Diagrammatic interval analysis with applications

• Autorzy: Kulpa Z.
• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The main aim of the work has been the development of the novel diagrammatic representational system for interval algebra and computation, and showing its useful applications in solving theoretical and practical problems in this area. The results reported in the work can be divided into three parts: 1. The development of a diagrammatic representational system for the field of interval algebra and computation, facilitating analysis, investigation, presentation and understanding of properties of interval algebra, in particular interval relations, interval arithmetic and interval linear equations. 2. The application of the developed representational system to various problems in interval analysis, leading to several useful results concerning properties of interval algebra, especially the characterizations of classes of interval relations, the investigation of centred interval multiplication operations and the discovery and detailed description of structural types of interval linear equations. 3. The development, with the help of these diagrammatic means, of a number of practical methods and algorithms for characterization and approximation of solution sets of interval linear equations. The work starts from an introductory chapter about the emerging field of diagram-matics, which investigates methods and applications of diagrammatic representations for information encoding and processing (including diagrammatic reasoning). The chapter begins with a general discussion of using pictures as tools for information representation and communication. The discipline of diagrammatics is then defined, and its three main branches (cognitive and psychological issues, theory of diagrammatic representations, and applications of diagrams) are introduced. Then follows a short discussion of the problems with the definition of a diagram (still a hotly disputed issue). Applications of diagrammatic representations in mathematics are then discussed in more detail, starting from the main objections usually raised against their use there (the arguments of alleged difficulty, unreliability and informality). The two main types of mathematical diagrams (static and dynamic diagrams) are then introduced and their four usage modes discussed. The chapter concludes with the discussion of computer implementation of diagrammatic representations for mathematics, comprising diagram input and output, and two modes of internal representation and processing (raster and graph representations). Several types of computer tools facilitating the use of diagrammatic representations are then described, of interval arithmetic are then introduced and the main technique of calculating interval enclosures for real functions is presented, concluding with the important problem of over estimation of such enclosures. The main reasons for applying interval methods are then presented, and the chapter concludes with a short justification of the usefulness of diagrammatic representations in interval research and applications. With Chapter 3 starts the presentation of the main results of the work. After a brief survey of other proposals, the basic diagrammatic representation for the space of intervals (the MR-diagram) is introduced, followed by the discussion of main types of its possible applications in interval research. The MR-diagram, based on the (ra,r) coordinate axes (representing the midpoint and the radius of an interval), is a two-dimensional representation of the interval space, in which intervals are represented as points on the plane. Several basic applications of the diagram are presented next. They start from the representation of interval types, interval ordering relations, and a new notion of lozenge (needed to specify convexity properties and characterizations of types of interval relations). Next, graphs for basic interval parameter functions are shown, especially the extent functions, including a new function which is better suited to the midpoint-radius coordinates used. The new RR-diagram based on this function is developed as a result. Finally, several basic constructions for interval lattice operations are presented. Chapter 4 is devoted to the diagrammatic formulation of the theory of interval relations, especially the so-called arrangement interval relations, describing possible mutual arrangements of two intervals on the number axis. The chapter starts from the definition of these relations, and the basic interval relations from which other arrangement relations are constructed. With that, two new diagrammatic tools are introduced, namely the new graphical symbols for the basic relations and the conjunction diagram to represent formulae defining interval arrangement relations. Next, the new tool for representing the space of interval relations, called the W-diagram, is presented, with the system of W-icons for the diagrammatic representation of arrangement relations based on it. The W-diagram is obtained from the MR-diagram by marking in it images (or coimages) of some arbitrary thick interval under all basic interval relations. The shapes of the regions so obtained do not depend on the choice of the reference interval, but reflect properties of corresponding basic relations instead. Another tool representing the space of relations, the L-diagram which is a neighbourhood graph of regions in the W-diagram, is also introduced (it is a new version of similar graphs used by some other authors). Various representations of interval relations are then compared, using several characteristic examples. The way of performing operations on interval relations using the diagrammatic notation of W-icons is then shown, in particular the original diagrammatic algorithm for performing compositions of arrangement relations, and the resulting diagrammatic composition table for basic relations. The developed tools and methods are then applied to classic qualitative reasoning with networks of interval relations. The diagrammatic representation of such networks and the way of solving diagrammatically the basic problems in this area are demonstrated with some classic examples. The analysis of several important classes of arrangement relations follows, namely the convex, pointisable and pre-convex relations. A number of deverse characterizations of these classesin presented and compared, including several new diagrammatic characterizations of them. The two theorems stating equivalence of these characterizations are proven with mostly diagrammatic means. A short note on the diagrammatic representation of certain more important non-arrangement interval relations is also included. The chapter is concluded with an introduction to several basic applications of the interval relations theory, which may use the diagrammatic tools developed (namely reasoning about events in time, qualitative spatial reasoning, technical diagnostics, and action scheduling). Chapter 5 shows the application of interval space diagrams to interval arithmetic. Diagrammatic constructions for interval arithmetic operations developed there help to understand the structure and nonstandard behaviour of the operations and allow for finding and proving their new and useful properties. The operation of addition does not produce any nonstandard effects. Negation and subtraction behave already in a nonstandard way, so that interval subtraction ceases to be the opposite operation to addition, resulting in nonstandard properties of the simplest interval equation a -f x = b. The diagrams explain clearly the underlying causes of that behaviour, helping to understand better the properties of interval calculations. The original diagrammatic construction for the much more complex operation of interval multiplication is developed and used for the diagrammatic analysis of properties of this operation. Among others, the diagrammatic characterization of basic multiplication cases is developed, with the diagrammatic proof of the "fast multiplication" formula. The basic properties of the important interval equation a-x = b are also presented. The detailed analysis of the equation and its multidimensional generalization is continued in Chapter 6. The original construction developed for interval division works properly also for the division by an interval containing zero, producing in such cases extervals used in Kahan arithmetic. Then follows an application of the diagrammatic analysis to the nonstandard arithmetic operations of centred multiplication. It resulted in the proper definition of the new operation of centred inner multiplication and the detailed analysis of inclusion isotonicity properties and approximation accuracy of both outer and inner centred multiplication operations. Short notes on the two main extensions of standard interval algebra (Kaucher and Kahan arithmetics) and applications of interval arithmetic diagrams conclude the chapter. Chapter 6 presents the novel diagrammatic approach to interval linear equations, introducing also new diagrammatic tools useful in this domain. The diagrammatic tools to represent interval space, interval relations, and interval arithmetic operations are applied to the diagrammatic analysis of interval linear equations. First, the basic types of solution sets of such equations (tolerance, control and united solution sets) are defined and reinterpreted as solutions to certain interval relational expressions. Then the basic one-dimensional equation is analyzed. Constructions for its diagrammatic solution in different possible cases are developed. They reveal a rich structure of different configurations of the solution sets. All 6 basic types (with 16 subtypes), 47 intermediate types and 10 degenerate ones are catalogued, in several diagrammatic, tabular, and algorithmic (1DSET) forms. Next, the relation between the interval solution and the tolerance solution set is analyzed. The significance of these findings for the analysis of a general multidimensional case is established with the radial cuts theorem, stating that the arrangement of solution sets along any straight line going through the origin of the solution space is obtained as a solution of a one-dimensional equation with coefficients determined by the coefficients of the multidiamensional equation and directional parameters of the cutting line. The algorithm for calculating such radial cuts is also given (RADCUT). Using these findings, the boundary hyperplane selection rule is formulated, which allows for dinding full and exact descriptions of solution set shapes in the multidimensional solution space. The two-dimensional case is first used as an introduction to such an analysis. The algorithm for finding the complete description of solution sets for such equations (2DSETS) is developed and used to compile the catalogue of basic two-dimensional structural types. Finally, the algorithm is extended to the multidimensional case (BOUNDHYP). The chapter is concluded with a note on applications, presenting a thorough discussion of possible modes of application of the mathematical model based on interval linear equations. Chapter 7 introduces various new characterizations and properties of the tolerance, control, and united solution sets, as obtained by the author with the application of the diagrammatic approach and diagrammatic tools introduced in the previous chapters, especially Chapter 6. The chapter starts from introducing a new tool, called the butterfly diagram (BUTTERFLY), which provides a two-dimensional representation of the structure of the multidimensional solution space. Then the manner of applying the diagram to analyze the structure and properties of solution sets is explained. Certain properties of the midpoint hyperplane and the midpoint solution are also formulated and proved, with the help of diagrammatic approach, as they are useful for further characterization of certain properties of solution sets. Then, with the application of the diagrammatic tools developed, individual types of solution sets are analyzed separately, resulting in refining some known conditions, and finding new ones, for testing existence or emptiness of the solution sets, both globally (TSGLOBAL, CSGLOBAL) and in certain regions of the solution space (TSLOCAL, CSLOCAL, USLOCAL). Other properties, like unboundedness and connectivity, are also investigated and the results presented. Algorithms for finding new inner cross and orthoplex approximations to the solution sets (TSINNER, CSIN-NER, USINNER) are also developed in this way, leading also to the general method of calculating arbitrary parallel cuts through the solution space (PARCUT), with straight lines parallel to any given coordinate axis. The reported results constitute the first batch of results obtained by the author with the diagrammatic approach. The further work with diagrammatic tools will likely reveal a number of new results. The chapter is concluded with the illustrative truss analysis example. Appendix A contains a list of algorithms based on these developments. They were implemented as notebooks of MathematicaŽ 3.0 and constitute a preliminary version of a suite of modules planned for an interactive system of exploration of interval linear equations and their solution spaces. Names of the algorithms are cited above at appropriate places in the summary of the last two chapters.

