A finite element implementation of Knowles stored-energy function: theory, coding and applications

• Autorzy: Suchocki C.

Warianty tytułu

PL

Wprowadzenie funkcji energii potencjalnej typu Knowlesa do systemu metody elementów skończonych: teoria, kodowanie i zastosowania

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

This paper contains the full way of implementing a user-defined hyperelastic constitutive model into the finite element method (FEM) through defining an appropriate elasticity tensor. The Knowles stored-energy potential has been chosen to illustrate the implementation, as this particular potential function proved to be very effective in modeling nonlinear elasticity within moderate deformations. Thus, the Knowles stored-energy potential allows for appropriate modeling of thermoplastics, resins, polymeric composites and living tissues, such as bone for example. The decoupling of volumetric and isochoric behavior within a hyperelastic constitutive equation has been extensively discussed. An analytical elasticity tensor, corresponding to the Knowles stored-energy potential, has been derived. To the best of author's knowledge, this tensor has not been presented in the literature yet. The way of deriving analytical elasticity tensors for hyperelastic materials has been discussed in detail. The analytical elasticity tensor may be further used to develop visco-hyperelastic, nonlinear viscoelastic or viscoplastic constitutive models. A FORTRAN 77 code has been written in order to implement the Knowles hyperelastic model into a FEM system. The performace of the developed code is examined using an exemplary problem.

PL

Praca przedstawia pełną drogę wprowadzania do systemu metody elementów skończonych (MES) równania konstytutywnego hipersprężystości zdefiniowanego przez użytkownika przy użyciu odpowiedniego tensora sztywności. Aby zilustrować metodykę wprowadzania równania konstytutywnego do MES posłużono się modelem materiału hipersprężystego typu Knowlesa, gdyż model ten dobrze opisuje nieliniową sprężystość w zakresie średnich deformacji. Stąd model Knowlesa pozwala na poprawny opis własności mechanicznych polimerów termoplastycznych, żywic, kompozytów polimerowych i niektórych tkanek biologicznych, jak np. tkanka kostna. Przedstawiono podział równania konstytutywnego na część izochoryczną i objętościową. Wyprowadzono analitycznie tensor sztywności odpowiadający modelowi Knowlesa. Tensor ten nie był dotąd prezentowany w literaturze. Omówiono szczegółowo sposób wyprowadzania analitycznych tensorów sztywności dla materiałów hipersprężystych. Wyznaczony tensor sztywności może dalej posłużyć do budowy równań konstytutywnych nieliniowej lepkosprężystości lub lepkoplastyczności. W celu wprowadzenia modelu do systemu MES napisany został program w języku FORTRAN 77. W pracy przedstawiono wyniki z prostej symulacji MES wykonanej z wykorzystaniem napisanego programu.

Słowa kluczowe

EN

elasticity tensor; tangent; modulus tensor; material Jacobian; hyperelasticity; stored-energy potential; constitutive equation; finite element method; FEM

PL

tensor sztywności; styczna; tensor modułu; materiał Jacobiego; hiperelastyczność; zmagazynowany potencjał energetyczny; równanie konstytutywne; metoda elementów skończonych; MES (metoda elementów skończonych)

• Wydawca: Komitet Budowy Maszyn PAN
• Czasopismo: Archive of Mechanical Engineering
• Rocznik: 2011
• Tom: Vol. LVIII, nr 3
• Strony: 319--346
• Opis fizyczny: Bibliogr. 25 poz., rys.

Twórcy

autor

Suchocki C.

