Analytical solution of equation relating maximum size of floating particle and its hydrophobicity

• Autorzy: Watanabe M. , Kowalczuk P. B. , Drzymała J.

Warianty tytułu

PL

Analityczne rozwiązanie równania wiążącego maksymalny rozmiar flotującego ziarna i jego hydrofobowość

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

An analytical form of the equation relating particle hydrophobicity, expressed as the so-called contact angle, and the maximum size of spherical particle able to float with a bubble is presented. The starting equation, which is based on the balance of forces operating at the moment of particle detachment from a bubble, can be solved only numerically. In this paper the third-degree polynomial equation is transformed into an analytical trigonometric function. Although there are several roots of the equation, practically only one is valid for the detachment contact angle calculation.

PL

W pracy została przedstawiona analityczna forma równania wiążącego maksymalny rozmiar flotującego ziarna i jego hydrofobowość, wyrażoną jako kąt zwilżania. Równanie to, zwane fotometrycznym, oparte jest na bilansie sił działających w układzie ziarno-pęcherzyk powietrza-ciecz w momencie zerwania ziarna i do tej pory rozwiązywane było tylko numerycznie. Rozpatrywane równanie fotometryczne, posiadające postać wielomianu trzeciego stopnia, zostało przedstawione jako funkcja trygonometryczna, dla której istnieje tylko jedno rozwiązane.

Słowa kluczowe

EN

flotation; flotometry; contact angle; particle size; cubic equation

PL

flotacja; flotometria; kąt zwilżania; ziarno grube; wielomian; równanie kubiczne

• Wydawca: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej
• Czasopismo: Physicochemical Problems of Mineral Processing
• Rocznik: 2011
• Tom: Vol. 46
• Strony: 13--20
• Opis fizyczny: Bibliogr. 22 poz.

Twórcy

autor

Watanabe M.

autor

Kowalczuk P. B.

autor

Drzymała J.

• 4-28-1 Minami-Sakasai, Kashiwa-shi, Chiba 277-0043, Japan,

Bibliografia

• 1. BEWERSDORFF, J., 2006. Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective. American
• 2. Mathematical Society, Providence, Chap.2.
• 3. BIRKHOFF, G., MAC LANE, S., 1965. A Survey of Modern Algebra, third ed. Macmillan, New York, pp.90–91.
• 4. CHAU, T.T., 2009. A review of techniques for measurement of contact angles and their applicability on mineral surfaces. Miner. Eng. 22, 213–219.
• 5. COX, D.A., 2004. Galois Theory, John Wiley & Sons, Hoboken, Chap.1.
• 6. DICKSON, L.E., 1914. Elementary Theory of Equations, John Wiley & Sons, New York, Chap.3.
• 7. DRZYMALA, J., 1994. Characterization of materials by Hallimond tube flotation. Part 2: maximum size of floating particles and contact angle. Int. J. Miner. Process. 42, 153–167; Erratum, Int. J. Miner. Process. 43, 135.
• 8. DRZYMALA, J., LEKKI, J., 1989. Flotometry — another way of characterizing flotation. J. Colloid Interface Sci. 130, 205–210.
• 9. GONTIJO, C. de F., FORNASIERO, D., RALSTON, J., 2007. The limits of fine and coarse particie flotation. Can. J. Chem. Eng. 85, 739–747.
• 10. HANNIG, R.N., RUTTER, P.R., 1989. A simple method of determining contact angles on particles and their relevance to flotation. Int. J. Miner. Process. 27, 133–146.
• 11. KING, R.B., 1996. Beyond the Quartic Equation, Birkhäuser, Boston, Chap.5.
• 12. KOCH, R., NOWORYTA, A., 1992. Mechanical processing in chemical engineering, WNT Warszawa (in Polish).
• 13. KONOVALOV, S.A., TIKHONOV, O.N., 1982. Flotometric analysis using the variation principle in the regularisation method. Izv. VUZ. Tsvetnaya Metallurgiya 25, No.1, 100–104 (in Russian); English summary, Sov. Non-ferr. Met. Res. 10, 65.
• 14. MITROFANOV, S.I., YATSENKO, N.N., KUROCHKINA, A.V., 1970. Determining the critical inertial forces causing mineral particles to detach from air bubbles. Tsvetnye Metally 43, No.8, 87–89 (In Russian); English translation, Sov. J. Non-ferr. Met. 11, No.8, 85–87.
• 15. MORRIS, R.M., MATTHESIUS, G.A., 1988. Froth flotation of coal fines: The influence of turbulencje on cell performance. J. S. Afr. Inst. Min. Metall. 88, 385–391.
• 16. NGUYEN, A.V, 2003. New method and equations for determining attachment tenacity and particle size limit in flotation. Int. J. Miner. Process. 68, 167–182.
• 17. NGUYEN, A.V., SCHULZE, H.J., 2004. Colloidal Science of Flotation (Surfactant Science Series, vol.118), Marcel Dekker, New York, Part 5: Stability of bubble-particle aggregates, Chap.23–24.
• 18. ROTMAN, J.J., 2000. A First Course in Abstract Algebra, second ed., Prentice Hall, Upper Saddle River, Chap.4.
• 19. ROTMAN, J.J., 2007. Journey into Mathematics: An Introduction to Proofs, Dover Publications, Mineola, Chap.4.
• 20. SCHELUDKO, A., TOSHEV, B.V., BOJADJIEV, D.T., 1976. Attachment of particles to a liquid surface (capillary theory of flotation). J. Chem. Soc. Faraday Trans. I 72, 2815–2828.
• 21. SCHULZE, H.J, 1993. Flotation as a heterocoagulation process: possibilities of calculating the probability of flotation. In: Coagulation and Flocculation. Theory and Applications, B. Dobias (Ed.) Marcel Dekker, New York, pp.321–353.
• 22. TIGNOL, J.-P., 1988. Galois’ Theory of Algebraic Equations, Longman Scientific & Technical, Harlow, Chap.6. USPENSKY, J.V., 1948. Theory of Equations, McGraw-Hill, New York, Chap.5.