PL

Głównym celem pracy było opracowanie nowego systemu reprezentacji diagramowej dla algebry przedziałów i obliczeń przedziałowych oraz pokazanie jego użytecznych zastosowań w rozwiązywaniu teoretycznych i praktycznych problemów w tej dziedzinie. Wyniki przedstawione w pracy można podzielić na trzy części: 1. Opracowanie systemu reprezentacji diagramowej dla algebry przedziałów i obliczeń przedziałowych, wspomagającego analizę, badanie, prezentację i zrozumienie własności algebry przedziałów, w szczególności relacji przedziałowych, arytmetyki przedziałowej i liniowych równań przedziałowych. 2. Zastosowanie opracowanego systemu reprezentacji do różnych problemów analizy przedziałowej, co pozwoliło uzyskać wiele użytecznych wyników dotyczących własności algebry przedziałów (w szczególności charakteryzacji klas relacji przedziałowych), a także zbadać tzw. scentrowane operacje mnożenia przedziałów oraz wykryć i szczegółowo opisać typy strukturalne liniowych równań przedziałowych. 3. Opracowanie, przy pomocy tego systemu reprezentacji diagramowej, pewnej liczby praktycznych metod i algorytmów charakteryzacji i aproksymacji zbiorów rozwiązań liniowych równań przedziałowych. Pracę rozpoczyna wstępny rozdział na temat rodzącej się dziedziny nauki zwanej diag-ramatyką, która bada metody reprezentacji diagramowych i ich zastosowania do kodowania i przetwarzania informacji (wnioskowania diagramowego). Rozdział rozpoczyna się ogólną dyskusją użycia obrazów jako narzędzi reprezentacji i komunikacji informacji. Następnie definiuje się diagramatykę jako dyscyplinę badawczą i jej trzy główne gałęzie (zagadnienia kognitywne i psychologiczne, teoria reprezentacji diagramowych i zastosowania diagramów). Po tym następuje krótka dyskusja problemów z definicją pojęcia diagramu (zagadnienie ciągle gorąco dyskutowane). Zastosowania reprezentacji diagramowych w matematyce sa następnie omówione bardziej szczegółowo, począwszy od głównych zastrzeżeń zwykle podnoszonych przeciwko ich używaniu (argumenty rzekomej trudności ich użycia, zawodności i nieformalnej natury). Następnie omawia się dwa główne typy diagramów matematycznych (diagramy statyczne i dynamiczne) oraz cztery sposoby ich praktycznego stosowania. Rozdział kończy się dyskusją komputerowych implementacji reprezentacji diagramowych dla zastosowań w matematyce, na które składa się wprowadzanie diagramów, ich wyprowadzanie oraz dwa sposoby wewnętrznej reprezentacji i przetwarzania w komputerze (reprezentacje rastrowe i graf owe). Kilka typów narzędzi komputerowych wspomagających używanie reprezentacji diagramowych omówiono na zakończenie rozdziału, w szczególności klasę narzędzi określanych nazwami "dynamicznej geometrii" lub "diagramowego arkusza kalkulacyjnego." Rozdział 2 zawiera krótkie wprowadzenie do podstawowych pojęć algebry przedziałów i obliczeń przedziałowych, począwszy od podstawowych definicji i oznaczeń. Następnie zaprezentowane są pewne niestandardowe własności arytmetyki przedziałowej oraz podstawowa technika wyznaczania oszacowań przedziałowych dla funcji rzeczywistych, wraz z ważnym problemem przeszacowania takich oszacowań. Na zakończenie zaprezentowane są najważniejsze powody stosowania metod przedziałowych, oraz krótkie uzasadnienie użyteczności reprezentacji diagramowych w badaniach i zastosowaniach metod przedziałowych. Od rozdziału 3 rozpoczyna się prezentacja głównych rezultatów pracy. Po krótkim przeglądzie innych propozycji wprowadzono podstawową reprezentację diagramową przestrzeni przedziałów, tzw. MR-diagram, wraz z dyskusją głównych typów jego możliwych zastosowań w badaniach przedziałowych. MR-diagram przedstawia przestrzeń przedziałów w układzie współrzędnych (ra,r) (środek i promień przedziału), w której przedziały reprezentowane są przez punkty na dwuwymiarowej płaszczyźnie. Dalej pokazano kilka podstawowych zastosowań tego diagramu, zaczynając od reprezentacji typów przedziałów i relacji uporządkowania przedziałów, w tym nowego pojęcia metaregionu (ang. "lozenge"), potrzebnego do specyfikacji własności wypukłości i charakteryzacji typów relacji przedziałowych. Następnie pokazano wykresy podstawowych funkcji określających parametry przedziałów, w szczególności funkcji rozciągłości przedziałów, wraz z nową funkcją, lepiej dostosowaną do używanych współrzędnych środek-promień przedziału. W rezultacie wprowadzono nowy diagram oparty na tej funkcji, zwany RR-diagramem. Na zakończenie pokazano kilka podstawowych konstrukcji dla operacji w kracie przedziałów. Rozdział 4 poświęcony jest diagramowemu opracowaniu teorii relacji przedziałowych, szczególnie tzw. relacjom ułożenia przedziałów, opisującym możliwe wzajemne ułożenia dwóch przedziałów na osi liczbowej. Rozdział rozpoczyna się definicją tych relacji oraz podstawowych relacji przedziałowych, z których zbudowane są pozostałe relacje ułożenia. Wprowadzono tutaj dwa nowe narzędzia diagramowe, mianowicie nowe symbole graficzne dla relacji podstawowych oraz diagram koniunkcji dla reprezentacji formuł definiujących relacje ułożenia przedziałów. Następnie wprowadzono nowe narzędzie do reprezentacji przestrzeni relacji przedziałowych, nazwane W-diagramem, wraz z opartym na nim systemem W-ikon dla diagramowej reprezentacji relacji ułożenia przedziałów. W-diagram powstaje z MR-diagramu przez zaznaczenie na nim obrazów (lub przeciwobrazów) pewnego dowolnego grubego przedziału względem wszystkich podstawowych relacji przedziałowych. Kształty tak uzyskanych obszarów diagramu nie zależą od wyboru przedziału odniesienia, lecz odzwierciedlają własności odpowiednich relacji podstawowych. Wprowadzono także inne narzędzie reprezentacji przestrzeni relacji, tzw. L-diagram, będący grafem sąsiedztwa regionów MR-diagramu (jest to nowa wersja podobnej konstrukcji używanej przez niektórych innych autorów). Różne reprezentacje relacji ułożenia porównano używając kilku charakterystycznych przykładów. Pokazano następnie sposób wykonywania operacji na relacjach przedziałowych za pomocą diagramowej notacji W-ikon, w szczególności oryginalny algorytm diagramowej kompozycji relacji wraz z wynikową diagramową tablicą kompozycji relacji podstawowych. Opracowane narzędzia i metody zostały następnie zastosowane do klasycznego jakościowego wnioskowania za pomocą sieci relacji przedziałowych. Diagramową reprezentację takich sieci i sposoby diagramowego rozwiązywania podstawowych problemów z tej dziedziny pokazano na kilku klasycznych przykładach. W kolejnej części rozdziału przeprowadzono analizę kulku ważnych klas relacji ułożenia przedziałów, mianowicie relacji wypukłych, punktowo określonych i pre-wypukłych. Podano i porrównano szereg różnych charakteryzacji tych klas, w tym kilka nowych charakteryzacji diagramowych. Dwa twierdzenia o równoważności tych charakteryzacji udowodniono przy użyciu diagramów. Przedstawiono również krótko diagramowe reprezentacje niektórych relacji nie będących relacjami ułożenia przedziałów. Rozdział kończy wprowadzenie do niektórych podstawowych