One-step 9-stage hermite-birtchoff-taylor ode solver of order 11

• Autorzy: Bozic V. , Przybyło A. , Nguyen-Ba T. , Vaillancourt R.

Warianty tytułu

PL

Jednokrokowa dziewięcioetapowa metoda Hermjta-Birkhoffa-taylora dla rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych rzędu jedenastego

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

A one-step 9-stagc Hermite-Birkhoff-Taylor method of order 11, denoted by HBT(11)9, is constructed for solving nonstiff systems of first-order differential equations of the form y' = f(x,y), y(x0)=y0. The method uses y' and the higher derivatives y(2) to y(5) as in Taylor methods and is combined with a 9-stagc Runge-Kutta method. Forcing a Taylor expansion of the numerical solution to agree with an expansion of the true solution leads to Taylor- and Rimge-Kutta-type order conditions which are reorganized into Vandermonde-type linear systems whose solutions are the coefficients of the method. The new method has larger scaled interval of absolute stability than Dormand-Prince DP(8,7)13M. The stepsize is controlled by means of y(3) and y(5). HBT(11)9 is superior to Dormand-Prince DP(8,7)13M and Taylor method of order 11 in solving several problems often used to test high-order ODE solvers on the basis of the number of steps, CPU time, and maximum global error. These numerical results show the benefits of adding high-order derivatives to Runge-Kutta methods.

PL

Jednokrokowa dziewięcioetapowa metoda Hermita-Birkhoffa-Taylora rzędu 11, oznaczona HBT(I 1)9, służy do rozwiązywania niesztywnych ukiadów równań różniczkowych pierwszego rzędu mających formę y' = f(x,y), y(x0) = y0. W metodzie tej wykorzystuje się zarówno y' jak i wyższe pochodne, od y(2) do y(5}, tak jak w metodach Taylora; jest ona powiązana z metodą Rungego-Kutty 9-tego rzędu. Dobierając współczynniki rozwinięcia Taylora rozwiązania numerycznego przez porównanie z rzeczywistym rozwiązaniem, otrzymuje się zbiór warunków niezbędnych do osiągnięcia zadanego rzędu. Powyższe warunki, zapisane w formie układu równań liniowych typu Vandennonda, dają w rozwiązaniu współczynniki metody. Nowa metoda posiada szerszy przedział bezwzględnej stabilności niż metoda Domianda-Prince'a DP(8,7)13M. Wielkość kroku jest kontrolowana za pomocą pochodnych y(3) i y(5). Metoda HBT(11)9 jest lepsza - rozpatrując liczbę kroków, czas użycia procesora i maksymalny błąd globalny - od metody Dormanda-Prince'a DP(8,7)13M oraz metody Taylora rzędu Il, które są często używane w testowaniu systemów służących do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych wyższego rzędu. Przedstawione rezultaty numeryczne pokazują zalety dodania wyższych pochodnych do metody Rungego-Kutty.

Słowa kluczowe

EN

general linear method for non-stiff ODE's; Hermite-Birkhoff-Taylor method; maximum global error; number of function evaluations; CPU time

PL

ogólna metoda liniowa dla rozwiązywania niesztywnych równań różniczkowych zwyczajnych; metoda Hermita-Birkhoffa-Taylora; maksymalny błąd globalny; liczba ewaluacji funkcji; czas pracy procesora

• Wydawca: Wydawnictwa Uczelniane Politechniki Bydgoskiej im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich
• Czasopismo: Zeszyty Naukowe. Telekomunikacja i Elektronika / Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy
• Rocznik: 2008
• Tom: z. 11
• Strony: 33--52
• Opis fizyczny: Bibliogr. 20 poz.

Twórcy

autor

Bozic V.

autor

Przybyło A.

autor

Nguyen-Ba T.

autor

Vaillancourt R.

