Hybrydowe metody elementów skończonych w zagadnieniach optymalizacji położenia

• Autorzy: Starzyński J.

Warianty tytułu

EN

Hybrid finite element method for optimal location problems

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Celem autora było przeanalizowanie hybrydowych metod elementów skończonych pod kątem zastosowania ich w takich problemach odwrotnych, gdzie poszukujemy rozwiązania przez przemieszczanie lub zmianę rozmiarów pewnych podobszarów modelu numerycznego. Zdaniem autora wykorzystanie metod hybrydowych umożliwia pokonanie w takich zadaniach problemów stwarzanych przez klasyczną metodę elementów skończonych. W rozprawie opisano zarówno ogólne metody, które mogą zostać zastosowane do szerokiej klasy zagadnień, jak i metody specjalizowane, ściśle dostosowane do konkretnych problemów i wykorzystujące specyfikę tych problemów do zapewnienia maksymalnej szybkości symulacji z zachowaniem rozsądnych granic błędu. Praca składa się z sześciu rozdziałów. Pierwszy z nich zawiera wprowadzenie w tematykę i przedstawia tezę pracy: zastosowanie połączenia metody elementów skończonych z innymi metodami numerycznymi pozwala tworzyć modele doskonale nadające się do rozwiązywania dużej klasy zagadnień odwrotnych. W rozdziale 2 omówiono sposób formułowania problemów odwrotnych, których dotyczy niniejsza praca, opisano zastosowanie MES do symulacji zagadnień pola elektromagnetycznego, przedstawiono, na czym polegają podstawowe problemy występujące w takich zadaniach i jak można te problemy rozwiązać przez zastosowanie hybrydowej MES. Rozdział 3 to przegląd metod hybrydyzacji dogodnych z punktu widzenia niniejszej pracy. Najwięcej uwagi poświęcono tym metodom, które zdaniem autora nadają się najlepiej do realizacji założonych zadań. Dla problemów dwuwymiarowych jest to hybrydyzacja wykorzystująca funkcje Greena, natomiast dla problemów trójwymiarowych – hybrydyzacja MES za pomocą uogólnionej techniki wielobiegunów. Na podstawie analizy teoretycznej i wyników symulacji wykazano związki pomiędzy tymi metodami i ich komplementarność. Opisano też wspólne korzenie tych metod i opartą na tych samych przesłankach metodę konstrukcji modeli hybrydowych, dostosowanych do problemów optymalnego projektowania źródeł pola. Rozdział 4 zawiera uwagi na temat implementacji opracowanych metod. Jest to zagadnienie odmienne od sformułowania matematycznego, ale równie ważne z punktu widzenia praktycznej przydatności pracy. Rozdział 5 to przykłady zastosowania opracowanych metod do rozwiązania różnych zadań optymalizacji kształtu. Przedstawiono tam zarówno idealizowane problemy umożliwiające przetestowanie i zweryfikowanie poprawności metod, jak i dwa duże, rzeczywiste problemy techniczne. Rozdział 6 zawiera krótkie podsumowanie uzyskanych wyników i wypływające z niego wnioski. Zastosowanie metod hybrydowych wymaga znacznych nakładów pracy przy opracowaniu oprogramowania, ale pozwala zdecydowanie przyspieszyć obliczenia w problemach optymalizacji położenia.

