Numerical model for dendrite growth - application of the Rank Controlled Differential Quadrature method

• Autorzy: Żak P. L. , Suchy J. S.

Warianty tytułu

PL

Numeryczny model wzrostu dendrytu - zastosowanie metody kwadratur różniczkowych sterowanego rzędu

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

Rank Controlled Differential Quadrature (RCDQ) is an innovative method for numerical approximation of problems described by Partial Differential Equations (PDEs). In this paper the authors apply the RCDQ for the numerical simulation of a simplified model for dendrite growth during Al-Ti alloy crystallization. The authors put most concern on building an accurate numerical model for this phenomenon. In the simplified model the symmetry and flux on boundary condition appears. Additionally, dendrite tip growth into adjacent liquid change the computation domain size, what indicates a need for node coordinate recalculation during each new time step. The authors analyze the results of numerical modelling of alloying element concentration and dendrite growth rate. The modelling results shows that the RCDQ method can be used for modelling problems with moving grid and that the method approximation proposed by the authors is proper.

PL

Metoda kwadratur różniczkowych sterowanego rzędu (KRSR) jest innowacyjną metodą numeryczną, która znajduje zastosowanie podczas rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych (RRCz). Autorzy stosują metodę KRSR do numerycznej symulacji wzrostu dendrytu podczas krystalizacji stopu dwuskładnikowego Al-Ti. Szczególną uwagę zwrócono na budowę dokładnego modelu numerycznego opisującego analizowane zjawisko. W modelu matematycznym pojawia się warunek brzegowy symetrii oraz warunek opisujący strumień masy na brzegu dziedziny. Wierzchołek dendrytu rośnie w kierunku otaczającej cieczy. Skutkuje to zmianą rozmiaru dziedziny obliczeniowej. Po realizacji obliczeń w każdym kroku czasowym współrzędne punktów dyskretnych muszą być wyznaczane ponownie. Wyniki modelowania pozwalają na stwierdzenie, iż metoda KRSR może być stosowana do rozwiązywania problemów z ruchomą siatką dyskretną, a metoda aproksymacji poszczególnych pochodnych w RRCz, zaproponowana przez autorów, prowadzi do rozwiązań wysokiej dokładności.

Słowa kluczowe

EN

numerical modelling; rank controlled differential quadrature; dendrite growth; moving grid problem; crystallization

PL

model numeryczny; kwadratura różniczkowa sterowanego rzędu; wzrost dendrytu; problem ruchomej siatki; krystalizacja

• Wydawca: AGH University of Science and Technology Press
• Czasopismo: Metallurgy and Foundry Engineering
• Rocznik: 2012
• Tom: Vol. 38, no. 1
• Strony: 55--65
• Opis fizyczny: Bibliogr. 23 poz., tab., wykr.

Twórcy

autor

Żak P. L.

• AGH University of Science and Technology, Faculty of Foundry Engineering, Krakow, Poland

autor

Suchy J. S.

• AGH University of Science and Technology, Faculty of Foundry Engineering, Krakow, Poland

Bibliografia

• [1] Piwowarski G, Krajewski W.K., Lelito J:. Optimization of casting techmology of the pressure die cast AZ91D Mg-based alloy, Metallurgy and Foundry Engineering, 36 (2010) 2, 105-111
• [2] Szucki M., Suchy J.S., Żak R, Lelito J., Gracz B. Extended free surface flow model based on the lattice Boltzman approach, Metallurgy and Foundry Engineering, 36 (2010) 2, 113-121
• [3] Gracz B., Lelito J., Krajewski W.K., Suchy J.S., Szucki M. Statistical analysis of SiC addition on heterogeneous nucleation of a-Mg primary phase in the AZ91/SiC composite, Metallurgy and Foundry Engineering, 36 (2010) 2, 123-130
• [4] Żak P.L., Lelito J., Krajewski W.K., Suchy J.S., Gracz B., Szucki M. Model of dendrite growth in metallic alloys, Metallurgy and Foundry Engineering, 36 (2010) 2, 131-135
• [5] Dahle A.K., Arnberg L. On the assumption of an additive effect of solute elements in dendrite growth, Materials Science and Engineering, A225 (1997), 38-46
• [6] Maxwell ., Hellawell A.: A simple model for refinement during solidification, Acta Metallurgica, 23 (1975), 229-237
• [7] Rappaz M., Thevoz P.H.: Solute diffusion model for equiaxed dendritic growth, Acta Materialia, 35 (1987), 1487-1497
• [8] Kapturkiewicz W., Fras E., Burbelko A.: Computer simulation of the austenitizing process in cast iron with pearlitic matrix, Materials Science and Engineering A., 19 (2005), 1653-1659
• [9] Bellman R.E., Casti J.: Differential quadrature and long-term integration, J. Math. Anal. Apply, 34 (1971), 235-238
• [10] Bellman R.E., Kashef B.G., Casti J.: Differential quadrature: A Technique for the Rapid Solution of Nonlinear Partial Differential Equations, Journal of Computational Physics, 10 (1972), 40-52
• [11] Quan J.R., Chang C.T.: New insights in solving distributed system equations by the quadrature methods - I, Comput. Chem. Engrg., 13 (1989), 779-788
• [12] Quan J.R., Chang C.T.: New insights in solving distributed system equations by the quadrature methods - II, Comput. Chem. Engrg., 13 (1989), 1017-1024
• [13] Shu C, Chew Y.T.: On the equivalence of generalized differential quadrature and highest order finite difference scheme, Computer methods in applied mechanics and engineering, 155 (1998), 249-260
• [14] Żak PL.: Differential Quadrature method application to computer simulation of heat transfer and solidification processes [in Polish], AGH University of Science and Technology, Faculty of Foundry Engineering, Kraków (2012) PhD thesis [in press]
• [15] Vertesi P.: Optimal Lebesgue constants for Lagrange interpolation, SIAM Journal on Numerical Analysis, 27 (1990), 1322-1331
• [16] Faber G. Uber die interpolatorische Darstellung stetiger Funktionen, Jahresber der Deutschen Math., 23 (1914), 192-210
• [17] Żak P., Lelito J., Suchy J.S., Krajewski W.K.: Improving the heat transfer numerical solution accuracy with application of Rank Controlled Differential Quadrature Method [Poprawa dokładności przybliżonego rozwiązania problemu transportu ciepła poprzez zastosowanie metody kwadratur różniczkowych sterowanego rzędu] (in Polish), Kraków: Komitet Metalurgii PAN, (2010), 278-285
• [18] Burden M.H., Hunt J.D.: Cellular and dendritic growth II, Journal of Crystal Growth, 22 (1974), 109-116
• [19] Greer A.L., Bunn A.M., Tronche A., Evans P.V., Bristow D.J.: Modelling of inaculation of metallic melts: Application to grain refinement of aluminium by Al-Ti-B, Acta Materialia, 48 (2000), 2823-2835
• [20] Brandes E.A. (ed.) Smithless Metals Reference Book, 6th edition. London: Butterworths, (1983)
• [21] Kurz W., Fisher D. Fundamentals of Solidification, 3rd edn. Laussane, Switzerland: Trans Tech. Publications, (1992)
• [22] Massalski T.B. (ed.): Binary Alloy Phase Diagrams, 2nd edn.: ASM International Materials Park, (1990)
• [23] Quested T.E., Greer A.L.: Grain refinement of Al alloys: Mechanisms determining as-cast grain size in directional solidification, Acta Materialia, 53 (2005), 4643-4653