zastosowań teorii relacji przedziałowych, które mogą wykorzystywać opracowane narzędzia diagramowe, takich jak wnioskowanie o zdarzeniach w czasie, jakościowe wnioskowanie przestrzenne, diagnostyka techniczna oraz szeregowanie akcji. Rozdział 5 pokazuje zastosowania diagramów przestrzeni przedziałów w arytmetyce przedziałowej. Opracowane tutaj diagramowe konstrukcje dla przedziałowych operacji arytmetycznych pomagają zrozumieć strukturę i niestandardowe zachowanie tych operacji i pozwalają znajdować ich nowe, użyteczne własności. Dodawanie przedziałów nie daje żadnych nietypowych efektów. Natomiast negacja (zmiana znaku) i odejmowanie zachowują się już niestandardowo, w rezultacie czego odejmowanie przestaje być operacją odwrotną do dodawania, co jest powodem nietypowych własności najprostszego równania przedziałowego a-\-x = b. Diagramy wyjaśniają tu naocznie głębsze przyczyny takiego zachowania się tych operacji, pomagając lepiej zrozumieć własności obliczeń przedziałowych. Oryginalną konstrukcję diagram ową, opracowaną dla znacznie bardziej złożonej operacji mnożenia przedziałów, użyto następnie do diagramowego przeanalizowania własności tej operacji. Przedstawiono m.in. diagramową charakteryzację podstawowych przypadków mnożenia wraz z diagramowym dowodem formuły "szybkiego mnożenia." Podano też podstawowe własności ważnego równania przedziałowego a o x = b. Szczegółowa analiza tego równania i jego wielowymiarowego uogólnienia jest kontynuowana w rozdziale 6. Opracowana następnie oryginalna diagramową konstrukcja dla dzielenia przedziałów działa poprawnie także w przypadku dzielenia przez przedział zawierający zero, dając wtedy tzw. przedział zewnętrzny ("eksterwał"), używany w arytmetyce Kahana. Następnie zastosowano analizę diagramową do niestandardowych operacji tzw. scentrowanych operacji mnożenia przedziałów. W wyniku tego udało się określić poprawną definicję nowej operacji tzw. vscentrowanego mnożenia wewnętrznego" oraz zbadać szczegółowo własności izotoniczności względem inkluzji i dokładności aproksymacji dla operacji zarówno zewnętrznego jak i wewnętrznego mnożenia scentrowanego. Rozdział kończą krótkie sekcje na temat dwóch głównych rozszerzeń standardowej algebry przedziałów (arytmetyki Kauchera i Kahana) oraz zastosowań diagramów arytmetyki przedziałowej. Rozdział 6 prezentuje nowe, diagramowe podejście do liniowych równań przedziałowych, wprowadzając również nowe narzędzia diagramowe przydatne w tej dziedzinie. Narzędzia diagramowe dla reprezentacji przestrzeni przedziałów, relacji przedziałowych i przedziałowych operacji arytmetycznych zastosowano tutaj do diagramowej analizy liniowych równań przedziałowych. Najpierw podano definicje podstawowych typów zbiorów rozwiązań takich równań (zbiory rozwiązań tolerowanych, kontrolowanych i zunifikowanych) i zinterpretowano je na nowo jako rozwiązania pewnych przedziałowych wyrażeń relacyjnych. Następnie przeanalizowano podstawowe równanie jednowymiarowe. Opracowano konstrukcje jego diagramowego rozwiązywania dla różnych możliwych przypadków. Ujawniło to bogatą strukturę różnych możliwych konfiguracji zbiorów rozwiązań. Skatalogowano wszystkie 6 podstawowych typów konfiguracji (składających się z 16 podtypów), 47 typów pośrednich i 10 zdegenerowanych, w kilku postaciach: diagramowych, tabelarycznych i algorytmicznych (1DSET). Następnie przeanalizowano zależność pomiędzy tzw. rozwiązaniem przedziałowym z zbiorem rozwiązań tolerowanych. Znaczenie tych wyników dla analizy ogólnego przypadku wielowymiarowego wynika z przedstawionego następnie twierdzenia o przecięciu radialnym przestrzeni rozwiązań. Stwierdza ono, że układ zbiorów rozwiązań wzdłuż dowolnej lini prostej przechodzącej przez środek układu współrzędnych przestrzeni rozwiązań uzyskuje się jako rozwiązanie pewnego równania jednowymiarowego ze współczynnikami określonymi przez współczynniki równania wielowymiarowego i parametry kierunkowe linii przecięcia. Podano również algorytm obliczania przecięć radialnych (RADCUT). Na tej podstawie sformułowano regułę selekcji hiperpłaszczyzn granicznych, pozwalającą znajdować pełne i dokładne opisy kształtów zbiorów rozwiązań w wielowymiarowej przestrzeni rozwiązań. Jako wprowadzenia do analizy wielowymiarowej użyto następnie przypadku dwuwymiarowego. Opracowano algorytm pełnego opisu przestrzeni rozwiązań dla tego przypadku (2DSETS) i użyto go do stworzenia katalogu podstawowych typów strukturalnych równania dwuwymiarowego. Algorytm został następnie rozszerzony na przypadek wielowymiarowy (BOUNDHYP). Rozdział kończy sekcja na temat zastosowań, zawierająca wyczerpującą dyskusję możliwych sposobów stosowania modelu matematycznego opartego na liniowych równaniach przedziałowych. Rozdział 7 wprowadza różne nowe charakteryzacje i własności tolerowanych, kontrolowanych i zunifikowanych zbiorów rozwiązań, uzyskane przez autora z zastosowaniem podejścia diagramowego i narzędzi diagramowych wprowadzonych w poprzednich rozdziałach, w szczególności w rozdziale 6. Rozdział rozpoczyna wprowadzenie nowego narzędzia zwanego diagramem motylkowym (BUTTERFLY), który przedstawia dwuwymiarową reprezentację struktury wielowymiarowej przestrzeni rozwiązań. Następnie omówiono sposoby stosowania tego diagramu do analizy struktury i własności zbiorów rozwiązań. Sformułowano i udowodniono z użyciem diagramów także szereg własności hiperpłaszczyzny środkowej i rozwiązania środkowego. Są one użyteczne dla charakteryzacji niektórych własności zbiorów rozwiązań. Następnie poszczególne typy rozwiązań analizowane są oddzielnie za pomocą opracowanych narzędzi diagramowych. Uzyskano w ten sposób ulepszenie niektórych istniejących warunków i znaleziono nowe warunki istnienia oraz nieistnienia tych zbiorów rozwiązań, obowiązujące globalnie (TSGLOBAL, CSGLOBAL), lub tylko w pewnych obszarach przestrzeni rozwiązań (TSLOCAL, CSLOCAL, USLO-CAL). Badano również i zaprezentowano wyniki dotyczące niektórych innych własności tych zbiorów rozwiązań, takich jak nieograniczoność i spójność. Wyprowadzono także algorytmy znajdowania nowych, wewnętrznych aproksymacji krzyżowych i ortopleksowych zbiorów rozwiązań (TSINNER, CSINNER, USINNER), uzyskując także ogólną metodę wyznaczania przecięć równoległych przestrzeni rozwiązań (PARCUT) za pomocą prostych równoległych do dowolnej danej osi współrzędnych. Przedstawione wyniki stanowią pierwszą porcję rezultatów uzyskanych przez autora za pomocą podejścia diagramowego. Dalsza praca z użyciem narzędzi diagramowych zapewne doprowadzi do uzyskania szeregu nowych rezultatów. Rozdział kończy ilustracyjny przykład analizy kratownicy. Dodatek A zawiera listę algorytmów opartych na uzyskanych wynikach. Zostały one zaimplementowane pod systemem MathematicaŽ 3.0 i stanowią wstępną wersję zestawu modułów dla planowanego interakcyjnego systemu eksploracji liniowych równań przedziałowych i ich przestrzeni rozwiązań. Nazwy algorytmów podano w odpowiednich miejscach w streszczeniu ostatnich dwóch rozdziałów powyżej.

