Parisian ruin probability : the De Vylder type approximation

• Autorzy: Zdeb Martyna , Teuerle Marek A.

Identyfikatory

DOI

10.14708/ma.v48i2.7069

Warianty tytułu

PL

Prawdopodobieństwo ruiny paryskiej : aproksymacja De Vyldera

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The Parisian ruin occurs as the capital of the insurance company is negative longer than a predefined period of time. In this article, we propose a simple and fast technique for calculating the Parisian ruin probability for the Cramér-Lundberg model with arbitrary claims that have the first three moments finite. The introduced method is based on the idea of the De Vylder approximation. We apply the method for various claim distributions and verify its accuracy. Lastly, the method is applied to a model that is fitted to the empirical data.

PL

Moment wystąpienia ruiny typu paryskiego definiowany jest jako moment, w którym kapitały firmy ubezpieczeniowej w czasie były w sposób ciągły ujemne przez wcześniej zdefiniowany okres czasu. W tej pracy zaproponowano szybką i relatywnie prostą technikę wyznaczania przybliżonego prawdopodbieństwa ruiny paryskiej dla procesu Craméra-Lundberga ze szkodami z dowolnego rozkładu, dla którego pierwsze trzy momenty są skończone. Przedstawiona metoda wykorzystuje metodę De Vyldera. W pracy sprawdzono też dokładność metody dla procesu Craméra-Lundberga o wybranych rozkładach szkód. Dodatkowo, wyznaczono prawdopodbieństwo ruiny paryskiej dla modelu opisującego dane empiryczne towarzystwa ubezpieczeniowego.

Słowa kluczowe

EN

risk process; Parisian ruin; De Vylder approximation; lognormal distribution

PL

proces ryzyka; ruina paryska; prawdopodbieństwo ruiny; aproksymacja De Vyldera; rozklad lognormalny

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2020
• Tom: Vol. 48, no. 2
• Strony: 157--171
• Opis fizyczny: Bibliogr. 26 poz., fot., tab., wykr.

Twórcy

autor

Zdeb Martyna

• Faculty of Pure and Applied Mathematics, Wrocław University of Science and Technology, Wybrzeże Wyspiańskiego 27, Wrocław 50-370

autor

Teuerle Marek A.

• Hugo Steinhaus Center, Faculty of Pure and Applied Mathematics, Department of Applied Mathematics, Wrocław University of Science and Technology, Wybrzeże Wyspiańskiego 27, Wrocław 50-370

