transactions 49(4): 623-636, 201.
• [31] B. Efron, R.J. Tibshirani. An Introduction to the Bootstrap. Chapman and Hall, 1993.
• [32] I. Enevoldsen, J.D. S0rensen. Optimization algorithms for calculation ofU? joint design point in parallel systems. Structural Optimization, 4:121-127, 1992.
• [33] I. Enevoldsen, J.D. S0rensen. Reliability-based optimization of series systems of parallel systems. Journal of Structural Engineering, ASCE, 119:1069-1084
• [34] S. Engelund, R. Rackwitz. A benchmark study on importance sampling in structural reliability. Structural Safety, 12:255-276, 1993.
• [35] S. Engelund, R. Rackwitz, C. Lange. Approximations of first-passage times for differentiable processes based on higher-order threshold crossings. Probabilistic Engineering Mechanics, 10:53-60, 1995.
• [36] M.H. Faber. Risk and safety in dvii, surveying and environmental engineering. Lecture Notes, dostępne na: www.ibk.ethz.ch, 2006.
• [37] J. Ferry Borges, M. Castanheta. Structural Safety. Laboratorio National de Engenharia Civil, 1971.
• [38] B Fiessler, H-J. Neumann, R. Rackwitz. Quadratic limit states in structural reliability. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 105(4):661-676, 1979.
• [39] A-M. Freudenthal. Safety and probability of structural failure. Transactions, ASCE, 121:1337-1375, 1956.
• [40] M. Fujita, R. Rackwitz. Updating first- and second-order reliability estimates by importance sampling. Structural Engineering / Earthąuake Engineering, 5:53-59, 1988.
• [41] A E. Gelfand, S. K. Sahu. On markov chain monte carlo acceleration. Journal of Computational and Graphical Statistcs, 3(3):261-276, 1994.
• [42] A. Gelman, X.-L. Meng. Simulating normalizing constants: from importance sampling to bridge sampling to path sampling. Statistical Science, 13(2):163—185,1998.
• [43] A. Gelman, G.O. Roberts, W. R. Gilks. Bayesian Statistics 5, rozdzia/1 Efficient Metropohs jumping rules, strony 599-307. Oxford University Press, 1996.
• [44] C.J. Geyer, E.A. Thompson. Annealing markov chain monte carlo with applications to ancestral inference. Journal of the Ameńcan Statistical Association, 90:909—920, 1995.
• [45] R. G. Ghanem, P. D. Spanos. Stochastic Finite Elements: A Spectral Approach. Springer Verlag, 1991.
• [46] W.R. Gilks, S. Richardson, D.J. Spiegelhalter, W.R. Spiegelhalter, redaktorzy. Markov Chain Monte Carlo in Practice. CRC Press, 1996.
• [47] S. Gollwitzer, B. Kirchgafiner, R. Fischer, R. Rackwitz. Permas-ra/strurel system of programs for probabilistic reliability analysis. Structural Safety, 28(1-2):108-129, 2006.
• [48] H. Greenberg. Integer programming. Academic Press, New York, 1971.
• [49] H. Haario, E. Saksman, J. Tamminen. Adaptive proposal distribution for random walk metropolis algorithm. Computational Statistics, 14:375-395, 1999.
• [50] A. M. Hasofer, N. C. Lind. Exact and invariant second-moment codę format. Journal of the Engineering Mechanics Dwision, ASCE, 100:111-121, 1974.
• [51] A.M. Hasofer, N.C. Lind. Exact and invariant second-moment codę format. Journal of the Engineering Mechanics Dwision, ASCE, 100(1):111-121, 1974.
• [52] W. K. Hastings. Montec carlo sampling methods using markov chains and their applications. Biometrika, 57(1):97-109, 1970.
• [53] T. C. Hesterberg. Advances in Importance Sampling. Praca doktorska, Stanford University, 1988.
• [54] M. Hohenbichler, R. Rackwitz. Non-normal dependent vectors in structural safety. Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, 107:1227-1238, 1981.
• [55] M. Hohenbichler, R. Rackwitz. Improvement of second-order reliability estimates by importance sampling. Journal of the Engineering Mechanics Diuision, ASCE, 114:2195-2199, 1988.