Słowa kluczowe

EN

informatics; geometry; descriptive geometry

PL

geometria; geometria wykreślna; informatyka; grafika komputerowa

• Wydawca: Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN
• Czasopismo: Prace Instytutu Podstawowych Problemów Techniki PAN
• Rocznik: 2006
• Tom: nr 1
• Strony: 1--232
• Opis fizyczny: bibliogr. 172 poz.

Twórcy

autor

Kulpa Z.

• Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN

Bibliografia

• 1. Z. Kulpa (2006) A diagrammatic approach to investigate interval relatios. Journal of Visual Languages and Computing, (in print).
• 2. Z. Kulpa (2004) Designing diagrammatic notation for interval analysis. Information Desitn Journal + document Design, 12(1): 52-62.
• 3. Z. Kulpa, S. Markov (2003) On the inclusion properties of interval multiplication: A diagrammatic study. BIT Numerical Mathematics, 43: 791-810.
• 4. Z. Kulpa (2003) Self-consistency, impresion, and impossible cases in diagrammatic representations. In: [42], 147-160.
• 5. T.L. le, Z. Kulpa (2003) Diagrammatic spreadsheet. In: [42], 133-146.
• 6. Z. Kulpa (2003) Diagrammatic analysis of interval linear equations. Part II: The two-dimensional case and generalization to n dimensions. Reliable Computing, 9(3): 205-228.
• 7. Z. Kulpa (2003) Diagrammatic analysis of interval linear equations. Part I: Basic notions and the one-dimensional case. Reliable Computing, 9(1): 1-20.
• 8. K. Rosłaniec, Z. Kulpa, M. Kleiber (2002) Qualitative model-based analysis of truss structures. Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences, 9(1): 123-133.
• 9. Z. Kulpa (2001) Diagrammatic representation for interval artihmetic. Linear Algebra and Its Applications, 324: 55-80.
• 10. Z. Kulpa, K. Rosłaniec (2000) Solution sets for systems of linear interval equations. Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences. 7(4): 625-639.
• 11. Z. Kulpa, T.L. Le (2000) Characterization of convex and pointisable interval relations by diagrammatic methods. Machine GRAPHICS & VISION, 9: 221-231.
• 12. Z. Kulpa, A. Radomski, O. Gajl, M. Kleiber, I. Skalna (1999) Hybrid expert system for qualitative and quantitative analysis of truss structures. Engineering Applications of Artificial Interlligence, 12(1): 229-240.
• 13. Z. Kulpa, A. Pownuk, I. Skalna (1998) Analysis of linear mechanical structures with uncertainties by means of interval methods. Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences, 5(4): 443-477.
• 14. Z. Kulpa (1997) Diagrammatic representation for a space of intervals. In: [43], 5-24.
• 15. Z. Kulpa (1997) Diagrammatic representation of interval space in proving theorems about interval relations. Reliable Computing, 3: 209-217.
• 16. M. Kleiber, Z. Kulpa (1995) Computer-assisted hybrid reasoning in simulation and analysis of physical systems. Computer Assisted Mechanisc and Engineering Sciences, 2(3): 165-186.
• 17. Z. Kulpa (1994) Diagrammatic representation and reasoning. Machine GRAPHICS & VISION, 3(1-2): 77-103.
• 18. Z. Kulpa (1987) Putting order in the impossible. Perception, 16: 201-214.
• 19. Z. Kulpa, B. Kruse (1984) Algorithms for circular propagation in discrete images. Computer Vision, Graphics and Image Processing, 24: 305-328.
• 20. Z. Kulpa (1983) More about areas and perimeters of qantized objects. Computer Vision, Graphics and Image Processing, 22: 268-276.
• 21. Z. Kulpa (1983) Are impossible figures possible? Signal Processing, 5(3): 201-220.
• 22. Z. Kulpa (1979) On the properties of discrete circles, rings and disks. Computer Graphics and Image Processing, 10: 348-365.
• 23. Z. Kulpa (1977) Area and perimeter measurement of blobs in discrete binary pictures. Computer Graphics and Image Processing, 6(5): 434-451.
• 24. Z. Kulpa (1977) Planar grammars, parallel picture processing algorithms and their equivalance. Control and Cibernteics, 6(2): 5-16.
• 25. Z. Kulpa (2006) Designing diagrammatic catalogues of types of basic interval equation: A case study. In: M. Kohlhase, ed.: Mathematical Knowledge Management (Proc. MKM 2005: Fourth International Conference on Mathematical Knowledge Management, Bremen, Germany, July 15-17, 2005), 283-298. Lecture Notes in Artificial Intelligence, vol. 3863, Springer-Verlag, Berlin.
• 26. Z. Kulpa (2004) On diagrammatic representation of mathematical knowledge. In: A. Asperti, G. Bencerek, A. Tryublec, eds.: Mathematical Knowledge Management (Proc. MKM 2004: Third International Conference on Mathematical Knowledge Management, Białowieża, Poland, Sept. 19-21, 2004), 190-204. Lecture Notes in Computer Science, vol. 3119, Springer-Verlag, Berlin.
• 27. T.L. Le, Z. Kulpa (2004) Diagrammatic spreadsheet: An overview. In: [DIAGRAMS 2004], 420-423.
• 28. Z. Kulpa (2000) A diagrammatic notation for interval algebra. In: [DIAGRAMS 2000a], 471-474.
• 29. Z. Kulpa (2001) Towards diagrammatic analysis of systems of interval "linear equations". In: [INTERVALS 2001], 115-126.
• 30. Z. Kulpa (1983) Iconics: Computer-aided visual communication. In: S. Levialdi, ed.: Digital Image Analysis (Proc. 2nd Conference on Image Analysis and Processing, Fasano 1982). Pitman, London, 280-282.
• 31. Z. Kulpa (1981) PICASSO, PISACCO-SHOW and PAL-a development of a high-level software system for image processing. In: M.J.B. Duff, S. Levialdi, eds.: Languages and Architectures for Image Processing, Academic Press, London, 13-24.
• 32. Z. Kulpa, M. Piotrowicz (1979/1985) Shape factors of figures in discrete pictures. In: Selected papers of the Third National Conference on Biocybernetics and Biomedical engineering (Warsaw 1979), Polish Scientific Publishers (PWN), Warsaw 1985, 283-296.
• 33. Z. Kulpa, A. Bielik, M. Piotrowicz, M. Rychwalska (1978) Measurements of shape characteristics of moving cells using computer image processing system CPO-2. In: Proc International Conference on Signals and Images in Medicine and Biology (BIOSIGMA'78), Paris, 286-292.
• 34. Z. Kulpa, H.T. Nowicki (1976) Simple interactive picture processing system PICASSO-SHOW. In: Proc 3rd. International Joint Conference on Pattern Recognition, San Diego, CA, 218-223.