EN

The author's aim was to study the effectiveness of hybrid finite element methods for solving selected inverse problems of electromagnetics. Solving optimal shape design, optimal positioning or optimal dimensioning problems requires modifications of the numerical field model while testing trial solutions. Such modifications can be a real problem when the classical finite element method is used as a numerical model. In the author's opinion, the use of hybrid methods allows for decomposition of the boundary problem into several sub-models which use separate FE meshes. These models are coupled together with a "hybridizing method" which does not require mesh and thus allows for free position changes of FE sub-models. This approach simplifies and speeds up the solution of an inverse problem. This work describes two general hybrid methods, which can be applied to a broad class of problems, and two specialized approaches closely tailored to specific problems. The specialized approach may use specific characteristics of the solved problem to ensure maximum speed, keeping reasonable limits of simulation errors. The work consists of 6 chapters. A short introduction to the subject is presented in Chapter 1. Chapter 2 discusses the scope of the work, describes the use of FEM simulation of electromagnetic field for inverse problems, and points out basic difficulties in such tasks and how these issues can be solved using hybrid FEM. Chapter 3 reviews selected methods of hybridization. Most attention is paid here to two methods which, according to the author, are best suited to achieve the presented goals. These are the Green's functions-based boundary procedures for two-dimensional boundary problems and generalized multipole technique base method for three-dimensional boundary problems. Common roots of both methods are discussed in detail, because they build a base for the specialized methods tuned to specific problems. Chapter 4 shows the most important issues of implementation. This matter is separate from mathematical work out, but equally crucial for practical application of the proposed methodology. Some notes on object-oriented coding of numerical methods are also given here. Chapter 5 presents the results of simplified test problems used for code verification and the results of two practical technical problems solved with the author's programs. Due to the limited size of the book, attention is paid to the methodology presented here rather than to the problems itself. Chapter 6 contains a discussion of the results obtained and conclusions.

Słowa kluczowe

PL

modelowanie pola magnetycznego; metody numeryczne; metoda elementów skończonych; funkcje Greena; metoda elementów brzegowych; metoda wielobiegunów; optymalizacja

EN

numerical simulation of electromagnetic field; numerical methods; finite element method; Green function; boundary element method; Multipole method; optimal design

• Wydawca: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej
• Czasopismo: Prace Naukowe Politechniki Warszawskiej. Elektryka
• Rocznik: 2009
• Tom: z. 138
• Strony: 3--100
• Opis fizyczny: Bibliogr. 111 poz., rys., tab., wykr.

Twórcy

autor

Starzyński J.