• [56] T. Homem-de Mello, R.Y. Rubinstein. Rare event estimation for static models via cross-entropy and importance sampling. Submitted for publication, 2002.
• [57] W. Hardle, J. Horowitz, J.P. Kreiss. Bootstrap methods for time series. International Statistical Reuiew, 71(2):435-459, 2003.
• [58] Y. Ibrahim. Observations of applications of importance sampling in structural _ reliability analysis. Structural Safety, 9:269-281, 1991.
• [59] S. Jendo, K. Kolanek. Evaluation of adaptive monte carlo methods for reliability analysis. Journal of Konbin, wolumen 1, strony 219-228, Kraków, 2006. Air Force Institute of Technology.
• [60] S. Kirkpatrick, CD. Gelatt, M.P. Vecchi. Optimization by simulated annealing. Science, 220:671—680, 1983.
• [61] W. Knabe, J. Przewłocki, Różyński. Spatial averages for linear elements for two-parameter random fields. Probabilistic Engineering Mechanics, 13(3): 147-167, 1998.
• [62] N. Kuschel, R. Rackwitz. Optimal design under time-variant reliability constra-ints. Structural Safety, 22:113-128, 2000.
• [63] S.N. Lahiri. Theoretical comparisons of błock bootstrap methods. The Annals of Statistics, 27(l):389-404, 1999.
• [64] P. Lazar, D. Schoenfeld. biopara: Self-contained parallel system for R. R package version 1.4.
• [65] S.M. Lewis, A.E. Raftery. Estimating bayes factors via posterior simulation with the laplace-metropolis estimator. Journal of the American Statistical Assocation, 92:648-655, 1997.
• [66] C.-C. Li, A. Der Kiureghian. Optimal discretization of random fields. Journal of Engineering Mechanics ASCE, 119(6):1136-1154, 1993.
• [67] Na (Michael) Li. rsprng: R interface to SPRNG (Scalable Parallel Random Number Generators), 2006. R package version 0.3-3.
• [68] J. S. Liu. Monte Carlo Strategies in Scientific Computing. Springer-Verlag, New York, 2001.
• [69] W.-K. Liu, T. Belytschko, A. Mani. Probabilistic finite elements for non linear structural dynamics. Comp. Meth. App. Mech. Eng., 56:61-86, 1986.
• [70] W.-K. Liu, T. Belytschko, A. Mani. Random field finite elements. Int. J. Num. Meth. Eng., 26(10):1831-1845, 1986.
• [71] H. O. Madsen, F. Priis Hansen. A comparison of some algorithms for reliability based structural optimization and sensitivity analysis. R. Rackwitz, P. Thoft-Christensen, redaktorzy, Reliability and Optimization of Structural Systems '91, Proc. 4th IFIP WG 7.5 Conf, strony 443-451. Springer-Verlag, 1992.
• [72] Michael Mascagni, Ashok Srinivasan. Algorithm 806: Sprng: a scalable library for pseudorandom number generation. ACM Trans. Math. Softw., 26(3):436-461, 2000.
• [73] R. E. Melchers. Structural Reliability Analysis and Prediction. Wiley, 1999.
• [74] R.E. Melchers. Importance sampling in structural systems. Structural Safety, 6:3-10, 1989.
• [75] R.E. Melchers. Search-based importance sampling. Structural Safety, 9(2):117-128, 1990.
• [76] R.E. Melchers. Simulation in time-invariant and time-variant reliability pro-blems. R. Rackwitz, P. Thoft-Christensen, redaktorzy, Reliability and Optimi-zation of Structural Systems '91, Proc. 4th IFIP WG 7.5 Conf, Munich, 11-13 September 1991, strony 39-82. Springer-Verlag, 1992.
• [77] X.L. Meng, W.H. Wong. Simulating ratios of normalizing constants via a simple identity: a theoretical exploration. Statistica Sinica, 6:831-860, 1996.
• [78] K. L. Mengersen, R. L. Tweedie. Rates of convergence of the hastings and metropolis algorithms. Annals of Statistics, 24(1):101-121, 1996.
• [79] N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, E. Teller. Eąuation of state calculations by fast computing machines. Journal of Chemical Physics, 21:1087-1092, 1953.