• 35. Z. Kulpa (1975) On the equivalance of planar grammars and parallel picture processing algorithms. In: A. Blikle, ed.: Mathematical Foundations of Computer Science '74, Lecture Notes in Computer Science, vol. 28, Springer-Verlag, Berlin, 307-312.
• 36. Z. Kulpa (1974) An outline description of the picture analysing language PAL. In: Proc. 9th Yugoslav International Symposium on Information Processing (INFORMATICA 74), Bled, Yugoslavia, 6 pp.
• 37. Z. Kulpa (1972) A picture processing system PICTURE ALGOL 1204. In: Proc 7th Yugoslav International Symposium on Information Processing (FCIP'72). Bled, Yugoslavia, 6pp.
• 38. R.S. Michalski, Z. Kulpa (1972) A system of programs for the synthesis of switching circuits using the method of disjoint stars. In: C.V. Freiman, ed.: Information Processint 71 (Proc. of the IFIP Congress, Ljubljana 1971), North-Hollandl, Amsterdam, Vol. 1: 61-65.
• 39. T.L. Le, Z. Kulpa (2003) Diagramowy arkusz kalkulacyjny [Diagrammatic spreadsheet, in Polsih]. In: Z. Bubnicki, A. Grzech, eds.: Inżynieria wiedzy i systemy ekspertowe [Knowledge Engineering and Exprt Systems]. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, vol. 2: 87-96.
• 40. Z. Kulpa (1994) Diagrammatic representation and reasoning with applications in qualitative analysis. In: M. Akiyama, M. Kleiber, eds.: Proc Japan-Central Europe Joint Workshop on Advanced Computing in Engineering, Pułtusk, Poland, 357-359.
• 41. Z. Kulpa (1983) Ikonika: komunikacja wizualna wspomagana komputerowo i jej zastosowania biomedyczne [Iconics: Computer-aided visual communication and its biomedicalapplications, in Polish]. In: Proc. 6th National Conference "Biocybernetics and Biomedical Engineering", Warsaw, 363-365.
• 42. E. Grabska, Z. Kulpa, eds. (2003) Diagrammatics & Design (Selected Papers from the First European Workshop on "Diagrammatics and Design"). A Special Issue of Machine GRAPHICS & VISION, 12(1).
• 43. Z. Kulpa, ed. (1997) Diagrammatic representation and reasoning. A Special Issue of Machine GRAPHICS & VIVION,l 6(1).
• 44. L. Bolc, Z. Kulpa, eds. (1981) Digital Image Processing Systems. Lecture Notes in Computer Science, vol. 109, Springer-Verlag, Berlin.
• 45. M. Nałęcz, S. Topiński, Z. Kulpa et al., eds. (1977) System cyfrowej analizy obrazów CPO-2 [Digital Image Analysis System CPO-2, in Polish]. Reports of the Institute of Biocybernetics and Biomedical Engineering of the Polish Academy of Sciences, vol. 1. Warsaw.
• 46. Z. Kulpa (2003) From Picture Processing ti Interval Diagrams. IFTR Reports 4/2003, Institute of Fundamental Technological Research, Warsaw.
• 47. M. nieniewski, L. Chmielewski, Z. Kulpa (2002) Przetwarzanie obrazów, wizja komputerowa oraz graficzna reprezentacja wiedzy [Picture processing, computer vision and graphical knowledge representation, in Polish]. In: M. Kleiber, ed.: Nauki techniczne u progu XXI wieku - Wizja rozwoju wybranycy dyscyplin z perspetkywy IPPT PAN [Technical Sciences at the Threshold of the XXI Century - The Vision of Development of Selected Disciplines from the IFTR PAS Perspective]. Instiutue of Fundamental Technologica Research, Warsaw, 211-228.
• 48. Z. Kulpa, M. Kleiber (1998) Jakościowa analiza układów mechanicznych w zastosowaniu do analizy kratownic metodą propagacji obiążeń [Qualitative analysis of mechnical systems applied to truss analysis with the method of load propagation, in Polish]. In: A. Grzech, ed.: Problemy Informatyki i Automatyki [Problems of Computer Science and Automatic Control]. Ossolineum, Wrocław, 177-190.
• 49. Z. Kulpa (1983) Ikonika: komunikacja wizualna wspomagana komputerowo [Iconics: Computer-aided visual communication, in Polish]. Im: M. Nałęcz, ed.: Wybrane problemy inżynierii biomedycznej, IBIB PAN, Warsaw, 5440553.
• 50. Z. Kulpa (2005) Structural Types of Interval Equation a . x = b: A Compete Cataloque. Technical Report No. B-1/2005, Institute of Fundamental Technological Research of the Polish Academy of Sciences, Warsaw.
• 51. Z. Kulpa (1999) Diagrammatic representation of interval space; Prt I: Basics; Part II: Arithmetic, Internal Report, Institute of Fundamental Technological Research of the Polish Academy of Sciences, Warsaw.
• 52. Z. Kulpa (1998) Qualitative model of load propagation in truss structures. Technica Report No. B-1/1998, Institute of Fundamenta Technological Research of the Polish Academy of Sciences, Warsaw.
• 53. Z. Kulpa (1995) Two-dimensional representation of interval relations: Preliminaryies. International Report, Institute of Fundamental Technological Research of the Polish Academy of Sciences. Warsaw.
• 54 Z. Kulpa (1980) Konstrukcja języka programowania algorytmów cyfrowego przetwarzania złożónych obraów wizualnych [The Design of a Programming Lanquage for Digital Processing of Complex Visual Images, in Polish]. Ph.D. Thesis, Institute of Computer Science of Polish Academy of Sciences, Warsaw.
• 55. [DIAGRAMS 1992] Reasoning with Diagrammatic Representations (1992 AAAI Spring Symposium). AAAI Press, Menlo Park, CA.
• 56. [DIAGRAMS 1995] J. Glasgow, N.H. Narayanan, B. Chandrasekaran, eds.: Diagrammatic Reasoning: Computational and Cognitwe Perspectives. AAAI Press, Menlo Park, CA, and The MIT Press, Cambridge, MA.
• 57. [DIAGRAMS 1996] G. Allwein, J. Barwise, eds.: Logical Reasoning with Diagrams, Oxford University Press, Oxford.
• 58. [DIAGRAMS 1997] M. Anderson, ed.: Reasoning with Diagrammatic Representations II (1997 AAAI Fali Symposium Working Notes). AAAI Press, Menlo Park, CA.
• 59. [DIAGRAMS 2000a] M. Anderson, P. Cheng, V. Haarslev, eds.: Theory and Applications of Diagrams (Proc. First International Conference, Diagrams 2000, Edinburgh, Scotland, UK, September 1-3, 2000). Lecture Notes in Artificial Intelligence, vol. 1889, Springer-Verlag, Berlin.
• 60. [DIAGRAMS 2000b] P. 01ivier, M. Anderson, B. Meyer, eds.: Diagrammatic Represen-tation and Reasoning. Springer-Verlag, Berlin.