• Instytut Elektrotechniki Teoretycznej i Systemów Informacyjno-Pomiarowych

Bibliografia

• [1] Aiello G., Alfonzetti S., Coco S.: Charge Iteration: a procedure for the Finite Element Computation of Unbounded Electrical Fields, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 37, ss. 4147-4166, 1994.
• [2] Aiello G., Alfonzetti S., Coco S.. Salerno N.: Finite element iterative solution of skin effect problems in open boundaries, International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields, 9, ss. 125-143, 1995.
• [3] Aiello G., Alfonzetti S., Coco S.. Salerno N.: A Theoretical Study of Charge Iteration, COMPEL - The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering, 15, ss. 22-46, 1996.
• [4] Ainsworth M. (red.): Wavelets, Multilevel Methods and Elliptic Pde's, Oxford University Press, 1997.
• [5] Arfken G.: Mathematical Methods for Physicists, 4th Edition, Academic Press, Orlando, 1995.
• [6] Barton G.: Elements of Green's Functions and Propagation, Oxford University Press, New York, 1989.
• [7] Bernardi C., Maday Y., Patera A.T.: A New Nonconforming Approach to Domain Decomposition: The Mortar Element Method, W Nonlinear Partial Differential Equations and Their Applications, College de France seminar, red. H. Brezis, J.L. Lions, Pitman, 1990.
• [8] Bettes J.: Infinite Elements, International Journal Numer. Methods Engineering, 11, ss. 53-64, 1977.
• [9] Bevir M.K.: The theory of electromagnetic flow meter, Journal of Fluid Mechanics, 43, 1970.
• [10] Bharadwaj R. i inni:: The Fast Multipole Boundary-Element Method for Molecular Electrostatics - An Optimal Approach for Large Systems, Journal of Computational Chemistry, 16(7), ss. 898-913, 1995.
• [11] Bill, K.: Development of the Boundary Element method aimed at magnetic field computation of an induction motor, Archiv fuer Elektrotechnik, 72, ss. 309-317, 1989.
• [12] Bill K., Pawluk K., Perzanowski W.: Coupling of the finite element and boundary elements methods by iterative technique, Proceedings of ISEF '87, Pavia, ss. 173-176, 1987.
• [13] Bolkowski S. i inni: Komputerowe metody analizy pól elektromagnetycznych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1993.
• [14] Brauer J., Schaefer S., Lee J., Mittra R.: Asymptotic boundary condition for three-dimensional magnetostatic finite elements, IEEE Transactions on Magnetics, 27, ss. 5013-5015, listopad 1991.
• [15] Brebbia C.A., Dominguez J.: Boundary Elements: An Introductory Course, McGraw-Hill, Boston, 1989.
• [16] Brezzi F., Fortin M.: Mixed and Hybrid Finite Element Methods, Springer Series in Computational Mathematics, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 1991.
• [17] Cai X., Dryja M., Sarkis M.: Overlapping Non-Matching Grid Mortar Element Methods for Elliptic Problems, Raport Techniczny, Department of Computer Science, College of Engineering and Applied Science, University of Colorado at Boulder, Boulder, CO 80309-0430 USA, 1997.
• [18] Cea J.: Numerical methods of shape optimal design, W: E.J. Haug and J. Cea, editors, Optimization of Distributed Parameter Structures. Sijthoff & Noordholl Alphen dall den Rijn, Netherlands, 1980.
• [19] Cendes Z., Lee F.: The transfinite element method for modeling MMIC devices, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 36, ss. 1639-1649, 1988.
• [20] Dawson T.W., Stuchly M.A: High-Resolution Organ Dosimetry for Human Exposure to Low-Frequency Electric Fields, IEEE Transactions on Power Delivery, 13(2), kwiecień 1998.
• [21] Dryja M., Widlund O.: Towards a unified theory of domain decomposition algorithms for elliptic problems, Raport Techniczny 486, także Ultracomputer Note 167, Department of Computer Science, Courant Institute, New York, 1989.
• [22] Eckel B.: Thinking in Java 4th Edition, Prentice-Hall, 2006.