• [80] T. Most, C. Bucher, Y. Schorling. Dynamie stability analysis of non-linear struc-tures with geometrical imperfections under random loading. Journal of Sound and Vibration, 276:381-400, 2004.
• [81] Y. Murotsu, M. Okada, M. Yonezawa, K. Taguchi. Reliability assessment of redundant structures. Structural Safety and Reliability, ICOSSAR 81, strony 315-321. Elsevier Scientific Publishing Company, 1981.
• [82] J.M. Murzewski. Niezawodność konstrukcji inżynierskich. Arkady, 1989.
• [83] A. Nataf. Determination des distributions de probabilites dont les marges sont donnees. Comptes Rendus Hebdomadaires des Seances de 1'Academie des Sciences, 255:42-43, 1962.
• [84] R. M. Neal. Annealed importance sampling. Statistics and Computing, 11:125-139, 2001.
• [85] R. M. Neal. Estimating ratios of normalizing constants using linked importance sampling. Technical Report No. 0511, Dept. of Statistics, University of Toronto, 2005.
• [86] M.A. Newton, A.E. Raftery. Approximate bayesian inference by the weighted likelihood bootstrap. Journal of the Royal Statistical Society, 56:3-48, 1994.
• [87] P. Śniady. Podstawy stochastycznej dynamiki konstrukcji. Ofic.Wyd.Polit. Wróci,, 2000.
• [88] C. Pasarica, A. Gelman. Adaptively scaling the metropolis algorithm using expected sąuared jumped distance. 2003.
• [89] A. Plucińska, E. Pluciński. Probabilistyka. WNT, 2000.
• [90] R Development Core Team. R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria, 2005. ISBN 3-900051-07-0.
• [91] R. Rackwitz. On the combination of non-stationary rectangular wave renewal processes. Structural Safety, 13(1+2) :21-28, 1993.
• [92] R. Rackwitz. Computational techniąues in stationary and non-stationary load combination - a review and some extensions. Journal of Structural Engineering, SERC, 25(l):l-20, 1998.
• [93] R. Rackwitz. Reliability analysis - a review and some perspectives. Structural Safety, 23:365-395, 2001.
• [94] R. Rackwitz, B. Fiessler. Structural reliability under combined random load seąuences. Computers and Structures, 9:484-494, 1978.
• [95] S. O. Rice. Mathematical analysis of random noise. Bell Systems Tech. J., 23:282-332, 1944.
• [96] C. P. Robert, G. Casella. Monte Carlo Statistical Methods. Springer-Verlag, 1999.
• [97] G. O. Roberts, R. L. Tweedie. Geometrie convergence and central limit theorems for multidimensional hastings and metropolis algorithms. Biometrika, 83:96-110, 1996.
• [98] G.O. Roberts, A. Gelman, W. R. Gilks. Weak convergence and optimal scaling of random walk metropolis algorithms. Annals of Applied Probability, 7:110-120, 1997.
• [99] G.O. Roberts, J.S. Rosenthal. Optimal scaling for various metropolis-hastings algorithms. Statistical Science, 16:351-367, 2001.
• [100] M. Rosenblatt. Remarks on multivariate transformation. The Annals of Mathematical Statistics, 23:470-472, 1952.
• [101] R.Y. Rubinstein, D.P. Kroese. The Cross-Entropy Method. Springer-Verlag, 2004.
• [102] R.Y. Rubinstein, B. Melamed. Modern Simulation and Modeling. Wiley, 1998.
• [103] Engelund S., Rackwitz R. A benchmark study on importance sampling techniąues in structural reliability. Structural Safety, 12:255-276, 1993.
• [104] K.C. Sarma, Adeli H. Cost optimization of concrete structures. Journal of Structural Engineering, 124(5) :570-578, 1988.
• [105] G. Schall, M. Faber, R. Rackwitz. The ergodicity assumption for aea atates in the reliability assessment of offshore structures. Journ. Offshore Mech. and Arctic Eng., ASME, 113:241-246, 1991.
• [106] K. Schittkowski. User's guide for the nonlinear programming codę nlpąl. Hand-book to optimization program package NLPQL, University of Stuttgart - Insti-tute for Informatics, Germany, 1985.
• [107] G. I. Schueller, Stix R. A critical appraisal of methods to determine failure probabilities. Structural Safety, 4:293-309, 1987.