• 61. [DIAGRAMS 2001] A. Blackwell, ed.: Thinking with Diagrams. Kluwer Academic Publ., Dordrecht. Also as: Special Issue of Artificial Intelligence Review, 5(1/2).
• 62. [DIAGRAMS 2002] M. Hegarty, B. Meyer, N. Hari Narayanan, eds.: Diagrammatic Rep-resentation and Inference (Proc. Second International Conference, Diagrams 2002, Call-away Gardens, GA, USA, April 18-22, 2002). Lecture Notes in Artificial Intelligence, vol. 2317, Springer-Verlag, Berlin.
• 63. [DIAGRAMS 2004] A. Blackwell, K. Marriott, A. Shimojima,eds.: Diagrammatic Repre-sentation and Inference, (Proc. Third International Conference, Diagrams 2004, Cambridge, UK, March 22-24, 2004). Lecture Notes in Artificial Inteligence, vol. 2980, Springer-Yerlag, Berlin.
• 64. [GEOMETRY 1997] J.R. King, D. SchattSchneider, eds.: Geometry Turned On!: Dynamie Software in Leaming, Teaching, and Research. Mathematical Association of America, Washington
• 65. [GREC 1999] A.K. Chhabra, D. Dori, eds.: Graphics Recognition. Recent Advances (Proc. Third International Workshop GREC'99, Jaipur, India, September 26-27, 1999). Lecture Notes in Computer Science, vol. 1941, Springer-Verlag, Berlin.
• 66. [INTERVALS 1975] K.L.E. Nickel, ed.: Interval Mathematics 1975. Lecture Notes in Computer Science, vol. 29, Springer Verlag, Berlin.
• 67. [INTERVALS 1980] K.L.E. Nickel, ed.: Interval Mathematics 1980. Academic Press, New York.
• 68. [INTERVALS 1985] K.Nickel, ed.: Intewal Mathematics 1985. Lecture Notes in Computer Science, vol. 212, Springer-Verlag, Berlin 1986.
• 69. [INTERVALS 2001] W. Kramer, J. Wolff von Gudenberg, eds.: Scientific Computing, Validated Numerics, Intewal Methods (Proc. SCAN/INTERVAL 2000 International Conference, Karlsruhe, Germany). Kluwer Academic/Plenum Publishers.
• 70. [VISMATH 1997] H-C. Hege, K. Polthier, eds.: Visualization and mathematics: Experi-ments, Simulations and Environments. Springer-Verlag, Berlin.
• 71. [VISPROG 1990] E.P. Glinert, ed.: Visual Programming Environments; Part I: Para-digms and Systems; Part II: Applications and Issues. IEEE Computer Society Press.
• 72. [Alefeld k, Herzberger 1983] G. Alefeld, J. Herzberger: Introduction to Interval Compu-tations. Academic Press, New York.
• 73. [Allen 1983] J.F. Allen: Maintaining knowledge about temporal relations. Communications ofthe ACM, 26(11): 832-843.
• 74. [Anderson & McCartney 1997] M. Anderson, R. McCartney: Learning from diagrams. In: [43], 57-76.
• 75. [Arnheim 1969] R. Arnheim: Visual Thinking. University of California Press, Berkeley, CA.
• 76. [Barker-Plummer & Bailin 1997] D. Barker-Plummer, S.C. Bailin: The role of diagrams in mathematical proofs. In: [43], 25-56.
• 77. [Barwise &; Etchemendy 1996a] J. Barwise, J. Etchemendy: Visual information and valid reasoning. In: [DIAGRAMS 1996], 3-25. (Older, but essentially identical version ap-peared in: W. Zimmerman, S. Cunningham, eds.: Visualization in Teaching and Learning Mathematics. Mathematical Association of America, Washington, D.C. 1991, 9-24.)
• 78. [Barwise & Etchemendy 1996b] J. Barwise, J. Etchemendy: Heterogeneous logie. In: [DIAGRAMS 1996], 179-200. (Appeared also in: [DIAGRAMS 1995], 209-232.)
• 79. [Berge 1973] C. Berge: Graphs and Hypergraphs, North Holland, Amsterdam.
• 80. [Bettini 1994] C. Bettini: A formalization of interval-based temporal subsumption in first order logie. In: Foundations of Knowledge Representation and Reasoning, Lecture Notes in Artificial Intelligence, vol. 810, Springer-Yerlag, Berlin, 53-73.
• 81. [Buchberger 2001] B. Buchberger: Logicographic symbols: A new feature in Theorema. In: Y. Tazawa, ed.: Symbolic Computation - New Horizons. Tokyo Denki University Press, 23-30.
• 82. [Drakengren Sz Jonsson 1998] T. Drakengren, P. Jonsson: A complete classification of tractability in Allen's algebra relative to subsets of basie relations. Artificial Intelligence, 106: 205-219.
• 83. [Essex et al. 2000] C. Essex, M. Davison, C. Schulzky: Numerical monsters. SIGSAM Bulletin, 134: 16-32.
• 84. [Feder 1971] J. Feder: Plex languages. Information Science, 3: 225-241.
• 85. [Freksa 1992] C. Freksa: Temporal reasoning based on semi-intervals. Artificial Intelligence, 54(1-2): 199-227.
• 86. [Freksa 1996] C. Freksa (1996) Erratum to "Temporal reasoning based on semi-intervals." Artificial Intelligence, 87: 387.
• 87. [Frommer 2001] A. Frommer: Proving conjectures by use of interval arithmetic. In: U. Kulisch, R. Lohner, A. Facius, eds.: Perspectwes on Enclosure Methods, Springer-Verlag, Vienna, 1-13.
• 88. [Funt 1980] B.V. Funt: Problem-solving with diagrammatic representations. Artificial Intelligence, 13(3): 201-230.
• 89. [Furnas 1990] G.W. Furnas: Formal models for imaginal deduction. In: Proc. Twelfth Annual Conference of the Cognitive Science Society. Lawrence Erlbaum, Hillsdale, NJ, 662-669.
• 90. [Furnas et al. 2000] G. Furnas, Y. Qu, S. Shrivastava, G. Peters: The use of intermediate graphical constructions in problem solving with dynamie, pixel-level diagrams. In: [DIAGRAMS 2000a], 314-329.
• 91. [Gardeńes et al. 1980] E. Gardeńes, A. Trepat, J.M. Janer: SIGLA-PL/1: Development and applications. In: [INTERVALS 1980], 301-315.
• 92. [Gardeńes et al. 1981] E. Gardeńes, A. Trepat, J.M. Janer: Approaches to simulation and to the linear problem in the SIGLA system. Freiburger Intervall-Berichte, 81/8: 1-28.
• 93. [Gardeńes et al. 2001] E. Gardeńes, M.A. Sainz, L. Jorba, R. Calm, R. Estell, H. Mielgo, A. Trepat: Modal intervals. Reliable Computing, 7: 77-111.
• 94. [Gardeńes & Trepat 1979] E. Gardeńes, A. Trepat: The interval computing system SIGLA-PL/1(0). Freiburger Intervall-Berichte, 79/8.
• 95. [Gardin & Meltzer 1989] F. Gardin, B. Meltzer: Analogical representations of naive physics. Artificial Intelligence, 38: 139-159. (Reprinted in: [DIAGRAMS 1995], 670-689.
• 96. [Gelernter 1959] H. Gelernter: Realization of a geometry-theorem proving machinę. In: Proc. International Conf. on Information Processing (ICIP). UNESCO House, Paris, 273-282. (Reprinted in: E.A. Feigenbaum, J. Feldman, eds.: Computers and Thought. McGraw-Hill, New York 1963, 134-152.)