• [23] Evans L.C.: Równania rózniczkowe cząstkowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002.
• [24] Feynman R. i inni: Feynmana wykłady z fizyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2004.
• [25] Fletcher, R.: Practical Methods of Optimization, John Wiley and Sons, 1980.
• [26] Garimella R.V. (red.): Proceedings of the 17th International Meshing Roundtable Springer-Verlag, 2008.
• [27] George M.S. i innni: Vagus nerve stimulation therapy. A research update Neurology, 59, ss. 56-61,2002.
• [28] Gjonaj E., Bartsch M., Clemens M., Schupp S., and Weiland T.: High-Resolution Human Anatomy Models for Advanced Electromagnetic Field Computations, IEEE Transactions on Magnetics, 38(2), marzec 2002.
• [29] Gottvald A. i inni: Global optimisation methods for computational electromagnetics, IEEE Transactions on Magnetics, 28(2):1537-1540, marzec 1992.
• [30] Gratkowski S.: Elementy specjalne w metodzie elementów skończonych stosowanej do obliczeń elektromagnetycznych, Wydawnictwo Naukowe Politechniki Szczecińskiej, Szczecin, 1996.
• [31] Gymesi M., Lavers D., Pawlak T., Ostergaard D.: Hybrid Finite Element-Trefftz Method for Open Boundary Analysis, IEEE Transactions on Magnetics, 32, ss. 671-674, styczeń 1996.
• [32] Hafner C.: The Generalized Multipole Technique for Computational Electromagnetics, Artech House Inc., Boston, London, 1990.
• [33] Hafner C., Bomholt L.: The 3D Electrodynamic Wave Simulator - 3D MMP Software and User's Guide, John Wiley & Sons, Chichester, 1993.
• [34] Hatton KW, McLarney JT, Pittman T, Fahy BG.: Vagal nerve stimulation: overview and implications for anesthesiologists Anesthesia and analgesia, 103(5), ss. 1241-1249, listopad 2006.
• [35] Herrera I., On Jirousek Method and its Generalizations, Computer Assisted Mech. Engineering Sci., 8, ss. 325-342, 2001.
• [36] Hoole RS., Weeber K., Subramaniam S.: Fictitious minima of object functions, finite element meshes and edge elements in electromagnetic device synthesis, IEEE Transactions on Magnetics, 27(6), ss. 5214-5216, listopad 1991.
• [37] Hurwitz, H. Jr: Infinitesimal Scaling - a new Procedure for Modelling Exterior Field Problem, IEEE Transactions on Magnetics, 20, ss. 1918-1923, 1984.
• [38] Jirousek J.: Basis for Development of Large Finite Elements Locally Satisfying all Field Equations, Comp. Methods Appl. Mech. Engineering, 14, ss. 65-92, 1978.
• [39] Kędziorek M.: Rozproszona implementacja algorytmu genetycznego w języku Java, Praca Dyplomowa Magisterska obroniona na Wydziale Elektrycznym Politechniki Warszawskiej, 2004.
• [40] Korytkowski J., Sroka J., Starzyński J.: On the nonstandard finite elements in problems with rotational symmetry, COMPEL - The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering, 13(2), sS. 407-416, czerwiec 1994.
• [41] Korytkowski J., Starzyński J., Wincenciak S.: Wpływ ograniczenia obszaru analizy MES na symulację numeryczną zjawiska wypierania prądu, W: Zastosowania Komputerów w Elektrotechnice, Poznań/Kiekrz 7-9 kwietnia 1997, Materiały Konferencji Naukowo-Technicznej, ss. 101-104, 1997.
• [42] Krzemiński S., Sikora J., Sroka J., Wincenciak S.: Zastosowanie procedury rozwiązań brzegowych do analizy pola temperatury, Archiwum Elektrotechniki, XXVIII(1), ss. 181-188, 1979.
• [43] Lai H., Rodger D.,Leonard P.: Coupling Meshes in 3D Problems Involving Movement, IEEE Transactions on Magnetics, 28(2), ss. 1732-1734, marzec 1992.
• [44] Langtangen H.P.: Computational Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1999.
• [45] Langtangen H.P.: Advanced topics in Diffpack Programming (TOFIX), Springer-Verlag, 2003.
• [46] Langtangen H.P.: Python Scripting for Computational Science, 3rd Edition, Springer-Verlag, 2008.
• [47] Lawson R., Hanson R.: Solving Least Squares Problems Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1974.
