Quantum mathematics: holonomic computing algorithms and their applications. Pt. 2

• Autorzy: Prykarpatsky A.K. , Taneri U. , Blackmore D.L.

Warianty tytułu

PL

Matematyka kwantowa: holonomiczne algorytmy komputerowe i ich zastosowania. Cz. 2

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The article continues a presentation of modern quantum mathematics backgrounds started in [1]. A general approach to quantum holonomic computing based on geometric and Lie-algebraic structures on Grassmann manifolds and related with them Lax type flows is proposed. Making use of the differential geometric techniques like momentum mapping reduction, central extension and connection theory on Stiefel bundles it is shown that the associated holonomy groups properly realizing quantum computations can be effectively found concerning their application in diverse practical problems.

PL

Artykuł kontynuuje przedstawienie nowoczesnych podstaw matematyki kwantowej zaczęte w pracy [1]. Zaproponowane ogólne podejście do obliczeń kwantowo-holonomicznych bazowane na geometrycznych i Lie-algebraicznych strukturach na rozmaitościach Grassmanna oraz skojarzonych z nimi potoków typu Laxa. Korzystając z różniczkowo-geometrycznych metod, w tym odwzorowania pędu, rozszerzenia centralnego i teorii koneksji na wiązkach Stiefela pokazano, że skojarzone grupy holonomii, właściwie realizujące obliczenia kwantowe, mogą być efektywnie znalezione stosownie do ich zastosowań do wielu zagadnień praktycznych.

Słowa kluczowe

EN

quantum mathematics; holonomic computing algorithms

PL

matematyka kwantowa; holonomiczne algorytmy komputerowe

• Wydawca: Wydawnictwa AGH
• Czasopismo: Automatyka / Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie
• Rocznik: 2004
• Tom: T. 8, z. 1
• Strony: 43--65
• Opis fizyczny: Bibliogr. 26 poz.

Twórcy

autor

Prykarpatsky A.K.

• Dept. of Applied Mathematics, University of Krakow, Poland

autor

Taneri U.

• Dept. of Mathematics at the Eastern Mediterranean University, Famagusta, Northern Cyprus

autor

Blackmore D.L.

• Dept. of Mathematical Sciences at the NJIT, University Heights, Newark, NJ, 07-102 USA

Bibliografia

• [1] Prykarpatsky A.K.: Matematyka kwantowa: podstawy i zastosowania w teorii układów dynamicznych, część 1. Półrocznik AGH Automatyka, t. 6, z. 1, 202, 2002
• [2] Wells R.O.: Differential analysis on complex manifolds. NY, Prentice-Hall Inc. 1973
• [3] Rajeev S.G., Kalyana R.S., Siddhartha S.: Symplectic manifolds, coherent states and semiclassical approximation. J. Math. Phys., 35 (5), 1994, 2259-2269
• [4] Abrahani R., Marsden J.: Foundation ofmechanics. Masachusets, The Benjamin/Cummings Publ. Co 1978
• [5] Bloch A.M.: Lax typeffows on Grassmann mamfolds. Contemporary Mathem., 68, 1987, 39-50
• [6] Bloch A.M.: A completely integrable Hamiltonian systems associated with line fitting in complex vector space. Bull. AMS., 12, 1985, 250-256
• [7] Faddeev L.D., Takhtadjan L.A.: Hamiltonian approach in the soliton theory. NY, Springer 19
• [8] Magri F.: On the geometry of soliton equations. Acta Applicandae Mathomaticae. 41, 1 247-270
• [9] Adams M.R., Harnard J., Hartubise J.: Dual momentum maps into loop algebras. Lett. M Phys., 20, 1990
• [10] Rejman A.G., Semenov-Tian-Shansky M.A.: Redyction of Hamiltonian systems, affine Lie algebras and Lax equations, parts 1, 2. Inv. Mathem., 54, 1979, 81-100; 63, 1981, 423-432
• [11] Prykarpatsky A.K., Mykytiuk LV.: Algebraic integrability of nonlinear dynamical systems manifolds.classical and quantum aspects. Kluwer, the Netherlands, 1998
• [12] Dittmann J., Rudolph G.: On a connection governing transport along (2+2)-density matrices. J. Geometry and Physics., 10, 1992, 93-106
• [13] Chruściński D., Jamiołkowski A.: Faza geometryczna: teoria i zastosowania. Toruń, Nicolai Copernicus University Publisher 1996
• [14] Uhlmann A.: Parallel transport and "quantum " holonomy along density operators. Rep. Math. Physics., 24, 1986, 229-240
• [15] Olmo del M.A., Rodrigues M.A., Winternitz R: Integrable systems based on SU(p,q) homogeneous manifold. Report CRM-1834, Universite de Montreal QC, Canada Sept. 1992
• [ 16] Sato M.: Soliton equations as dynamical systems on infinite - dimensional Grassmann manifolds. RIMS Kokyuroku, 439, 1981, 30-40
• [17] Prykarpatsky A.K.., Blackmore D.L., Hentosh O.Y.: The finite dimensional Moser type reductions of modified Boussinesą and super Korteweg de Vries Hamiltonian systems via gradient holonomic algorithm and dual moment maps. New Frontiers in Physics, Proc. of Intern. Conf. at the Institute for Basic Res., Monteroduni, Italy, T.L. Gili ((Ed.), Hadronic Press, vol. 11, 1996, 271-292
• [18] Hazewinkel M.: Riccati and soliton equations. Report AMPR-9103, CWI, Amsterdam, The Netherlands, March 1995
• [19] Blackmore D.L., Prykarpatsky Y.A., Samulyak R.V.: The integrability. of Lie-invariant geometic objects generated by Ideals in Garssmann algebras. J of Nonl. Math. Phys., 5, 1998, 54
• [20] Fujii K.: More on Optical Holonomic Quantum Computer, arXiv:quantph/0005129. 31 May 2000; From geometry to Quantum computation, quant,-ph/0107128, 26 May 2001
• [21] Rieffel E., Polak W.: An introduction to Quantum Computing for for Non-Physicists. xxxlanl archive: quant-ph/9809016
• [22] Zanardi P. Rasetti M.: Holonomic Quantum Computation, Phys. Lett, A 264 (1999). 94; quant-ph/9904011,- quant-ph/9907103
• [23] Prykarpatsky A.K., Zagrodzinski J.A., Blackmore D.L.: Lax typeflows on Grassmann manifolds and dual momentum mappings. Reports on Math. Phys., 40, 1997, 539-549
• [24] Pacchos J., Chountasis: Optical Holonomic Quantum Computers. quant-ph/9912093
• [25| Bugajski S., Klamka J., Węgrzyn S.: Foundations of quantum computing. Archiwum Informatyki Teoretycznej i Stosowanej, Part. 1, 13, N2@001); Part 2, 14, N4 (2002)
• [26] Ambrose W., Singer J.: A theorem on holonomy. Trans. AMS, 75, 1953, 428-143