Bounds on eigenvalues of convex combination of symmetrizable matrices

• Autorzy: Kowynia J.

Warianty tytułu

PL

Majoryzacja wartości własnych wypukłej kombinacji macierzy symetryzowalnych

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

In this paper we establish connections between simple matrices and matrices symmetrizable by a diagonal matrix. We show that any real matrix, symmetrizable by a diagonal matrix is simple. This result is a generalization of the well known fact that symmetric matrix is simple. Later in this paper we define convex combination of two matrices A1, A2 symmetrizable by diagonal matrices K1, K2 respectively and then we propose bounds on eigenvalues of this combination. These bounds depend on elements of matrices K1, K2 and eigenvalues of matrices A1, A2 only. In the final part of this paper we announce properties of eigenvalues of convex combiantion of matrices A, D when A is symmetrizable by a diagonal matrix and D is a negative definite diagonal matrix. In this case we show that such a combination is Hurwitz stable if and only if matrix A is Hurwitz stable.

PL

W pracy przedstawiono związki pomiędzy macierzami prostymi i macierzami symetryzowalnymi przez macierz diagonalną. Wykazano, że macierz rzeczywista symetryzowalna przez macierz diagonalną jest macierzą prostą. Rezultat ten stanowi uogólnienie znanego faktu, że macierz symetryczna jest prosta. W dalszej części pracy zdefiniowano wypukłą kombinację macierzy A1, A2 symetryzowalnych odpowiednio przez diagonalne macierze K1, K2 oraz podano majoryzację dla wartości własnych tej kombinacji. Majoryzacja ta zależy jedynie od elementów macierzy K1, K2 oraz od wartości własnych macierzy A1, A2. W zakończeniu przedstawiono własności wartości własnych kombinacji wypukłej macierzy A symetryzowalnej przez diagonalną i macierzy diagonalnej D o elementach ujemnych. Wykazano, że taka kombinacja jest stabilna w sensie Hurwitza wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest stablina w sensie Hurwitza.

Słowa kluczowe

EN

matrix; symmetrizable matrix; symmetric matrix; diagonal matrix; simple matrix; convex combination of matrix; bounds of eigenvalues; eigenvalue

PL

macierz; macierz symetryzowalna; macierz symetryczna; macierz diagonalna; macierz prosta; kombinacja wypukła macierzy; majoryzacja wartości własnych; wartość własna

• Wydawca: AGH University of Science and Technology Press
• Czasopismo: Opuscula Mathematica
• Rocznik: 2001
• Tom: Vol. 21
• Strony: 59--64
• Opis fizyczny: Bibliogr. 3 poz.

Twórcy

autor

Kowynia J.

• Akademia Górniczo-Hutnicza im. S. Staszica w Krakowie, Wydział Matematyki Stosowanej

Bibliografia

• [1] Lancaster P.: Theory of Matrices. New York and London, Academic Press 1969
• [2] Białas S.: A Generalization of the Criterion that a Quadratic Form is Positive Definite. Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences, 43, No. 3 (1995), 397-400
• [3] Fiedler M.: Special matrices and their applications in numerical mathematics. Prague, Martinus Nijhoff Publishers 1986