• [48] Liseikin, V.D: A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation, Springer-Verlag, 2003.
• [49] Liu Y.J., Nishimura N.: The fast multipole boundary element method for potential problems: a tutorial, Engineering Analysis with Boundary Elements, 30(5), ss. 371-381, 2006.
• [50] Luo Z., Demerdash N.A.: A finite-element ballooning model for 2D eddy current open boundary problems for aerospace applications, IEEE Transactions on Magnetics, 28, ss. 2241-2243, 1992.
• [51] Marrosu F., Maleci A., Cocco E., i inni: Vagal nerve stimulation effects on cerebellar tremor in multiple sclerosis, Neurology, 65(3), s. 490, 2005.
• [52] Martin P.A., Rizzo F.J.: Partitioning Boundary Integral Equations and Exactc Green's Functions, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 38, ss. 3483-3498, 1995.
• [53] McDonald RH., Wexler A.: Finite-Element Solution of Unbounded Field Problems, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 20(12), grudzień 1972.
• [54] Michalski A.: Wybrane problemy syntezy przetworników pierwotnych przepływomierzy elektromagnetycznych dla kanałów otwartych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1999.
• [55] Michalski A., Wincenciak S.: Weight vector in designing of primary transducers for electromagnetic flow meters, Archives of Electrical Engineering, XLVII(183), ss. 81-99, 1998.
• [56] Michalski A., Starzyński J., Wincenciak S.: Optimal design of the coils of the electromagnetic flow meter, IEEE Transactions on Magnetics, 34(5), ss. 2563-2566, wrzesień 1998.
• [57] Michalski A., Starzyński J., Wincenciak S.: 3D Approach to Design the Excitation Coil of an Electromagnetic Flow Meter, IEEE Trans. Instrumentation and Measurement, 51(4), ss. 833-839, 2002.
• [58] Michalski A., Starzyński J., Wincenciak S.: Model matematyczny przepływomierza elektromagnetycznego dla kanałów otwartych, Przegląd Elektrotechniczny, nr 4, ss. 92-98, 2002.
• [59] Nakata T., Ishihara N., Takahashi N.: Finite element analysis of magnetic fields by using gap elements, W Proceedings of Compumag, Grenoble, 1978.
• [60] Ouzzani YE., Rioux-Damidau F., Brunotte X. i Meunier G.: Finite element modeling of unbounded problems: Use of a geometrical transformation and comparison with the boundary integral method, IEEE Transactions on Magnetics, 32(3), ss. 1401-1404, maj 1996.
• [61] Park I., Coulomb J.C., Song-yop Hahn: Implementation of continuum sensitivity analysis with existing finite element code, IEEE Transactions on Magnetics, 29(2), ss. 1787-1790, marzec 1993.
• [62] Pébay P.P. (red.): Proceedings of the 15th International Meshing Roundtable Springer-Verlag, 2006.
• [63] Peng J.P., Salon S.J: Hybrid finite element boundary element solutions using half-space Green's functions, Journal of Applied Physics, 55, ss. 2198-2200, 1984.
• [64] Pissanetzky S.: An infinite element and a formula for numerical quadrature over an infinite interval, International Journal Numerical Methods in Engineering, 19, ss. 913-928, 1983.
• [65] Płonecki P., Sawicki B., Starzyński J., Wincenciak S: Mathematical description of eddy-currents in a non-homogenous area with using electric scalar potential, Przegląd Elektrotechniczny, nr 2/2007, ss. 215-218.
• [66] Płonecki P., Sawicki B., Starzyński J., Wincenciak S: Exploiting the continuity of current density for efficient modelling of eddy-currents, Proceedings of the 13th IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation (CEFC 2008), Athens, 2008.
• [67] Salon S.J.: Finite Element Analysis of Electrical Machines, Kluwer Academic Publishers, 1995.
• [68] Salon S.J., D'Angelo J.: Applications of the hybrid finite element - boundary element method in electromagnetics, IEEE Transactions on Magnetics, 24, 1988.