• [108] G.I. Schueller, H.J. Pradlwarter. Computational stochastic structural analysis (cossan) - a software tool. Structural Safety, 28(l-2):68-82, 2006.
• [109] M. Shinozuka. Probability of failure under random loading. Journ. Eng. Mech. Div., ASCE, 90:147-170, 1964.
• [110] K. Sobczyk. Zarys Teorii Prawdopodobieństwa. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, 1985.
• [111] K. Sobczyk. Stochastyczne Równania Różniczkowe. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1996.
• [112] J.D. S0rensen, I. Enevoldsen. Reliability of systems. Materials of the training course on Reliability-Based Structural Design, Poznań, 20-21, October, 1996.
• [113] A. Stachurski, A. P. Wierzbicki. Podstawy Optymalizacji. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 1999.
• [114] R. Stocki. Niezawodnościowa optymalizacja konstrukcji prętowych w zakresie dużych przemieszczeń - teoria i program komputerowy. Praca doktorska, Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN, 1999.
• [115] R. Stocki, K. Kolanek, S. Jendo, M. Kleiber. Study on discrete optimization techniąues in reliability-based optimization of truss structures. Computers and Structures, 79(22-25):2235-2247, 2001.
• [116] B. Sudret, A. Der Kiureghian. Stochastic finite element methods and reliability a state-of-the-art report. Raport instytutowy UCB/SEMM-2000/08, Department of Civil and Environmental Engineering, University of California, Berkeley, 2000.
• [117] J. Tamminen. Adaptive markov chain monte carlo algorithms with geophysical applications. Finnish Meteorological Institute Contributions No. 47, 2004,
• [118] R.L. Taylor. FEAPpv - - A Finite Element Analysis Program. Department of Civil and Environmental Engineering, University of California at Berkeley, Berkeley, California, 2005.
• [119] B.H. Thacker, D.S. Riha, S.H.K. Fitch, L.J. Huyse, J.B. Pleming. Probabilistic engineering analysis using the nessus software. Structural Safety, 28(l-2):83-107, 2006.
• [120] P. Thoft-Christensen, Y. Murotsu. Application of Structural Systems Reliability Theory. Springer-Verlag, 1986.
• [121] L. Tierney. Markov chains for exploring posterior distributions. The Annals of Statistics, 22(5):1701-1762, 1994.
• [122] Y. Tsompanakis, M. Papadrakakis. Robust and efficient methods for reliability-based structural optimization. M. Papadrakakis, redaktor, Fourth International Colloquium on Computation of Shell & Spatial Structures, Chania - Crete, 2000. IASS-IACM.
• [123] L. Tvedt. Proban - probabilistic analysis. Structural Safety, 28(1-2):150-163, 2006.
• [124] E. VanMarcke. Random Fields: Analysis and Synthesis. The MIT Press, 1983.
• [125] E. VanMarcke, M. Grigoriu. Stochastic finite element analysis of simple beams. Journal of Engineeńng Mechanics ASCE, 109(5):1203-1214, 1983.
• [126] D. Veneziano, M. Grigoriu, C.A. Cornell. Vector-process models for system reliability. Journal of the Engineeńng Mechanics Division, ASCE, 103:441-460, 1977.
• [127] S. Wang, K.L. Teo, H.W.J. Lee. A new approach to nonlinear mixed discrete programming problems. Engineeńng Optimization, 30:249-262, 1998.
• [128] Z. Waszczyszyn, C. Cichoń, M. Radwańska. Metoda elementów skończonych w stateczności konstrukcji ARKADY, 1990.
• [129] W. Wierzbicki. W sprawie bezpieczeństwa pręta wyciąganego osiowo. Czasopismo techniczne, 50:273-277, 1937.
• [130] Y-T Wu. An adaptive importance sampling method for structural system reliability analysis. Reliability technology - 1992; Proceedings of the Symposium, AS ME Winter Annual Meeting, strony 217-231, Anaheim, CA; UNITED STATES, 8-13 Nov. 1992.
• [131] J. Zhang, B. Ellingwood. Orthogonal series expansion of random fields in reliability analysis. Journal of Engineeńng Mechanics, 120(12):2660-2677, 1994.