Selected applications of differential equations in Vanilla Options valuation

• Autorzy: Krzyżanowski G.

Identyfikatory

DOI

10.14708/ma.v46i2.6352

Warianty tytułu

PL

Wybrane zastosowania równań różniczkowych w wycenie opcji waniliowych

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The purpose of this paper is to present the applications of differential equations in Vanilla Options pricing. At the beginning we introduce main assumptions of the Black-Scholes Model with necessary comments, which as a norm can not be easily found in literature. In section 2, we show what the diffusion equation and the fair price of the European option have in common. Please note that these considerations were originally presented as proof of the Black-Scholes Formula. In sections 3 and 4 we explain why valuation of the American option can be coming down to Free Boundary Problem. Note: It is very interesting that the same mathematical model is well known as Stefan Problem describing temperature distribution in a homogeneous medium undergoing a phase change. At the end, we introduce the Finite Difference Method which will be used to solve problem numerically. We will describe the main features of the method and highlight situations in which the method might fail. At the end we make a comparison with other, widely used methods. The contribution of this paper is in an empirical analysis of effectiveness of the Finite Difference Method applied to the considered problem. Beyond this, the article has a review character.

PL

Celem niniejszego artykułu jest przedstawienie zastosowań równań różniczkowych w wycenie opcji waniliowych. Na początku przedstawiamy główne założenia modelu Blacka-Scholesa z niezbędnymi komentarzami, których jako normę nie można łatwo znaleźć w literaturze. Następnie pokazujemy, co wspólnego ma równanie dyfuzji ze sprawiedliwą ceną opcji europejskiej. Należy pamiętać, że te rozważania zostały pierwotnie przedstawione jako dowód wzoru Blacka-Scholesa. Kolejno wyjaśniamy, dlaczego wycena opcji amerykańskiej może zostać sprowadzona do problemu ze swobodnym brzegiem, znanym jako problem Stefana opisującym propagacje temperatury w niejednorodnym ośrodku ulegającym przemianom fazowym. W końcowej części pracy wprowadzamy metodę różnic skończonych, która posłuży do numerycznego rozwiązania problemu. Opisujemy główne cechy metody pokazując potencjalne zagrożenia, które mogą pojawić się w wyniku zastosowania tej metody bez dokładnego zrozumienia jej struktury. Dokonujemy również porównania z innymi, szeroko stosowanymi metodami.

Słowa kluczowe

EN

Black-Scholes Model; numerical methods; American option; European option; finite difference method; Free Boundary Problem

PL

model Blacka-Scholesa; metoda numeryczna; opcja amerykańska; opcja europejska; metoda różnic skończonych; problemy ze swobodnym brzegiem

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2018
• Tom: Vol. 46, no. 2
• Strony: 273--291
• Opis fizyczny: Bibliogr. 20 poz., fot., rys., tab., wykr.

Twórcy

autor

Krzyżanowski G.

• Wrocław University of Science and Technology, Faculty of Pure and Applied Mathematics, Wybrzeże Wyspiańskiego 27, PL-50-370 Wrocław

Bibliografia

• [1] F. AitSahlia and P. Carr. American options: A comparison of numerical methods. In Numerical methods in finance. Session at the Isaac Newton Institute, Cambridge, GB, 1995, pages 67-87. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997. ISBN 0-521-57354-8/hbk. doi: 10.1017/cbo9781139173056.005. MR 1470509; Zbl 0898.90028.
• [2] L. Bachelier. Théorie de la spéculation. Annales scientifiques de l’Ecole normale supérieure, 17: 21-86, 1900. doi: 10.24033/asens.476. MR 1508978.
• [3] F. Black and M. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81 (3): 637-654, may 1973. doi: 10.1086/260062. MR 3363443.
• [4] A. Einstein. Über die von der molekularkinetischen theorie der wärme geforderte bewegung von in ruhenden flüssigkeiten suspendierten teilchen. Annalen der Physik, 322 (8): 549-560, 1905. doi: 10.1002/andp.19053220806. JFM 36.0975.01.
• [5] P. A. Forsyth and K. R. Vetzal. Quadratic convergence for valuing american options using a penalty method. SIAM Journal on Scientific Computing, 23 (6): 2095-2122, jan 2002. doi: 10.1137/s1064827500382324. MR 1923727.
• [6] M. Hoyle. Pricing American Options, 2016.
• [7] K. ITÔ. On stochastic processes (i). Japanese journal of mathematics: transactions and abstracts, 18 (0): 261-301, 1941. doi: 10.4099/jjm1924.18.0_261. MR 0014629.
• [8] P. Lévy. Processus Stochastiques et Mouvement Brownien. Suivi d’une note de M. Loève. Gauthier-Villars, Paris, 1948. MR 0029120.
• [9] R. C. Merton. Theory of rational option pricing. Bell J. Econom. and Management Sci., 4: 141-183, 1973. ISSN 0741-6261. doi: 10.2307/3003143. MR 0496534.
• [10] K. W. Morton and D. F. Mayers. Numerical solution of partial differential equations. An introduction. Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 2005. ISBN 978-0-521-60793-0; 0-521-60793-0. doi: 10.1017/CBO9780511812248. MR 2153063.
• [11] M. Musiela and M. Rutkowski. Martingale methods in financial modelling, volume 36 of Applications of Mathematics (New York). Springer-Verlag, Berlin, 1997. ISBN 3-540-61477-X. doi: 10.1007/978-3-662-22132-7. MR 1474500.
• [12] R. Rannacher. Finite element solution of diffusion problems with irregular data. Numerische Mathematik, 43 (2): 309-327, jun 1984. doi: 10.1007/bf01390130. MR 0736087.
• [13] W. Schachermayer and J. Teichmann. How close are the option pricing formulas of bachelier and black-merton-scholes? Mathematical Finance, 18 (1): 155-170, 2008. doi: 10.1111/j.1467-9965.2007.00326.x. MR 2380944.
• [14] M. Smoluchowski. Sur le chemin moyen parcouru par les molécules d’un gaz et sur son rapport avec la théorie de la diffusion. Krakauer Anzeiger, pages 202-213, 1906. doi: 10.1051/jphystap:019070060066001. JFM 37.0947.01.
• [15] J. M. Steele. Stochastic calculus and financial applications, volume 45. Springer Science & Business Media, 2012. ISBN 0-387-95016-8. doi: 10.1007/978-1-4684-9305-4. MR 1783083.
• [16] D. Tavella and C. Randall. Pricing financial instruments: The finite difference method, volume 13. John Wiley & Sons, 2000. doi: 10.1002/wilm.42820030318.
• [17] J. W. Thomas. Numerical partial differential equations: finite difference methods, volume 22. Springer Science & Business Media, 2013. ISBN 0-387-97999-9. doi: 10.1007/978-1-4899-7278-1. MR 1367964.
• [18] N.Wiener. The average of an analytic functional and the Brownian movement. Nat. Acad. Proc., 7 (10): 294-298, 1921. doi: 10.1073/pnas.7.10.294. JFM 48.0471.05.
• [19] P. Wilmott, S. Howison, and J. Dewynne. The mathematics of financial derivatives. A student introduction. Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-49699-3. doi: 10.1017/cbo9780511812545. MR 1357666.
• [20] C. M. Young and T. J. Saunders. Aristotle: Politics, books I and II. The Philosophical Review, 109 (1): 87-88, jan 2000. doi: 10.2307/2693556.

Uwagi

Opracowanie rekordu w ramach umowy 509/P-DUN/2018 ze środków MNiSW przeznaczonych na działalność upowszechniającą naukę (2019).