Discrete approximations of the Hamiltonian-Jacobi equation for an optimal control problem of a differential-algebraic system

• Autorzy: Bonnans J. F. , Chartier P. , Zidani H.

Warianty tytułu

PL

Dyskretne przybliżenia równania Hamiltona-Jacobiego dla zadania sterowania optymalnego układem różniczkowo-algebraicznym

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

This paper discusses the numerical resolution of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation associated with optimal control problem when the state equation is of algebraic differential type. We discuss two numerical schemes. The first reduces to the standard framework, while the second does not suppose any knowledge of the Jacobian of the data. We obtain some error estimates, and display numerical results obtained on a simple test problem.

PL

Artykuł rozpatruje rozwiązanie numeryczne równania Hamiltona-Jacobiego-Bellmana, związanego z zagadnieniem sterowania optymalnego w przypadku, gdy równanie stanu jest algebraiczno-różniczkowe. Rozważane są dwie procedury numeryczne. Pierwsza z nich sprowadza się do postępowania standardowego, podczas gdy druga nie zakłada znajomości Jakobianu danych. Otrzymano pewne oceny błędu, a na końcu artykułu pokazano wyniki numeryczne dla prostego zadania testowego.

Słowa kluczowe

EN

optimal control; differential-algebraic system; Hamilton-Jacobi-Bellman equation; dynamic programming; approximation schemes; finite differences; viscosity solutions

PL

sterowanie optymalne; układ różniczkowo-algebraiczny; równanie Hamiltona-Jacobiego-Bellmana; programowanie dynamiczne; procedury aproksymacji; różnice skończone; rozwiązania lepkościowe

• Wydawca: Systems Research Institute, Polish Academy of Sciences
• Czasopismo: Control and Cybernetics
• Rocznik: 2003
• Tom: Vol. 32, no 1
• Strony: 33--56
• Opis fizyczny: Bibliogr. 14 poz.

Twórcy

autor

Bonnans J. F.

• INRIA, BP 105, 78153 Rocquencourt, France

autor

Chartier P.

• INRIA, Campus de Beaulieu 35042 Rennes, France

autor

Zidani H.

• ENSTA, 32 boulevard Victor, 75739 Paris Cx 15, and Project Sydoco, INRIA, France

Bibliografia

• Krabs W. , Picki S.BARDI , M. and CAPUZZO-DOLCETTA, I. (1997) Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations. Systems and Control: Foundations and Applications. Birkhauser, Boston.
• BARLES, G. (1994) Solutions de viscosite des equations de Hamilton-Jacobi, volume 17 of Mathemati ques et applications. Springer, Paris.
• BARLES, G. and SOUGAN ID IS, P .E. (1991) Convergence of approximation schemes for fully nonlinear second order equations. Asymptotic Analysis, 4, 271 - 283.
• BELLMAN, R. (1961) Dynami c programming. Princeton University Press, Princeton.
• CAMILLI , F. and FALCONE , M. (1999) Approximation of control problems involving ordinary and impulsive controls. ESAIM Control Optim. Calc. Var., 4, 159- 176.
• CRANDALL, M.G. and L ION S, P .-L. (1983) Viscosity solutions of Hamilton Jacobi equations . Bull. American Mathematical Society, 277, 1-42.
• CRANDALL, M.G . and LIONS, P.-L. (1984) Two appr oximations of solutions of Hamilton-Jacobi equations. Mathematics of Computation, 48, 1-19.
• CAPUZZO DOLCETTA, I. (1983) On a discrete approximation of the Hamilton-Jacobi equation of dynamic programming. Applied Mathematics and Optimization. 10, 367- 377.
• CAPUZZO DOLCETTA, I. and ISHII, H . (1984) Approximate solutions of the Bellman equation of deterministic control theory. Appl. Math. Optim., 11, 161-181.
• FALCONE, M . (1987) A numerical approach to the infinite horizon problem of deterministic control theory. Appl. Math. Optim., 15, (1), 1- 13.
• FALCONE, M. and FERRETTI, R. (2002) Semi-Lagrangian schemes for Hamilton-Jacobi equations, discrete representation formulae and Godunov methods. Journal of Computational Physics, 175, 559- 575 .
• HAIRER, E, LUBICH, CH. and ROCHE, M. (1980) The numerical solution of differential-algebraic systems by Runge-Kutta Methods. Lecture Notes In Mathematics. Springer-Verlag.
• KRUZKOV, S.N. (1966) The method of finite differences for a nonlinear equation of the first order with several independent variables. Z. Vycisl. Mat . i Mat. Fiz., 6, 884-894.
• Rouv, E. and TOURIN, A. (1992) A viscosity solution approach to shape-from-shading. SIAM J. on Numerical Analysis, 29, 867-884.