• [69] Sawicki B.: Modelowanie prądów wirowych w środowisku słaboprzewodzącym z wykorzystaniem wektorowego potencjału elektrycznego T, Praca doktorska, Wydział Elektryczny Politechniki Warszawskiej, 2003.
• [70] Sawicki B., Starzyński J., Wincenciak S.: Analiza wpływu cech obszaru na dokładność symulacji prądów wirowych za pomocą, wektorowego potencjału elektrycznego T, Przegląd Elektrotechniczny, ss. 362-365, grudzień 2002.
• [71] Sherclif I.A.f: The theory of electromagnetic flow measurement, Cambridge University Press, 1962.
• [72] Schöberl J.: NETGEN - An advancing front 2D /3D-mesh generator based on abstract rules, CompuVisual.Sci, 1, ss. 41-52, 1997.
• [73] Si H., Gaertner K.: Meshing Piecewise Linear Complexes by Constrained Delaunay Tetrahedralizations, Proceedings of the 14th International Meshing Roundtable, Springer-Verlag, ss. 147-163,2005.
• [74] Sikora J.: Zagadnienia odwrotne w teorii pola elektromagnetycznego: Problemy identyfikacji i projektowania, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, 1991.
• [75] Sikora J.: Boundary Element Method for Impedance and Optical Tomography, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2007.
• [76] Sikora J.: Podstawy metody elementów skończonych, Zagadnienia potencjalne pola elektromagnetycznego, Wydawnictwo Książkowe Instytutu Elektrotechniki, ul. Pożaryskiego 28, 04-703 Warszawa, 2008.
• [77] Sobczak K.: Distributed system for multiobjective genetic optimization, Praca Dyplomowa Magisterska obroniona na Wydziale Elektrycznym Politechniki Warszawskiej, 2008.
• [78] Sroka J.: Hybrydowe metody elementów skończonych w analizie pól elektromagnetycznych, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1990.
• [79] Starzyński J., Wincenciak S.: Hybrydowa metoda elementów skończonych do analizy pola elektromagnetycznego w obszarze z przemieszczającymi się obiektami, W: Zastosowania Komputerów w Elektrotechnice, Poznań/Kiekrz 20-22 kwietnia 1998, Materiały Konferencji Naukowo-Technicznej, ss. 103-106, 1998.
• [80] Starzyński J., Wincenciak S., Korytkowski J.: Method of handling disconnected regions in FEM model of eddy currents, IEEE Transactions on Magnetics, 34(5), ss. 2676-2679, wrzesień 1998.
• [81] Starzyński J.: Design of the Electromagnetic Flow Meter - a 3D Approach Proceedings of Polish-Japanese Conference on Electromagnetic Fields Computation, Sapporo, October 29-30th, 1999, Hokkaido University, 1999.
• [82] Starzyński J., Wincenciak S., Michalski A.: Wirtualny przepływomierz elektromagnetyczny W: Materiały XXIII-SPETO, Wydawnictwa Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2000.
• [83] Starzyński J., Wincenciak S.: Noniterative Implementation of the Green-Function-Based Open Boundary Condition for FEM, IEEE Transactions on Magnetics, 36(4), ss. 765-768, lipiec 2000.
• [84] Starzyński J., Sawicki B., Wincenciak S., Krawczyk A., Zyss T.: Simulation of Magnetic Stimulation of the Brain, IEEE Transactions on Magnetics, 38(2), marzec 2002.
• [85] Starzyński J., Osowski S., Wincenciak S.: Support Vector Machines - a Promising Tool for Optimal Design of Electromagnetic Devices, Proceedings of the 14th Conference on the Computation of Electromagnetic Fields COMPUMAG 2003.
• [86] Starzyński J., Szmurło R., Kijanowski J., Dawidowicz B., Sawicki B., Wincenciak S.: Distributed evolutionary algorithm for optimization in electromagnetics, IEEE Transactions on Magnetics, 44(4), ss. 1243-1246, 2006.
• [87] Starzyński J.: Hybrid FEM for Optimal Location in Electromagnetics, 12th International IGTE Symposium on Numerical Field Calculation in Electrical Engineering (IGTE 2006), Graz, 17-20.09.2006. Conference Proceedings, Verlag der Technischen Universitt Graz, ss. 198-201, 2006.
• [88] Starzyński J.: Efektywna metoda symulacji komputerowej ruchomych przetworników pomiarowych, Przegląd Elektrotechniczny, nr 5/2008, ss. 212-215, 2008.