Bibliografia

• [1] M. Abramowitz and I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. Dover, New York, 1964. MR 0167642. Cited on p. 161.
• [2] E. S. Andersen. On the collective theory of risk in case of contagion between claims. Transactions of the XVth International Congress of Actuaries. Vol. 2. No. 6., 1957. doi: 10.1080/03461238.1956.10414954. Cited on p. 157.
• [3] S. Asmussen and H. Albrecher. Ruin Probabilities (2nd Edition). World Scientific, 2010. doi: 10.1142/7431. Cited on pp. 158, 159, and 160.
• [4] K. Burnecki and M. Teuerle. Ruin probability in finite time. In P. Cizek, W. K. Härdle, and R. Weron, editors, Statistical Tools for Finance and Insurance, pages 329-348. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg, 2011. ISBN 978-3-642-18062-0. doi: 10.1007/978-3-642-18062-0_10. Cited on pp. 158, 159, and 160.
• [5] K. Burnecki, J. Janczura, and R. Weron. Building loss models. In P. Cizek, W. K. Härdle, and R. Weron, editors, Statistical Tools for Finance and Insurance, pages 293-328. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg, 2011. ISBN 978-3-642-18062-0. doi: 10.1007/978-3-642-18062-0_9. Cited on p. 159.
• [6] K. Burnecki, M. Teuerle, and A. Wilkowska. De Vylder type approximation of the ruin probability for the insurer-reinsurer model. Mathematica Applicanda, 47: 5-24, 07 2019. doi: 10.14708/ma.v47i1.6417. Cited on pp. 164 and 167.
• [7] M. Chesney, M. Jeanblanc-Picque, and M. Yor. Brownian excursions and Parisian barrier options. Advances in Applied Probability, 29: 165-184, 1997. doi: 10.2307/1427865. Cited on p. 158.
• [8] Council of European Union. DIRECTIVE 2009/138/ec OF THE EUROPEAN PARLIAMENT AND OF THE COUNCIL of 25 November 2009 on the taking-up and pursuit of the business of Insurance and Reinsurance (Solvency II), 2009. URL https://eur-lex.europa.eu/legal-content/en/ALL/?uri=CELEX:32009L0138. Cited on p. 158.
• [9] H. Cramér. On the mathematical theory of risk. Skandia Jubilee Volume, 1930. Zbl 56.1100.03. Cited on p. 157.
• [10] I. Czarna. Parisian ruin probability with a lower ultimate bankrupt barrier. Scandinavian Actuarial Journal, 2016 (4): 319-337, 2016. doi: 10.1080/03461238.2014.926288. Cited on p. 158.
• [11] I. Czarna and Z. Palmowski. Ruin Probability with Parisian Delay for a Spectrally Negative Lévy Risk Process. Journal of Applied Probability, 48 (4): 984-1002, 2011. doi: 10.1239/jap/1324046014. Cited on p. 158.
• [12] I. Czarna and Z. Palmowski. Parisian quasi-stationary distributions for asymmetric Lévy processes. Statistics & Probability Letters, 127: 75-84, 2017. ISSN 0167-7152. doi: 10.1016/j.spl.2017.03.011. Cited on p. 158.
• [13] I. Czarna, Y. Li, Z. Palmowski, and C. Zhao. The joint distribution of the Parisian ruin time and the number of claims until Parisian ruin in the classical risk model. Journal of Computational and Applied Mathematics, 313: 499-514, 2017. ISSN 0377-0427. doi: 10.1016/j.cam.2016.09.045. Cited on p. 159.
• [14] A. Dassios and S. Wu. Parisian ruin with exponential claims. Preprint available at http://eprints.lse.ac.uk/32033/, 2008. Cited on pp. 158, 160, 161, and 167.
• [15] A. Dassios and S. Wu. On barrier strategy dividends with Parisian implementation delay for classical surplus processes. Insurance: Mathematics and Economics, 45 (2): 195-202, 2009. ISSN 0167-6687. doi: 10.1016/j.insmatheco.2009.05.013. Cited on p. 158.
• [16] F. De Vylder. A practical solution to the problem of ultimate ruin probability. Scandinavian Actuarial Journal, 1978 (2): 114-119, 1978. doi: 10.1080/03461238.1978.10419484. Cited on pp. 159 and 161.
• [17] K. Dębicki, E. Hashorva, and L. Ji. Parisian ruin of self-similar Gaussian risk processes. Journal of Applied Probability, 52 (3): 688-702, 2015. doi: 10.1239/jap/1445543840. Cited on p. 158.
• [18] E. Frostig and A. Keren-Pinhasik. Parisian Ruin with Erlang Delay and a Lower Bankruptcy Barrier. Methodology and Computing in Applied Probability, 22: 101-134, 2020. doi: 10.1007/s11009-019-09693-w. Cited on p. 159.
• [19] E. Frostig, S. M. Pitts, and K. Politis. The time to ruin and the number of claims until ruin for phase-type claims. Insurance: Mathematics and Economics, 51 (1): 19-25, 2012. ISSN 0167-6687. doi: 10.1016/j.insmatheco.2012.02.013. Cited on p. 158.
• [20] H. U. Gerber and E. S. Shiu. On the time value of ruin. North American Actuarial Journal, 2 (1): 48-72, 1998. doi: 10.1080/10920277.1998.10595671. Cited on p. 158.
• [21] J. Grandell. Simple approximations of ruin probabilities. Insurance: Mathematics and Economics, 26 (2): 157-173, 2000. ISSN 0167-6687. doi: 10.1016/S0167-6687(99)00050-5. Cited on pp. 158, 160, and 163.
• [22] D. Landriault, J.-F. Renaud, and X. Zhou. Insurance Risk Models with Parisian Implementation Delays. Methodology and Computing in Applied Probability, 16: 583-607, 2014. doi: 10.1007/s11009-012-9317-4. Cited on p. 159.
• [23] R. Loeffen, I. Czarna, and Z. Palmowski. Parisian ruin probability for spectrally negative Lévy processes. Bernoulli, 19 (2): 599-609, 2013. ISSN 13507265. doi: 10.3150/11-BEJ404. Cited on p. 158.
• [24] F. Lundberg. Approximerad Framställing av Sannolikhetsfunktionen. Åfterförsäkring av Kollektivrisker. Acad. Afhandling. Almqvist och Wiksell, 1903. Zbl 35.0245.01. Cited on p. 157.
• [25] A. Makhlouf. Error estimates for De Vylder type approximations in ruin theory. Preprint available at https://arxiv.org/abs/1709.00326, 2017. Cited on p. 159.
• [26] X. Zhao and H. Dong. Parisian ruin probability for Markov additive risk processes. Advances in Difference Equations, 2018: 179, 2018. doi: 10.1186/s13662-018-1600-4. Cited on p. 158.

Uwagi

Opracowanie rekordu ze środków MNiSW, umowa Nr 461252 w ramach programu "Społeczna odpowiedzialność nauki" - moduł: Popularyzacja nauki i promocja sportu (2021).