• University of Ottawa, Department of Mathematics and Statistics 585 King Edward Ave., Ottawa ON, Kl N 6N6 Canada

Bibliografia

• [1] Arenstorf R.F., 1963: Periodic solutions of the restricted three-body problem representing analytic continuations of Keplerian elliptic motions, Amer. J. Math.,vol. LXXXV, 27-35.
• [2] Barrio R., 2006: Sensitivity analysis of ODEs/DAEs using the Taylor series method. S1AM J. Sc. Comp., vol. 27(6), 1929-1947.
• [3] Barrio R., Blcsa F.. Lara M., 2005: VSVO formulation of the Taylor method for the numerical solution of ODEs, Comput. Math. Applic., vol. 50, 93-111.
• [4] Berntsen J., Espelid T.O., 1991: Error estimation in automatic quadrature routines, ACM Trans. Math. Software, vol. 17, 233-255.
• [5] Corliss G.F., Chang Y.F., 1982: Solving ordinary differential equations using Taylor series, ACM Trans. Math. Software, vol. 8(2). 114-144.
• [6] Davis P.J., Rabinowitz P. 1967: Numerical Integration, Blaisdell, Waltham MA.
• [7] Deprit A., Zahar R.M.W., 1966: Numerical integration of an orbit and its concomitant variations, Z. Angew. Math. Phys.. vol. 17,425-430.
• [8] Hairer E., Norsett S.P., Wanner G., 1993: Solving Ordinary Differential Equations I. Nonsliff Problems, Section III.8, Springer-Verlag, Berlin.
• [9] Hoefkens J., Berz M., Makino K., 2003: Computing validated solutions of implicit differential equations, Adv. Comput. Math., vol. 19, 231-253.
• [10] Hull T.E., Enright W.H., Fellen B.M. and Sedgwick, A. E.: Comparing numerical methods for ordinary differential equations, S1AM J. Numer. Anal., vol. 9 (1972), 603-637.
• [11] Lara M,, Elipe A.. Palacios M., 1999: Automatic programming of recurrent power scries. Math. Comput. Simul., vol. 49. 351-362.
• [12] Nedialkov N.S., Jackson K.R.. Corliss G.F., 1999: Validated solutions of initial value problems for ordinary differential equations, Appl. Math. Comput.. vol. 105, 21-68.
• [13] Nguyen-Ba T., Kcngne E., Vaillancourt R.: One-step 4-stage Hermite-Birkhoff-Taylor ODE Solver of order 12, submitted to Can. Appl. Math. Quarterly,
• [14] Nguyen-Ba T., Bozic V., Kengne E., Vaillancourt R., 2008: One-step 7-stage Hermite-Birkhoff-Taylor ODE Solver of order 13, International J. Pure Appl. Math., vol. 43(4), 569-592.
• [15] Nguyen-Ba T., Bozic V.. Kengne E., Vaillancourt R., 2007: One-step 4-stage Hermite-Birkhoff-Taylor ODE Solver of order 14, Scientific Proceedings of Riga Technical University, vol. 33, 49th issue. 6-25.
• [16] Piessens R., Doncker-Kapenga E., de (jberhuber C.W., Kahaner O.K., 1983:QUADPACK. A subroutine package for automatic integration, Springer Series in Comput. Math., vol. 1.
• [17] Prince P.J., Dormand J.R., 1981: High order embedded Runge-Kutta formulae. J. Comput. Appl. Math., vol. 7(1), 67-75.
• [18] Rabe E., 1961: Determination and survey of periodic Trojan orbits in the restricted problem of three bodies, Astronomical J., vol. 66(9), 500-513.
• [19] Sharp P.W., 1991: Numerical comparison of explicit Runge-Kutta pairs of orders four through eight, ACM Trans. Math. Software, vol. 17. 387-409.
• [20] Sleffensen J.F., 1956: On the restricted problem of three bodies, Danske Vid. Selsk., Mat.-fys. Medd., vol. 30(18), 17 p.