Elementy rachunku frakcjalnego całko-pochodne dowolnego rzędu (I)

• Autorzy: Turski A. J. , Atamaniuk B. , Turska E.
• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Przedstawiono elementy teorii i zastosowań pochodnych rzędu niecałkowitego i całek niecałkowitej krotności. Mamy do czynienia z operacją liniową, która w szczególności jest równoważna operacji różnicznowania i całkowania. Dla funkcji wielu zmiennych takie operacje nazywane są pseudoróżniczkowymi. Praca została podzielona na dwie części. W części pierwszej (I) omówiono myśl prowadzącą do unifikacji pojęcia pochodnej rzędu całkowitego- n i całki n-krotnej. W klasycznej analizie pojęcia te są prezentowane oddzielnie. Przedstawiony zostanie przykład oparty na dwumianie Newtona całkowitego dodatniego stopnia i przejście do ujemnego i dodatniego, ale niecałkowitego stopnia. Przedstawiona zostanie pochodna rzędu całkowitego- n dostatecznie gładkiej funkcji f(x) przy pomocy granicy ilorazu różnicowego zawierającego n + 1 wyrazów. Następnie uogólnione zostanie to wyrażenie, stosując funkcje gamma, na ujemny ca lkowity stopień- -n prowadząc do nielokalnego pojęcia n-krotnie iterowanej całki i wreszcie otrzymamy wzór Grünwalda-Letnikowa definiujący całko-pochodną dowolnego rzędu. W dalszym ciągu przedstawione zostaną proste przykłady całko-pochodnych funkcji potęgowych, wykładniczych i trygonometrycznych. Wprowadzona zostanie ogólna definicja całki i pochodnej rzędu niecałkowitego odniesionych do przedziału. Zwrócona zostanie uwaga na równoważność i warunki równoważności definicji Grünwalda-Letnikowa i Riemanna-Lioville`a. Praca zostanie zakończona przykładami, odpowiedziai na pytania zadane w tekście, zadaniami, tablicą całko-pochodnych i obszernym wykazem literatury.

Słowa kluczowe

PL

analiza matematyczna

EN

mathematical analysis

• Wydawca: Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN
• Czasopismo: Prace Instytutu Podstawowych Problemów Techniki PAN
• Rocznik: 2004
• Tom: nr 2
• Strony: 1--37
• Opis fizyczny: Bibliogr. 28 poz.

Twórcy

autor

Turski A. J.

• Zakład Teorii Ośrodków Ciągłych - IPPT

autor

Atamaniuk B.

• Zakład Teorii Ośrodków Ciągłych - IPPT

autor

Turska E.

• Zakład Teorii Ośrodków Ciągłych - IPPT

Bibliografia

• [1] V. Kiryakova, Generalized Fractional Calculus & Applications, Research Notes in Mathematics, No. 301, 1994.
• [2] K. J. B. Oldham and Spanier, The fractional Calculus, Academic Press, 1974.
• [3] K. S. Miller and B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Expiations J. Wiley & Sons, 1993.
• [4] S, G. Samko, A. A. Kilbas and O. I. Marie hew, Integrafy i proizwodnyje drobnowo poriadka i niekatoryje ich prilotenia, Nauka i Technika, Minsk, 1987, (po rosyjsku).
• [5] K. Nishinaoto, Fractional Calculus, Vols I-IV, Descartes Press, Korijama, 1984- 1991.
• [6] K. Nishimoto, Fractional Calculus and its Application, College of Engineering, Nikon University, Japan, 1990.
• [7] K. Nishimoto, An Essence of Nishimoio’s Fractional Calculus, Descartes Press, Korijama, 1991.
• [8] I. Podlubny, Fractional Differential Equations, Academic Press, 1999.
• [9] R. Hilfer, Application of Fractional Calculus in Physics, World Scientific, 2000.
• [10] B. Ross, (ed), Proceedings of the International Conference on Fractional Calculus and its Applications, Spnnger-Verlag, 1975.
• [11] A. C. Me Bride and G. F. Roach, Fractional Calculus, Pitman, 1985.
• [12] K. Nishimoto (Ed.), Fractional Calculus and its Applications, College of Engineering, Nikon University, Japan, 1990
• [13] K. Nishimoto (Ed), Journal of Fractional Calculus, Descartes Press, Korijama, (pismo wy da wane od 1998)
• [14] V. Kiryakova (Ed), Fractional Calculus & Applied Analysis, Inst, of Math. & Informatics, Bulg. Acad Sci., Sofia, (pismo wydawane od 1998)
• [15] B. Ross, The development of fractional calculus 1695-1900, Historia Mathematica, 4, 75-89, 1977.
• [16] A. K. Grunwald, Über begrentzte Derivationen undderen Anvendung, Z. Angew. Math. Phys., 12, 441-486, 1867.
• [17] A. V. Letnikow, Teoria differencirowania drobnowo poriadka. Mat. Sbomik, 3, 1-68, 1868
• [18] S. Samko, The multidimensional fractional integrodifferentiation and the Grunwald- Letnikov approach to fractional calculus, Proceedings of the International Conference on Fractional Calculus, 221-115, patrz [6].
• [19] J. Liouville, Memoire sur quelque questions de geometrie et de mecanique , et sur un noveau gentre pour resoudre ces questions, J. Ecole Polytech., 13, 1-69, 1832.
• [20] J. Liouville, Memoire sur le calcul de diferentielles a indices quelconques, J. Ecole Polytech , 13, 71-162, 1832.
• [21] A. J. Turski, B. Atamaniuk, E Turska, Fractional derivative analysis of Helmholtz and paraxial-wave equations, J. Tech. Phys. 44, 2, 193-206, 2003
• [22] Metzler, J. Klafter, The random walk’s guide to anomalous diffusion: A fractional dynamics approach. Physics Reports 339, 1-77, 2000.
• [23] N. Engheta, Fractional paradigm in Electromagnetic Theory, rozdz. w Frotiers in Electromagnetics, D. H. Werner & Mitra (Eds), IEEE Press, Chapter 12, 523-552, 2000.
• [24] J. Spanier, K. B. Oldham, An Atlas o f Functions, Springer-Verlag, Berlin, 1987
• [25] M. R. Spiegel, Theory and Problems o f Laplace Transforms, Schaum Publishing Co. N York 1965
• [26] L. N. Bronsztejn & K. A. Semendajew, Sprawocznik po matematike, Gos Izdat Techn.- Teoretycz Literatura, 1954.
• [27] M. E. Taylora, Pseudodifferential Operators, Princenton Mathematical Series, Princeton University Press, Princenton, 1981.
• [28] F. Trev, (F. Trève), Wwiedenie teoriu psewdodyferencjalnych operatorow i integralnych operatorow Fourie, przekład z ang., Moskwa-Mir, 1984