PL EN


Preferencje help
Widoczny [Schowaj] Abstrakt
Liczba wyników
Tytuł artykułu

Numerical evaluation of variable - fractional-order derivatives

Treść / Zawartość
Identyfikatory
Warianty tytułu
PL
Ocena numerycznego obliczania zmiennych pochodno-całek ułamkowych rzędów
Języki publikacji
EN
Abstrakty
EN
In this paper we discuss the methods of calculating fractional-order derivatives (FOD) and integrals (FOI), which also can be used to calculate integer order derivatives and integrals. We focus on one of the methods - Riemann-Liouville formula. To calculate FOD/FOI by this method we need tools. The tools in this case were advanced methods of numerical integration. We have chosen a function which is often used in technical applications. The order of derivative to calculate was variable - designated by a function of time. Our goal was to determine which of the methods of numerical integration - Newton-Cotes or Gauss Quadratures allows to obtain the values with lowest level of absolute errors by the smallest number of sample points. As a point reference served the values of absolute error of the values calculated by using the Grunwald-Letnikov formula.
PL
Tematem niniejszego artykułu są numeryczne metody obliczania pochodno-całek ułamkowych rzędów (FOD/FOI), które mogą być również użyte do obliczania wartości klasycznych pochodnych i całek oznaczonych całkowitych rzędów. Główny temat niniejszej pracy to metoda Reimanna-Liouvilla. By ją móc stosować, konieczne są narzędzia w postaci programów całkujących numerycznie. Do testów wybrana została funkcja często używana w zastosowaniach technicznych. Rzędy obliczanych pochodno-całek były zmienne, wyznaczone przez funkcję zmienną w czasie. Celem autorów było stwierdzenie, które z metod całkowania numerycznego - wybrane kwadratury Newtona-Cotesa czy wybrane kwadratury Gaussa - pozwolą na uzyskanie obliczanych wartości z najmniejszym błędem bezwzględnym stosując jak najmniejszą ilość punktów próbkowania (które mogą być kosztowne). Punktem odniesienia były wartości błędów uzyskane za pomocą popularnej w zastosowaniach technicznych metody Grunwalda-Letnikova.
Wydawca
Rocznik
Strony
431--441
Opis fizyczny
Bibliogr. 34 poz., rys., wykr., tab.
Twórcy
autor
  • Computer Engineering Department, Technical University of Lodz, Poland
  • Computer Engineering Department, Technical University of Lodz, Poland
Bibliografia
  • [1] Burden R.L., Faires J.D., Numerical Analysis. 5th ed., Brooks/Cole Cengage Learning, Boston, 2003.
  • [2] Carpinteri F., Mainardi A. (editors), Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. Springer Verlag, Wien and New York 1997.
  • [3] Chen Y.Q, Vinagre B.M., Podlubny I., ContinuedFraction Expansion Approaches to Discretizing Fractional Order Derivatives - an Expository Review. Nonlinear Dynamics 38. Kluwer Academic Publishers, 2004, 155-170.
  • [4] Deng W., Short memory principle and a predictor-corrector approach for fractional differential eąuations. Journal of Computational and Applied Mathematics 206, 2007, 174-188.
  • [5] Desmarais R.N., Programs For Computing Abscissas and Weights For Classicaland Nonclassical Gaussian Quadrature Formulas. NASA Technical Notę, NASA TN D-7924, NASA, Washington D.C., O5.0ctober 1975.
  • [6] Diethelm K., An algorithm for the numerical solution of differential eąuations of fractional order. Electronic Transactions on Numerical Analysis, vol. 5, March 1997, 1-6.
  • [7] Gorenilo R., Fractional Calculus: Some Numerical Methods, CISM Courses and Lectures. Vol. 378, 2001, 277-290.
  • [8] Kahaner D., Moler C, Nash S., Numerical Methods And Software. Prentice Hall, 1989.
  • [9] Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J., Theory and Applications of Fractional Differential Eąuations. North-Holland Mathematics Studies 204, Elsevier, 2006.