• 97. [Giere 1999] R.N. Giere: Science without Laws. The University of Chicago Press, Chicago, IL.
• 98. [Gleicher & Witkin 1994] M. Gleicher, A. Witkin: Drawing with constraints. The Visual Computer, 11: 39-51.
• 99. [Goodstein & Goodstein 1996] D.L. Goodstein, J.R. Goodstein: Feynman's Lost Lecture: The Motion of Planets Around the Sun. W.W. Norton &; Co. (Polish edition: Zaginiony wykład Feynmana: Ruch planet wokół Słońca. Prószyński i S-ka, Warszawa 1997.)
• 100. [Grabska 1993a] E. Grabska: Theoretical concepts of graphical modeling. Part one: realization of CP-graphs. Machinę GRAPHICS & VISION, 2(1): 3-38.
• 101. [Grabska 1993b] E. Grabska: Theoretical concepts of graphical modeling. Part two: CP-graphs grammars and languages. Machinę GRAPHICS & VISION, 2(2): 149-178.
• 102. [Greaves 2001] M. Greaves: The Philosophical Status of Diagrams. CSLI Publications, Stanford, CA.
• 103. [Hadamard 1945] J. Hadamard: The Psychology of Invention in the Mathematical Field. Princeton University Press, Princeton, NJ. (Modern reprint as The Mathematiciarts Mind. Princeton University Press, Princeton, NJ 1996.)
• 104. [Hammer 1996] E. Hammer: Logic and Visual Information. Cambridge University Press, Cambridge.
• 105. [Hansen 1992] E. Hansen: Global Optimization Using Interval Analysis. Marcel Dekker, New York.
• 106. [Hansen & Walster 2003] E. Hansen, G.W. Walster: Global Optimization Using Interval Analysis. Marcel Dekker, New York (2nd edition, revised and expanded).
• 107. [HarelT988] D. Harel: On visual formalisms. Communications of the ACM, 31(5): 514-530. (Reprinted in [VISPROG 1990], vol. 1: 171-187.)
• 108. [Henrici 1971] P. Henrici: Circular Arithmetic and the Determination of Polynomial Ze-roes. Lecture Notes in Mathematics, vol. 228, Springer-Verlag, Berlin, 86-92.
• 109. [Hickey et al. 2001] T.J. Hickey, Q. Ju, M.H. van Emden: Interval arithmetic: from prin-ciples to implementation. Journal of the ACM, 48: 1038-1068.
• 110. [Jamnik et al. 1999] M. Jamnik, A. Bundy, I. Green: On automating diagrammatic proofs of arithmetic arguments. Journal of Logic, Language and Information, 8: 297-321.
• 111. [Jamnik 2001] M. Jamnik: Mathematical Reasoning with Diagams: From Intuition to Automation. CSLI Publications, Stanford, CA 2001
• 112. [Jaulin et al. 2001] L. Jaulin, M. Kieffer, O. Didrit, E. Walter: Applied Intewal Analysis. Springer Verlag, London.
• 113. [Kahan 1968] W.M. Kahan: A morę complete intewal arithmetic. Lecture notes, Univer-sity of Toronto, Toronto.
• 114. [Kanizsa 1974] G. Kanizsa: Contours without gradients or cognitive contours. Italian Journal of Psychology, 1: 93-112.
• 115. [Kaucher 1973] E. Kaucher: Uber metrische und algebraische Eigenschaften einiger beim numerischen Rechnen auftretender Raume. Ph.D. Thesis, Universitat Karlsruhe, Karlsruhe.
• 116. [Kaucher 1977] E. Kaucher: Uber eine Uberlaufarithmetik auf Rechenanlagen und dereń Anwendungsmóglichkeiten. ZAMM, 57: T286-T287.
• 117. [Kaucher 1980] E. Kaucher: Interval analysis in the extended interval space IR. Comput-ing, SuppL 2: 33-49.
• 118. [Kaucher 1999] E. Kaucher: Personal communication.
• 119. [Kóyliioglu et al. 1995] H.U. Kóyliioglu, A.§. Cakmak, S.R.K. Nielsen. Interval map-ping in structural mechanics. In: Spanos, ed.: Computational Stochastic Mechanics. Balkema, Rotterdam, 125-133.
• 120. [Kosslyn 1980] S.M. Kosslyn: Image and Mind. Harvard University Press, Cambridge, MA.
• 121. [Kosslyn 1994] S.M. Kosslyn: Image and Brain. The MIT Press, Cambridge, MA.
• 122. [Kreinovich et al. 1997] V. Kreinovich, A. Lakeyev, J. Rohn, P. Kahl: Computational Complezity and Feasibility of Data Processing and Interval Computations. Kluwer Aca-demic Publ., Dordrecht.
• 123. [Laveuve 1975] S.E. Laveuve: Definition einer Kahan-Arithmetik und ihre Implemen-tierung. In: [INTERVALS 1975], 236-245.
• 124. [Ligozat 1994a] G. Ligozat: Temporal reasoning madesimpler. In: Proc. of 7th Intl. Conf on IEA/AIE'94, Austin, TX, 123-130.
• 125. [Ligozat 1994b] G. Ligozat: Towards a generał characterization of conceptual neighbor-hoods in temporal and spatial reasoning. In: Workshop on Spatial and Temporal Reasoning (at AAAI-94), Seattle, WA, 745-750.
• 126. [Ligozat 1994c] G. Ligozat: Tractable relations in temporal reasoning: pre-convex re-lations. Presented at ECAI-9Ą Workshop W12 on Spatial and Temporal Reasoning, Amsterdam, The Netherlands.
• 127. [Ligozat 1997] G. Ligozat: Figures for thought: Temporal reasoning with pictures. In: Workshop on Spatial and Temporal Reasoning (at AAAI-97), Providence, RI, 31-36.
• 128. [Markov 1995] S. Markov: On directed interval arithmetic and its applications. Journal of Unwersal Computer Science, 1: 510-522.
• 129. [Markov 2001a] S. Markov: On the algebraic properties of intervals and some applications. Reliable Computing, 7(2): 113-127.
• 130. [Markov 2001b] S. Markov: Computation of algebraic solutions of interval systems via systems of coordinates. In: [INTERYALS 2001], 103-114.
• 131. [Markov 2004] S. Markov: On the interval arithmetic in midpoint-radius form. In: Math-ematics and Education in Mathematics (Proc. 33rd Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians, Borovets, April 1-4, 2004), 391-396.
• 132. [Markov k, Okumura 1999] S. Markov, K. Okumura: The contribution of T. Sunaga to interval analysis and reliable computing. In: T. Csendes, ed.: Developments in Reliable Computing, Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 167-188.
• 133. [Miller 2001] N. Miller: A Diagrammatic Formal System for Euclidean Geometry. Ph.D. Thesis, Cornell University, Ithaca, NY.
• 134. [Moore 1966] R.E. Moore: Interval Analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.
• 135. [Mukerjee & Joe 1990] A. Mukerjee, G. Joe: A qualitative model for space. In: Proc. 8th National Conference on Artificial Intelligence (AAAI'90). AAAI Press/The MIT Press, Menlo Park, CA, 721-727.