• [89] Starzyński J.: Optymalne projektowanie dwuwymiarowych, harmonicznych pól wolnozmiennych, Praca doktorska, Wydział Elektryczny Politechniki Warszawskiej, 1996.
• [90] Stodolski M.: Zintegrowane środowisko optymalizacji języka symulacji pola elektrostatycznego i magnetostatycznego, Praca doktorska, Wydział Elektryczny Politechniki Warszawskiej, 1998.
• [91] Stuchly M.A., Dawson T.W.: Human Organ and Tissue Induced Currents by 60 Hz Electric And Magnetic Fields, W: Proceedings of the 19th Annual International Conference of the IEEE, Engineering in Medicine and Biology Society, ss. 2464-2467, 1997.
• [92] Stuchly M.A., Dawson T.W.: Interaction of Low-Frequency Electric and Magnetic Fields with the Human Body, Proceedings of the IEEE TM, 88(5), maj 2000.
• [93] Szmurło R.: Modelowanie numeryczne funkcji aktywacji w procesie elektrycznej stymulacji mózgu, Praca doktorska, Wydział Elektryczny Politechniki Warszawskiej, 2006.
• [94] Szmurło R., Sawicki B., Starzyński J., Wincenciak S.: FEM model of magnetic vagus nerve stimulation combined with axon cable model, Proceedings of the 13th IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation (CEFC 2008), Athens, 2008.
• [95] Toselli A., Widlund 0.: Domain Decomposition Methods - Algorithms and Theory, Springer Series in Computational Mathematics, Vol. 34, Springer-Verlag, 2005.
• [96] Trefftz E.: Ein Gegenstuck zum Ritz'schen Verfahren, Proc. Second International Congress of Applied Mechanics, ss. 131-137, Zurich, 1926.
• [97] Uthman B.M., Reichl A.M., Dean J.C., i inni: Effectiveness of vagus nerve stimulation in epilepsy patients: a 12-year observation, Neurology, 63(6), ss. 1124-1126, 2004.
• [98] Wang W., Eisenberg S.R.: A Three-Dimensional Finite Element Method for Computing Magnetically Induced Currents in Tissues, IEEE Transactions on Magnetics, 30(6), ss. 5015-5023, listopad 1994.
• [99] Weisstein E.W.: Helmholtz Differential Equation, MathWorld - A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/
• [100] Weisstein E.W.: Laplace's Equation-Spherical Coordinates, MathWorld - A Wolfram Web Resource, http://mathworld . wolfram. com/
• [101] Weisstein E.W.: Legendre Polynomial, MathWorld - A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/
• [102] Wincenciak S.: Metody projektowania kształtu obszaru z wykorzystaniem modeli numerycznych pola elektromagnetycznego, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1990.
• [103] Zienkiewicz O.C.: Finite element method, McGraw-Hill, Meidenhead, 1977.
• [104] Zienkiewicz O.C., Kelly D.W., Bettes P.: The Coupling of the Finite Method and Boundary Solution Procedures, International Journal for Numnerical Methods in Engineering, 11, ss. 355-375, 1977.
• [105] Zieliński A.P., Zienkiewicz O.C.: Generalized finite element analysis with T-complete boundary solution functions, International Journal for Kumerical Methods in Engineering, 21, ss. 509-528, 1985.
• [106] Zieliński A.P.: On Trial Functions Applied in The Generalized Trefftz Method, Advances in Engineering Software, 24, ss. 147-155, 1995.
• [107] Zitzler E., Laumanns M., Thiele L.: SPEA2: Improving the Strength Pareto Evolutionary Algorithm for Multiobjective Optimization. Evolutionary Methods for Design, Optimisation and Control with Application to Industrial Problems (EUROGEN 2001). International Center for Numerical Methods in Engineering (CIMNE), ss. 95-100, 2002.
• [108] ECJ 18 A Java-based Evolutionary Computation Research System - witryna internetowa http://cs.gmu.edu/~eclab/projects/ecj/
• [109] Internationa Compumag Society - witryna internetowa http://www.compumag.co.uk/
• [110] International Society for Grid Generation - witryna internetowa http://www.isgg.org/
• [111] Remote Method Iinvocation (RMI) Tutorial - witryna internetowa http://java.sun.com/docs/books/tutorial/rmi/