  • [10] Krommer R.A., Ueberhuber Ch.W., Computational Integration. SIAM, Philadelphia, 1986.
  • [11] Krylov V.L, Priblizhennoe vychislenie integralov. 2e izd. Nauka, 1967.
  • [12] Kythe P.K., Schaferkotter M.R., Handbook of Computational Methods For Integration. Chapman & Hall/CRC, 2005.
  • [13] Love C.H., Abscissas and Weights for Gaussian Quadrature For N=2 to 100, and N=125, 150, 175, 200. United States Department Of Commerce, National Bureau of Standards Monograph 98 (issued December 28, 1966).
  • [14] Lubich C.H., Discretized fractional calculus. SIAM Journal of Mathematical Analysis, vol. 17, 1986, 704-719.
  • [15] Machado J.A.T., Discrete-time fractional-order controllers. FCAA Journal, vol. 1, 2001, 47-66.
  • [16] Mayoral L., Testing for fractional integration versus short memory with trends and structural breaks. Dept. of Economics and Business, Universidad Pompeu Fabra, 2006.
  • [17] Michalski M.W., Derivatives ofnoninteger order and their applications. Dissertationes Mathematicae, CCCXXVIII, Inst. Math. Polish Acad. Sci., Warsaw 1993.
  • [18] Miller K.S.,Ross B., An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. John Wiley & Sons Inc., New York, USA, 1993.
  • [19] Nishimoto K., Fractional Calculus. Integration and Differentiation of Arbitrary Order. Tom I —IV, 1984, 1989, 1991, 1996, Descartes Press, Koriyama.
  • [20] Oldham K.B., Spanier J., The Fractional Calculus. Academic Press, New York 1974.
  • [21] Ostalczyk P., The time-varying fractional order difference eąuations. Proceedings of DETC'03, ASME 2003 Design Engineering Technical Conference & Computers and Information in Engine-ering Conference, Chicago, USA, 2003, 1-9.
  • [22] Ostalczyk R, The linear fractional-order discrete-time system description. Proceedings of the 9th IEEE International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics, MMAR 2002, Międzyzdroje, T.I, 2003, 429-434.
  • [23] Ostalczyk R, Discrete-Yariable Functions. A Series of Monographs No 1018, Technical University of Łódź, Poland, 2001.
  • [24] Ostalczyk R, The non-integer difference of the discrete-time function and its application to the control system synthesis. International Journal of System Science, vol. 31, No. 12, 2000, 1551-1561.
  • [25] Oustaloup A., La derivation non entiere, Editions Hermes. Paris, France, 1995.
  • [26] Oustaloup A., Systemes Assen/is Linearies d'Ordre Fractionnaire. Masson, Paris 1984.
  • [27] Oustaloup A., Cois O., Lelay L., Representation et Identification par modele non entire. Hermes, 2005.
  • [28] Podlubny I., Fractional differential eąuations. Academic Press, San Diego, USA, 1999.
  • [29] Sabatier J., Agrawal O.R, Machado T.J.A. (Eds.), Advances in Fractional Calculus. Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering. Springer Verlag, 2007.
  • [30] Samko S., Kilbas A., Marichev O., Fractional Integrals and derivatives: Theory and Applications. Gordon and Breach, London, 1993.
  • [31] Schmidt R, Amsler C, Test ofshort memory with trick tailed errors. Michigan State University, 1999.
  • [32] Stroud A.H., Secrest D., Gaussian Quadrature Formulas. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ., 1966.
  • [33] Taylor J.R., An Introduction to Error Analysis. The Study of Uncertainties in Physical Measurements. 2nd ed., University Science Books (1996).
  • [34] Tuan V.K., Gorenflo R., Extrapolation to the limit for numerical fractional differentiation. Zeitschrift Angew. Math. Mech., 75, No. 8, 1995, 646-648.
Typ dokumentu
Bibliografia
Identyfikator YADDA
bwmeta1.element.baztech-article-AGH1-0028-0121
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce internetowej. Włącz go, a następnie odśwież stronę, aby móc w pełni z niej korzystać.