• 136. [Nebel & Biirckert 1995] B. Nebel, H.-J. Biirckert: Reasoning about temporal rela-tions: a maximal tractable subclass of Allen's interval algebra. Journal of the ACM, 42(1): 43-66.
• 137. Needham 1997] T. Needham: Visual Complex Analysis. Clarendon Press, Oxford.
• 138. [Neumaier 1982] A. Neumaier: A distributive interval arithmetic. Freiburger Interuall-Berichte, 82/10: 31-38.
• 139. [Neumaier 1990] A. Neumaier: Interval Methods for Systems of Eąuations. Cambridge University Press, Cambridge.
• 140. [Neumaier 2003] A. Neumaier: Taylor forms—use and limits. Reliable Computing, 9(1): 43-79.
• 141. [Nokel 1991] K. Nókel: Temporally Distributed Symptoms in Technical Diagnosis. Lecture Notes in Artificial Intelligence, vol. 517. Springer-Verlag, Berlin.
• 142. [01ivier et al. 1996] P. 01ivier, K. Nakata, A.R.T. Ormsby: Occupancy array-based kine-matic reasoning. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 9(5): 541-549.
• 143. [Pavlidis 1982] T. Pavlidis: Algorithms for Graphics and Image Processing. Computer Science Press, Rockville, MD. (Polish edition: T. Pavlidis: Grafika i przetwarzanie obrazów, WNT, Warszawa 1987.)
• 144. [Rao & Berke 1997] S.S. Rao, L. Berke: Analysis of uncertain structural systems using interval analysis. Al A A Journal, 35(4): 727-735.
• 145. [Ratschek 1972] H. Ratschek: Teilbarkeitskriterien der Intervallarithmetik. J. Reine Angewandte Mathematik, 252: 128-138
• 146. [Ratschek 1973] H. Ratschek: Intervalarithmetik—mit Zirkel und Lineal. Elemente der Mathematik, 28(4): 93-96.
• 147. [Ratschek 1980] H. Ratschek: Representation of interval operations by coordinates. Com-puting, 24: 93-96.
• 148. [Ratschek &; Rokne 1984] H. Ratschek, J. Rokne: Computer Methods for the Rangę of Functions. J. Wiley & Sons, New York.
• 149. [Rit 1986] J.-F. Rit: Propagating temporal constraints for scheduling. In: Proc. Fifth National Conference on Artificial Intelligence (AAAI-86). Morgan Kaufmann, Los Altos, CA, 383-388.
• 150. [Rohn 1986] J. Rohn: Inner solutions of linear interval systems. In: [INTERVALS 1985], 157-158.
• 151. [Rohn 1989] J. Rohn: Systems of linear interval eąuations. Linear Algebra and Its Applications, 126: 39-78.
• 152. [Rohn 2000] J. Rohn: Finite characterization of some linear problems with inexact data. Invited Lecture at the SCAN/INTERVAL 2000 Conference, Karlsruhe, Sept. 18-23, 2000. [Unpublished; for conference slides of the lecture and lat er additions, see http://www.ippt.gov.pl/~zkulpa/quaphys/interval.html ]
• 153. [Rump 1998] S.M. Rump: INTLAB - INTerval LABoratory, In: T. Csendes, ed.: Devel-opments in Reliable Computing. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 77-104.
• 154. [Rump 1999] S.M. Rump: Fast and parallel interval arithmetic. BIT Numerical Mathematics 39(3): 534-554.
• 155. [Schlieder 1996] C. Schlieder: Diagrammatic reasoning about Allen's interval relations. In: AAAI Spring Symposium on Cognitwe and Computational Models of Spatial Rep-resentations (Stanford, CA, March 25-27, 1996), Stanford University, Stanford, CA, 9pp.
• 156. [Sharąya 2004] LA. Sharaya: Ogranicheno li dopustimoye mnozhestvo reshenyi interval-noy sistemy? [Is the tolerance set of solutions of an interval system bounded?, in Russian], Vychislityelnye tekhnologii [Computational Technologies], 9(3): 108-112.
• 157. [Shary 1995] S.P. Shary: Solving the linear interval tolerance problem. Mathematics and Computers in Simulation, 39: 53-85.
• 158. [Shary 1996] S.P. Shary: Algebraic approach to the interval linear static identification, tolerance, and control problems, or one morę application of Kaucher arithmetic. Reliable Computing, 2: 3-33.
• 159. [Shary 1997] S.P. Shary: Controllable solution set to interval static systems. Applied Mathematics and Computation, 86: 185-196.
• 160. [Shary 2002] S.P. Shary: A new techniąue in system analysis under interval uncertainty and ambiguity. Reliable Computing, 8(5): 321-418
• 161. [Shimojima 2001] A. Shimojima: The graphic-linguistic distinction: Exploring alterna-tives. In: [DIAGRAMS 2001], 5-27.
• 162. [Skybytsky k Yuping 1992] N.V. Skybytsky, T. Yuping: Control of the linear dynamie plant with intervally given parameters from the ąuarantee condition of the reąuired aceuracy of the solution. Interval Computations, 4: 88-93.
• 163. [Smagina k Brewer 2002] Ye. Smagina, I. Brewer: Using interval arithmetic for robust state feedback design. Systems & Control Letters, 46: 187-194.
• 164. [Sunaga 1958] T. Sunaga: Theory of an interval algebra and its application to numerical analysis. RAAG Memoirs, 2: 547-564.
• 165. [Tye 1991] M. Tye: The Imagery Debatę. The MIT Press, Cambridge, MA.
• 166. [van Beek k Cohen 1990] P. van Beek, R. Cohen: Exact and approximate reasoning about temporal relations. Computational Intelligence, 6: 132-144.
• 167. [van Beek 1992] P. van Beek: Reasoning about qualitative temporal information. Artifi-cial Intelligence, 58: 297-326.
• 168. [Vilain et al. 1990] M.B. Vilain, H. Kautz, P. van Beek: Constraint propagation algo-rithms for temporal reasoning—A revised report. In: Readings in Qualitative Reasoning about Physical Systems. Morgan Kaufmann, San Mateo, CA, 373-381.
• 169. [Warmus 1956] M. Warmus: Calculus of approximations. Buli. Acad. Polon. Sci., Cl. III, IV(5): 253-259. [For on-line seans of the paper, see http: //www. ippt. gov. pl/~zkulpa/quaphys/warmus . html#56 ]
• 170. [Warmus 1961] M. Warmus: Approximat ions and inequalities in the calculus of approx-imations: Classification of approximate numbers. Buli. Acad. Polon. Sci., Ser. Math, Astr. et Phys., IX(4): 241-245. [For on-line seans of the paper, see http: //www. ippt. gov .pl/~zkulpa/quaphy s/warmus .html#61 ]
• 171. [Winterstein et al. 2000] D. Winterstein, A. Bundy, M. Jamnik: A proposal for automat-ing diagrammatic reasoning in continuous domains. In: [DIAGRAMS 2000a], 286-299.
• 172. [Winterstein et al. 2002] D. Winterstein, A. Bundy, C. Gurr, M. Jamnik: Using anima-tion in diagrammatic theorem proving. In: [DIAGRAMS 2002], 46-60.