Numerical efficiency of iterative solvers for the poisson equation using equation using computer cluster

• Autorzy: Gościk J. , Gościk J.

Warianty tytułu

PL

Efektywność numeryczna iteracyjnych technik rozwiązania równania Poissona na klastrze komputerowym

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

We present a set of numerical results which were obtained by systematic investigation of eciency of compilers implemented on Mordor cluster (http://mordor.wi.pb.edu.pl) running Linux distribution CentOS 4, kernel ver. 2.6. As a generic problem the finite dierence based framework for solution of the Poisson equation has been taken (with discretization on grid topologically equivalent to a Cartesian grid). The PDE converted to an algebraic system of equations is solved by adopting so-called nonstationary, Krylov type, iterative methods: conjugate gradient (CG), bi-conjugate gradient (Bi-CG), conjugate gradient squared (CGS) and bi-conjugate gradient stabilized (Bi-CGSTAB). The code was implemented using two dierent compilers, such as gcc (GNU Compiler Collection - ver. 3.4.6) and icc (Intel C++ Compiler - ver. 9.1). All performances reported were done with the Xeon 3.2 GHz processor that has own memory 2 GB.

PL

Przedstawiono wstępne wyniki badania efektywności sekwencyjnego przetwarzania danych w algorytmach rozwiązywania dużych układów równań liniowych na klastrze obliczeniowym Mordor (http://mordor.wi.pb.edu.pl) zarządzanym przez system operacyjny Linux (dystrybucja CentOS 4, wersja jądra 2.6). Szczególną uwagę zwrócono na wpływ doboru opcji optymalizacyjnych w dost˛epnych kompilatorach na wydajność obliczeniową kodu komputerowego. Jako bazowe do rozważań przyjęto duże układy równań liniowych z macierzą współczynników o strukturze rzadkiej. Takie układy równań generowane są w procedurze numerycznego rozwiązania równania Poissona, którego aproksymację otrzymuje się na gruncie metody różnic skończonych (dyskretyzacja na uporządkowanej siatce różnicowej w kartezjańskim układzie współżędnych prostokątnych). Cząstkowe równanie różniczkowe przekształcone do postaci układu równań liniowych rozwiązano z wykorzystaniem czterech metod iteracyjnych typu Kryłowa: gradientów sprzężonych (CG), gradientów bisprzężonych (Bi-CG), kwadratowego gradientu sprzężonego (CGS) oraz stabilizowaną metodą wzajemnie sprzężonych gradientów (Bi-CGSTAB). Metody te wdrożono generując własne oprogramowanie oraz zaimplementowano z wykorzystaniem dwóch różnych kompilatorów gcc (GNU Compiler Collection - wesja 3.4.6) oraz icc (Intel C++ Compiler - wersja 9.1). Wyniki wszystkich testów efektywności obliczeniowej uzyskano rozwiązując sformułowane zagadnienie testowe przy użyciu jednego procesora Xeon 3.2 Ghz wchodzącego w skład jednego węzła obliczeniowego z pamięcią własną 2GB.

Słowa kluczowe

EN

iterative solvers; finite difference method; Poisson equation

PL

metody iteracyjne; metoda różnic skończonych; równanie Poissona

• Wydawca: Oficyna Wydawnicza Politechniki Białostockiej
• Czasopismo: Zeszyty Naukowe Politechniki Białostockiej. Informatyka
• Rocznik: 2008
• Tom: Z. 3
• Strony: 39--52
• Opis fizyczny: Bibliogr. 11 poz., tab., wykr.

Twórcy

autor

Gościk J.

autor

Gościk J.

• Bialystok Technical University, Faculty of Computer Science, Bialystok, Poland

Bibliografia

• [1] Saad, Y.: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Second Edition, SIAM, Philadelphia, Pa, 2003.
• [2] Van der Vorst, H.A.: The Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems, Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
• [3] Barrett, R., Berry, M., Chan, T., Demmel, J., June, D., Dongarra, J., Eijkhout, V., Pozo, R., Romine, Ch., Van der Horst, H.: Templates for the solution of linear systems: Building blocks for iterative methods, Second Edition, SIAM Publication, 2003.
• [4] Saad, Y., Van der Vorst, H.A.: Iterative solution of linear systems in the 20-th Century, Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 123, No. 1-2, pp. 1-33, 2000.
• [5] Hestens, M.R., Stiefel, E.: Methods of conjugate gradients for solving linear systems, J. Res. Nat. Bur. Stand, Vol. 49, No. 6, pp. 409-436, 1952.
• [6] Lanczos, C.: Solution of systems of linear equations by minimized iterations, J. Res. Nat. Bur. Stand, Vol. 49, No. 1, pp. 33-53, 1952.
• [7] Fletcher, R.: Conjugate gradient methods for indefinite systems, In Edited by G.A.Watson, Proceedings of the Dundee Biennal Conference on Numerical Analysis 1974, Springer Verlag, New York, pp. 73-89, 1975.
• [8] Sonneveld, P.: CGS: A fast Lanczos-type solver for nonsymmetric linear systems, SIAM J. Sci. Statist. Comput, Vol. 10, pp. 36-52, 1989.
• [9] Van der Vorst, H.A.: Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems, SIAM J. Sci. Stat. Comput, Vol. 13, pp. 631-644, 1992.
• [10] Stallman, R.M., GCC Developer Community: Using the GNU Compiler Collection, GNU Press, 2004.
• [11] Intel C++ Compiler Optimization Applications, Intel Corporation, 1996-2006.