A short survey of recent representation results for linear system maps

• Autorzy: Sandberg I. W.

Warianty tytułu

PL

Przegląd najnowszych wyników otrzymanych w dziedzinie opisu systemów liniowych

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

We give an expression for the most general input-output map assiociated with the members of a certain important of multidimensional linear shift-invariant systems with bounded Lebesgue-measurable inputs. The expression given is an iterated function-space limit of a convolution. We also give a necessary and sufficient condition under which the limit can be written as a convolution with an integrable impulse-response function. A key role is played by a certain family of weighting operators. It is observed that for the large family of inputs and maps addressed, the Dirac impulse-response concept is in fact not the key concept concerning the representation of H, and that instead the input-output properties of H arc determined in general by a certain type of family of responses. Some related material concerning other results, engineering education, and discrete-space systems, is also given.

PL

W artykule zostało przedstawione ogólne wyrażenie opisujące odwzorowanie zbioru sygnałów wejściowych na zbiór sygnałów wyjściowych, związane z elementami pewnej bardzo ważnej, dużej rodziny wielowymiarowych, liniowych oraz stacjonar-nych systemów określonych dla sygnałów wejściowych ograniczonych i mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Wyrażenie to stanowi granicę splotu zdefiniowanego w iterowa-nej przestrzeni funkcyjnej. W pracy został również podany warunek konieczny i do-stateczny, pod którym ww. granica może być przedstawiona jako splot z odpowiedzią impulsową w postaci funkcji całkowalnej. Kluczową rolę pełni w tym przypadku pewna rodzina operatorów wagowych. Pokazano też, że dla dużej rodziny przyjętych zbiorów sygnałów wejściowych i odwzorowań, koncepcja odpowiedzi impulsowej otrzymywanej w wyniku pobudzenia systemu tzw. impulsem Diraca nie jest kluczowa dla opisu systemu H. To znaczy, że zamiast tej koncepcji właściwości systemu H w konwencji wejścia-wyjścia mogą być, w ogólności, określone za pomocą pewnej rodziny odpowiedzi. W artykule przedstawiono również inne pokrewne wyniki, doty-czące systemów dyskretnych oraz aspektów edukacyjnych.

Słowa kluczowe

EN

linear systems; multidimensional systems; impulse responses; shift-invariant systems; bounded measurable inputs; discrete-space systems

PL

systemy liniowe; systemy wielowymiarowe; odpowiedzi impulsowe; systemy stacjonarne; sygnały ograniczone; sygnały mierzalne; systemy dyskretne

• Wydawca: Wydawnictwa Uczelniane Akademii Techniczno-Rolniczej w Bydgoszczy
• Czasopismo: Zeszyty Naukowe. Telekomunikacja i Elektronika / Akademia Techniczno-Rolnicza w Bydgoszczy
• Rocznik: 2006
• Tom: z. 9
• Strony: 9--24
• Opis fizyczny: bibliogr. 28 poz.

Twórcy

autor

Sandberg I. W.

• Department of Electrical and Computer Engineering, The University of Texas at Austin, USA