• Warsaw University of Technology, Institute of Mechanics and Printing, ul. Narbutta 85, 02-524 Warszawa,

Bibliografia

• [1] "ABAQUS Verification Manual", ABAQUS, Inc. Providence, 2008.
• [2] Bonet J., Wood R. D.: "Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis", 1997, Cambridge University Press, Cambridge.
• [3] Bouchart V.: "Experimental study and micromechanical modeling of the behavior and damage of reinforced elastomers", Ph.D. thesis, University of Sciences and Technologies, 2008, Lille.
• [4] Bouvard J. L., Ward D. K., Hossain D., Marin E. B., Bammann D. J., Horstemeyer M. F.: "A general inelastic internal state variable model for amorphous glassy polymers", Acta Mechanica, 213, 2010, pp. 71-96.
• [5] Ciambella J., Destrade M., Ogden R. W.: "On the ABAQUS FEA model of finite viscoelasticity", Rubber Chemistry and Technology, 82, 2, 2009, pp. 184-193.
• [6] Dettmar J.: "A finite element implementation of Mooney-Rivlin's strain energy function in Abaqus", Technical Report, University of Calgary, Department of Civil Engineering, 2000, Calgary.
• [7] Elleuch R., Taktak W.: "Viscoelastic Behavior of HDPE Polymer using Tensile and Compressive Loading", Journal of Materials Engineering and Performance, 15, 1, 2006, pp. 111-116.
• [8] Fung Y. C.: "Foundations of solid mechanics", 1969, PWN, Warsaw (in Polish).
• [9] Holzapfel G. A.: "Nonlinear solid mechanics", 2010 John Wiley & Sons Ltd., New York.
• [10] Jemioło S.: "A study on the hyperelastic properties of isotropic materials", Scientific Surveys Warsaw University of Technology, Building Engineering, 140, OW PW, 2002 Warsaw (in Polish).
• [11] Knowles J. K.: "The finite anti-plane shear field near the tip of a crack for a class of incompressible elastic solids", International Journal of Fracture, 13, 1977, pp. 611-639.
• [12] Knowles J. K.: "On the dissipation associated with equilibrium whocks in finite elasticity" Journal of Elasticity, 9, 1979, pp. 131-158.
• [13] Knowles J. K., Sternberg E.: "Discontinous deformation gradients near the tip of a crack in finite anti-plane shear: an example", Journal of Elasticity, 10, 1980, pp. 81-110.
• [14] Miehe Ch.: "Numerical computation of algorithmic (consistent) tangent moduli in large strain computational inelasticity", Computer methods in applied mechanics and engineering, 134, 1996, pp. 223-240.
• [15] Ogden R. W.: "Non-linear elastic deformations", 1997, Dover Publications, Inc., Mineola, New York.
• [16] Ogden R. W.: "Nonlinear Elasticity with Application to Material Modelling", 2003, Lecture Notes, 6, IPPT PAN, Warsaw.
• [17] Ostrowska-Maciejewska J.: "Mechanics of deformable bodies", 1994, PWN, Warsaw (in Polish).
• [18] Ostrowska-Maciejewska J.: "Foundations and applications of tensor calculus", 2007, IPPT PAN, Warsaw (in Polish).
• [19] Perzyna P.: "Theory of viscoplasticity", 1966, PWN, Warsaw (in Polish).
• [20] Sobieski W.: "GNU Fortran with elements of data visualization", 2008, W UWM, Olsztyn (in Polish).
• [21] Soares J. P.: "Constitutive modeling for biodegradable polymers for application in endovas-cular stents", 2008, Ph.D. thesis, Texas A&M University.
• [22] Soares J. P., Rajagopal K. R., Moore J. E. Jr.: "Deformation-induced hydrolysis of a degradable polymeric cylindrical annulus", 2010, Biomechanics and Modeling in Mechanobiology, 9, pp. 177-186.
• [23] Stein E., Sagar G.: "Convergence behavior of 3D finite elements for Neo-Hookean material", 2008, Engineering Computations: International Journal for Computer-Aided-Engineering and Software, 25(3), pp. 220-232.
• [24] Skalski K., Pawlikowski M., Suchocki C.: "Constitutive equations and functional adaptation of bone tissue", in R. Będziński ed., "Technical Mechanics part XII: Biomechanics", 2011, IPPT PAN, Warsaw (in Polish).
• [25] Weiss J. A.: "A constitutive model and finite element representation for transversely isotropic soft tissues", 1994, Ph.D. thesis, University of Utah, Salt Lake City.