Analiza błędu rozwiązania numerycznego problemu brzegowo-początkowego w nieskończonym układzie cylindrycznym

• Autorzy: Ziemba A.

Warianty tytułu

EN

Error analysis of numerical solution of initial-boundary problem in infinite cylindrical system

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Jednym z podstawowych problemów numerycznego rozwiązywania modelu matematycznego procesu fizycznego jest określenie dokładności otrzymanych wyników. Schematy numeryczne, bezwarunkowo stabilne i zbieżne w przestrzeni liczb rzeczywistych, w zbiorze liczb zmiennoprzecinkowych mogą okazać się niestabilne i niezbieżne. W skrajnych przypadkach obliczenia mogą stać się niewykonalne lub prowadzić do rozwiązania wirtualnego problemu numerycznego. Analiza błędu rozwiązania numerycznego może pozwolić na otrzymywanie wyników o kontrolowanej dokładności i określanie optymalnych wartości parametrów numerycznych schematu i modelu. W artykule zaproponowano przykład analizy błędu rozwiązania numerycznego i wykazano jej przydatność w rozwiązywaniu problemu brzegowo-początkowego w nieskończonym układzie cylindrycznym z wewnętrznym źródłem ciepła, mającego zastosowanie m.in. przy obliczeniach wymienników ciepła, wymiany ciepła w prętach i rurach w procesach przeróbki plastycznej, wymiany ciepła przy ciągłym odlewie metali i stopów. Wykazano zależność pomiędzy parametrami schematu numerycznego, zapewniającą otrzymanie poprawnego rozwiązania w zbiorze liczb zmiennoprzecinkowych.

EN

One of the fundamental problems in numerical solution of a mathematical model of physical process is determination of the results accuracy. The unconditional convergence and stability of numerical schemes are usually confirmed in real number system, which is an abstract mathematical concept. Computations are realized in the floating-point numbers system, which is imperfect discrete representation of the real number system in computer’s memory. The basic properties of real numbers do not suit sufficiently to the basic properties of floating-point numbers, what could be a result of the computational errors, causing the improper solution. In extreme situation the choice of wrong computational parameters cannot give the solution or leads to the solution of virtual numerical problem. Solution obtained in such a way could still be taken as a proper one, because sometimes it is difficult to distinguish difference between the real and virtual solutions. The error analysis, a set of numerical solution methods, can give the results of controlled accuracy and can help to determine the optimal values of parameters of numerical schema and mathematical model. Error analysis is too difficult to be automated, but it is possible with numerical experiment. In this paper the error analysis is proposed and its usefulness is indicated for the initial-boundary problem of heat transfer, with inner heat source, in cylindrical coordinates system. Such system can be found, inter alia, in the analysis of heat exchangers, heat transfer in rods and tubes in the plastic deforming processes, heat transfer during the process of continuous casting of metals and alloys. The importance of the error analysis is emphasized. Relation between parameters of numerical schema, which ensures proper solution in floating-point numbers system, is stated.

Słowa kluczowe

PL

analiza błędu; dokładność; problem brzegowo-początkowy

EN

error analysis; accuracy; initial-boundary problem

• Wydawca: Wydawnictwo SIGMA-NOT
• Czasopismo: Rudy i Metale Nieżelazne
• Rocznik: 2007
• Tom: R. 52, nr 9
• Strony: 549--554
• Opis fizyczny: Bibliogr. 9 poz., wykr.

Twórcy

autor

Ziemba A.

• Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział Metali Nieżelaznych, Kraków

Bibliografia

• 1. User Notes on FORTRAN Programming. ftp://vms.huji.ac.il/ /fortran/unfp.html.
• 2. Kahan W., Darcy J. D.: How Java’s Floating-Point Hurts Everyone Everywhere, http://www.cs. berkeley.edu/~wkahan/ /JAVAhurt.pdf.
• 3. Kahan W., Yvory M. Y.: Roundoff Degrades an Idealized Cantilever, http://http.cs.berkeley.edu/ ~wkahan/Cantilever.pdf.
• 4. Gerald C. F., Wheatley P. O.: Applied Numerical Analysis, 5th ed. Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massa-chusetts... 1994.
• 5. Őzisik M. N.: Finite Difference Methods in Heat Transfer. CRC Press, Boca Raton 1994.
• 6. Pang T.: Metody obliczeniowe w fizyce. Fizyka i komputery, PWN, Warszawa 2001.
• 7. Ziemba A., Kolenda Z.: Pole temperatury w układach do przechowywania zużytych prętów z reaktorów jądrowych. XVIII Zjazd Termodynamików, Muszyna-Złockie, 2002, Materiały, s. 1387÷1394.
• 8. Ziemba A.: Wpływ komputerowej reprezentacji liczb rzeczywistych na zbieżność i stabilność rozwiązania numerycznego na przykładzie schematu CRANKa-NICOLSONa. Konferencja „Teoria i Inżynieria Procesów Metalurgicznych”, Kraków, 10÷12 czerwca 2003, Materiały, s. 429÷442.
• 9. Ziemba, A.: Komputerowe kryterium zbieżności i stabilności schematu numerycznego. XII Sympozjum Wymiany Ciepła i Masy, Kraków, 15÷18 czerwca 2004, Materiały, s. 921÷933.