Bibliografia

• [1] G, Bachman and L. Narici, Functional Analysis, New York: Academic Press, 1966.
• [2] W. J. Borodziewicz, K. J. Jaszczak, and M. A. Kowalski, "A Note on Mathematical Formulation of Discrete-Time Linear Systems," Signal Processing, vol. 5, pp. 369-375, 1983.
• [3] W. Cheney and W. Light, A Course in Approximation Theory, Pacific Grove: Brooks/Cole, 2000.
• [4] R. E. Edwards, Functional Analysis^ New York: Dover, 1995.
• [5] E. Hille and R. S. Phillips, Functional Analysis and Semi-Groups, Providence: American Mathematical Society, 1957.
• [6] P. Hughett, "Representation Theorems for Semilocal and Bounded Linear Shift-Invariant Operators on Sequences," Signal Processing, vol. 67, pp. 199-209, 1998.
• [7] M. J. Lighthill, Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions, Cambridge: Cambridge University Press, 1960.
• [8] J. E. Marsden, Elementary Classical Analysis, New York: W. H. Freeman and Company, 1974,
• [9] A. V. Oppenheim, R. W. Shafer, and J. R. Buck, Discrete-Time Signal Processing (Second Edition), Upper Saddle River: Prentice Hall, 1999.
• [10] B. E. Petersen, Introduction to the Fourier Transform and Pseudo-Differential Operators, Pitman Publishing Inc., Marshfield, Massachusetts: 1983.
• [11] I. W. Sandberg, "A Representation Theorem for Linear Discrete-Space Systems," Mathematical Problems in Engineering, vol. 4, pp. 369-375, 1998.
• [12] I. W. Sandberg, "Multidimensional Nonlinear Myopic Maps, Volterra Series, and Uniform Neural-Network Approximations," pp. 99-128 in D. Docarapo, A. Figueiras-Vidal, and F, Perez-Gonzalez (eds.), Intelligent Methods in Signal Processing and Communications, Boston: Birkhauser, 1997.
• [13] I. W. Sandberg, J. T. Lo, C. Francourt, J. Principe, S. Katagiri, and S. Haykin Nonlinear Dynamical Systems: Feedforward Neural Network Perspectives, New York: John Wiley, 2001.
• [14] I. W. Sandberg, "Causality and the Impulse Response Scandal," IEEE Transactions on Circuits and Systems I, vol. 50, no. 6., pp. 810-811, 2003.
• [15] I. W. Sandberg, "On Causality and the Impulse Response Scandal," WSEAS Transactions on Circuits and Systems, vol. 3, no. 9, pp. 1741-1744, 2004.
• [16] I. W. Sandberg, "Notes on Representation Theorems for Linear Discrete Space Systems," Proceedings of the International Symposium on Circuits and Systems, Orlando, Florida, May 30-June 2, 1999 (four pages on CD).
• [17] I. W. Sandberg, "Notes on Linear Systems arid Impulse Responses," Circuits, Systems and Signal Processing, vol. 23, no. 5, pp. 339-350, 2004.
• [18] I. W. Sandberg, "Notes on Multidimensional Linear System Representations," 38th Annual Conference on Information Sciences and Systems, Department of Electrical Engineering, Princeton University, Princeton, NJ, pp. 801-806, March 2004.
• [19] I. W. Sandberg, "On the Representation of Linear System Maps: Inputs that Need Not be Continuous," Proceedings of the 6th WSEAS International Conference on Applied Mathematics, Corfu Island, Greece, August 17-19, 2004 (five pages on CD).
• [20] I. W. Sandberg, "Bounded Inputs and the Representation of Linear System Maps," Circuits, Systems, and Signal Processing, vol. 24, no. 1, pp. 103-115, 2005.
• [21] I. W. Sandberg, "On the Representation of Linear System Maps: Bounded Inputs," Proceedings of the 6th WSEAS International Conference on Applied Mathematics," Corfu Island, Greece, August 17-19, 2004 (six pages on CD).
• [22] I. W. Sandberg, "Continuous Multidimensional Systems and the Impulse Response Scandal," Multidimensional Systems and Signal Processing, 15, pp. 295-299, 2004.
• [23] I. W. Sandberg, "The Superposition Scandal," Circuits, Systems, and Signal Processing, vol. 17, no. 6, pp. 733-735, 1998.
• [24] I. W. Sandberg, "On the Representation of Shift-Varying Linear System Maps," Circuits, Systems, and Signal Processing, 2006 (to appear).
• [25] I. W. Sandberg, "A Note on Representation Theorems for Linear Discrete Space Systems with Stochastic Inputs," International Journal of Circuit Theory and Applications, vol. 29, pp. 505-509, 2001.
• [26] I. W. Sandberg, "Linear Shift-Invariant Input-Output Maps Do Not Necessarily Commute," International Journal of Circuit Theory and Applications, vol. 28, pp. 513-518, 2000.
• [27] I. W. Sandberg, "Notes on Linear Systems and Frequency Responses," International Journal of Circuit Theory and Applications, vol. 33, pp. 175-181, 2005.
• [28] A. H. Zemanian, Distribution Theory and Transform Analysis, Mineola, NY: Dover, 1987. Originally published: New York, McGraw-Hill, 1965 (International Series in Pure and Applied Mathematics).