Estimating time steps for the method of finite differences based on verification of the water balance

• Autorzy: Reinhard A.

Warianty tytułu

PL

Wyznaczanie kroków czasowych dla metody różnic skończonych na podstawie sprawdzania bilansu wodnego

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

Two often used methods of averaging hydraulic conductivity, which is a parameter in the differential form of Richards's equation with explicit linearisation, were analysed in the paper. Richards's equation was solved with the method of finite differences and the coefficient of hydraulic conductivity was estimated using arithmetic and geometric mean. Based on checking water balance for the studied filtration area, time steps were selected and evaluated for the adopted spatial step. Calculations revealed that the coefficient of hydraulic conductivity estimated acc. to the relationship describing geometric mean allowed to obtain correct results (convergent and stable) for larger time steps in comparison with that based on algebraic mean. Computer simulation showed also that water balance was the more concordant the smaller time step we adopted for a given spatial step. The time step which provides the convergence and stability of calculation procedures may also guarantees the correct water balance. Therefore, a relationship has been elaborated to calculate the step in a way that water balance is not worse than the accuracy adopted for every step.

PL

Ruch wody w strefie nasyconej i nienasyconej opisuje równanie Richardsa, które powszechnie wykorzystuje się w różnych modelach matematycznych. W modelach tych do rozwiązania zagadnień związanych z ruchem wody w gruncie wykorzystuje się między innymi metodę różnic skończonych. Jak wiadomo, równanie Richardsa jest równaniem różniczkowym cząstkowym nieliniowym i niestacjonarnym. Współczynnik opisujący przewodność hydrauliczną jest wyznaczany, między innymi, ze wzorów uzyskanych na podstawie danych eksperymentalnych, który jako parametr wchodzi do różnicowej postaci równania Richardsa. Podczas poszukiwania wyrażeń przybliżających pochodne cząstkowe powstaje problem doboru możliwie najkorzystniejszego wyznaczenia średniej przewodności hydraulicznej oraz wyboru kroków przestrzennych i czasowych wchodzących w skład tych wyrażeń. W pracy przeanalizowano dwa często stosowane sposoby wyznaczania uśrednionej przewodności hydraulicznej, która jako parametr wchodzi do różnicowej postaci równania Richardsa przy zastosowaniu jawnej linearyzacji. Równanie Richardsa zostało rozwiązane za pomocą metody różnic skończonych, a występujący w schemacie różnicowym współczynnik przewodności hydraulicznej wyznaczono, stosując średnią arytmetyczną i geometryczną. Dokonano także wyboru i oceny kroków czasowych dla przyjętego kroku przestrzennego, na podstawie sprawdzenia bilansu wodnego dla badanego obszaru filtracji. Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że wyznaczenie wartości współczynnika przewodności hydraulicznej wg zależności opisującej średnią geometryczną umożliwia uzyskanie poprawnych wyników (zbieżnych i stabilnych) dla większych kroków czasowych w porównaniu z wykorzystaniem zależności, będącej średnią algebraiczną. Z symulacji komputerowej wynika również, że zgodność wyniku bilansu wodnego jest tym lepsza, im mniejszy krok czasowy zastosujemy dla przyjętego kroku przestrzennego. Ponieważ krok czasowy, który zapewnia zbieżność i stabilność procedury obliczeniowej, gwarantuje również uzyskanie poprawnego bilansu wodnego w badanym obszarze, opracowano zależność, na podstawie której jest on obliczany tak, aby bilans wodny nie był gorszy od przyjętej dokładności dla każdego kroku.

Słowa kluczowe

EN

estimating time steps; finite differences; Richards' equation

PL

równanie Richardsa; metoda różnic skończonych; wyznaczanie kroku czasowego

• Wydawca: Wydawnictwo ITP
• Czasopismo: Journal of Water and Land Development
• Rocznik: 2004
• Tom: no. 8
• Strony: 147--162
• Opis fizyczny: Bibliogr. 9 poz., rys., tab.

Twórcy

autor

Reinhard A.

• Institute of Environmental Management and Protection, Agricultural Academy in Wrocław, 50-363 Wrocław, pl. Grunwaldzki 24

Bibliografia

• 1. BELMANS C, WESSELING J.G., FEDDES R.A., 1983. Simulation model of the water balance of a cropped soil: SWATRE. J. Hydrol. vol. 63: 271-286.
• 2. GENUCHTEN van M.Th., LEU F.J., YATES S.R., 1991. The RETC code for quantifying the hydraulic functions of unsaturated soils. EPA Research Report Nr EPA/600/2-91/065, Washington.
• 3. HORNUNG U., MESSING W., 1984. Porose medien - methoden und simulation. Kirchzarten, Verl. Beitr. zur Hydrologie.
• 4. HUWE B., VAN DER PbOEG R., 1988. Modelle zur simulation des Stickstoffhaushartes von Standorten mil unterschiedlicher landwirtschaftlicher Nutzung. Mitteilungen des Instituts fur Wasserbau der Universitat Stuttgart, Heft 69, Stuttgart.
• 5. REINHARD A., 2001. Regulacja i matematyczne modelowanie ruchu wody w glebie. (Regulation and mathematical modelling of water flow in the soil). Skrypty AR Wroc. nr 462.
• 6. SAMARSKIJ A.A. 1971. Vvedenie v teoriju raznostnych schem. Moskva, Izd. Nauka.
• 7. VAUCLIN M, HAVERKAMP R., VAUCHAUD G., 1979. Resolution numerique d'une equation de diffusion non lineaire. Application a Pinfiltration de 1'eau dans les sols non-satures. Grenoble, Presses Universitaires de Grenoble.
• 8. ZARADNY H., 1978. Boundary conditions in modelling water flow in unsaturated soils. Soil Science Vol. 125 No. 2.
• 9. ZARADNY H., 1977. Modelowanie przepływu wody w strefie niepełnego nasycenia. (Modelling water flow in the zone of incomplete saturation). Rozpr. Hydrotech. z. 37 Gdańsk, PAN Instytut Budownictwa Wodnego.