Orbits of the Kaprekar’s transformations – some introductory facts

• Autorzy: Hanslik H. , Hetmaniok E. , Sobstyl I. , Pleszczyński M. , Wituła R.

Warianty tytułu

PL

Podstawowe fakty o orbitach transformacji Kaprekara

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

Presented paper, above all, completes two other papers, made previously by the authors and cited in References, concerning the orbits of the Kaprekar’s transformations. In the current paper many detailed facts for five initial Kaprekar’s transformations (from T2 to T6) are described. There are introduced some new concepts and there is shown how important is the observation of numerical results giving the motivation for theoretical discussion on the Kaprekar’s transformations. Moreover, the paper includes the interesting and original results concerning the fixed points and the 2-element orbits of the Kaprekar’s transformations. All these results encourage to continue the discussion. The paper contains also quite large survey section devoted to the generalizations and modifications of the Kaprekar’s transformations. Furthermore, some pieces of information from OEIS by N.J.A. Sloane connected with the orbits of the Kaprekar’s transformations are presented here.

PL

Prezentowany artykuł uzupełnia dwie inne prace autorów, cytowane w dołączonej tu literaturze, dotyczące orbit transformacji Kaprekara. W pracy przedstawiono wiele szczegółowych faktów dla pierwszych pięciu transformacji Kaprekara (od T2 do T6). Wprowadzono nowe pojęcia i pokazano, jak istotna jest analiza wyników numerycznych jako motywacja do dyskusji teoretycznej transformacji Kaprekara. Ponadto w artykule zamieszczono interesujące i oryginalne wyniki dotyczące punktów stałych i 2-elementowych orbit transformacji Kaprekara. Wszystkie te wyniki wręcz zachęcają do dalszej dyskusji. Artykuł zawiera również obszerny rozdział dotyczący uogólnień i modyfikacji transformacji Kaprekara. Wreszcie mamy tu zamieszczoną garść informacji z OEIS, ufundowanej przez N.J.A. Sloane’a, związanych z orbitami transformacji Kaprekara.

Słowa kluczowe

EN

Kaprekar transformation; minimal orbit; Sharkovsky ordering; Ducci transformation; recurrence vector sequences

PL

transformacja Kaprekara; orbita minimalna; porządek Szarkowskiego

• Wydawca: Wydawnictwo Politechniki Śląskiej
• Czasopismo: Zeszyty Naukowe. Matematyka Stosowana / Politechnika Śląska
• Rocznik: 2015
• Tom: z. 5
• Strony: 5--34
• Opis fizyczny: Bibliogr. 31 poz.

Twórcy

autor

Hanslik H.

• Faculty of Applied Mathematics Silesian University of Technology

autor

Hetmaniok E.

• Institute of Mathematics Silesian University of Technology

autor

Sobstyl I.

autor

Pleszczyński M.

• Institute of Mathematics Silesian University of Technology

autor

Wituła R.

• Institute of Mathematics Silesian University of Technology

Bibliografia

• 1. Behn A., Kribs-Zaleta C., Ponomarenko V.: The convergence of difference boxes. Amer. Math. Monthly 112, no. 5 (2005), 426–439.
• 2. ChamberlandM.: Unbounded Ducci Sequences. J. Difference Equ. Appl. 9 (2003), 887–895.
• 3. Beardon A.F.: Combinatorial Dynamics and Entropy in Dimension OneCyclic absolute differences of integers. Amer. Math. Monthly 118, no. 7 (2011), 650–652.
• 4. Brown M., Slifker J.F.: A periodic sequence. Amer. Math. Monthly 92, no. 3 (1985), 218.
• 5. Burmester M., Forcade R., Jacobs E.: Circles of numbers. Glasgow Math. J. 19 (1978), 115–119.
• 6. Calkin N.J., Stevens J.G., Thomas D.M.: A characterization for the length of cycles of the n-number Ducci game. Fibonacci Quart. 43, no. 1 (2005), 53–59.
• 7. Chamberland M., Thomas D.M.: The n-number Ducci game. J. Difference Equ. Appl. 10, no. 3 (2004), 339–342.
• 8. Ciamberlini C., Marengoni A.: Su una interessante curiosit, it `a numerica. Periodiche di Matematiche 17 (1936), 25–30.
• 9. Ehrlich A.: Periods in Ducci’s n-number game of differences. Fibonacci Quart. 28 (1990), 302–305.
• 10. Eldridge K.E., Sagong S.: The determination of Kaprekar convergence and loop convergence of all three-digit numbers. Amer. Math. Monthly 95, no. 2 (1988), 105–112.
• 11. Fukuta J., Chapman R.J.: An absorbing 4-digit number. Amer. Math Monthly 100, no. 10 (1993), 955–956.
• 12. Guy R.K.: Conway’s RATS and other reversals. Amer. Math. Monthly 96, no. 5 (1989), 425–428.
• 13. Hanslik H., Hetmaniok E., Pleszczyński M., Sobstyl I., Wituła R., Zielonka A.: On the orbits of Kaprekar’s transformations by discussing the numerical results. In preparation.
• 14. Hare K., Prodinger H., Shallit J.: Three series for the generalized golden mean. Fibonacci Quart. 52, no. 4 (2014), 307–313.
• 15. Hetmaniok E., Pleszczyński M., Sobstyl I., Wituła R.: Generalizations of Kaprekar’s transformations. In preparation.
• 16. Hetmaniok E., Pleszczyński M., Sobstyl I., Wituła R.: Kaprekar’s transformations, Part I – theoretical discussion. Preprints of the Federated Conference on Computer Science and Information Systems, 699–704.
• 17. Hetmaniok E., Pleszczyński M., Sobstyl I., Wituła R.: Kaprekar’s transformations, Part II – numerical results and intriguing corollaries. Preprints of the Federated Conference on Computer Science and Information Systems, 97–104.
• 18. Kaprekar D.R.: Another solitarie game. Scripta Math. 15 (1949), 244–245.
• 19. Kaprekar D.R.: An interesting property of the number 6174. Scripta Math. 21 (1955), 304.
• 20. Kordemskii B.A., Ahadov A.A.: Remarkable world of numbers. Moscow 1986 (in Russian).
• 21. Kurlyandchik L.: Gold Fishes in the Ocean of Mathematics. Oficyna Wydawnicza Tutor, Toruń 2005 (in Polish).
• 22. Lotan M.: A problem in difference sets. Amer. Math. Monthly 56, no. 8 (1949), 535–541.
• 23. Ludington A.L.: Length of the 7-number game. Fibonacci Quart. 26 (1988), 195–204.
• 24. Ludington Furno A.: Cycles of differences of integers. J. Number Theory 13 (1981), 255–261.
• 25. Misiurewicz M., Schinzel A.: On n numbers on a circle. Hardy-Ramanujan J. 11 (1988), 30–39.
• 26. Odlyzko A.M.: Iterated absolute values of differences of consecutive primes. Math. Computation 61, no. 203 (1993), 373–380.
• 27. Sedaghat H.: The Ducci problem and related questions. Glimpse of mathematics 1 (1989), 7–12.
• 28. Trigg C.W.: Kaprekar’s routine with five-digit integers. Math. Mag. 45, no. 3 (1972), 121–129.
• 29. Ullman D.: More on the four – numbers game. Math. Mag. 65, no. 3 (1992), 170–174.
• 30. Wolfram D.A.: Solving generalized Fibonacci recurrences. Fibonacci Quart. 36, no. 2 (1998), 129–145.
• 31. Zhu X., Grossman G.: Limits of zeros of polynomial sequences. J. Comput. Anal. Appl. 11 (2009), 140–158.