On computing periodic orbits itineraries for Lorenz-like maps

• Autorzy: Llovera Trujillo Frank Fernando

Identyfikatory

DOI

10.14708/ma.v52i2.7346

Warianty tytułu

PL

Obliczanie tras okresowych dla odwzorowań Lorenza

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

Existence and structure of periodic orbits is an important part of the investigation of dynamical systems. However, analytical calculations are possible only in very few cases and numerical identification of periodic orbits is possible only when these are attracting for a large set of initial conditions. This in particular constitutes a challenge especially in chaotic systems. In this work, following theoretical findings of W. Geller and M. Misiurewicz (2018), we outline a procedure that allows for determining the itineraries of vast majority of periodic orbits of Lorenz-like maps. We provide explicit algorithms with ready-to-use computational tools available in open repositories. Since Lorenz-like maps arise as subsystems of many complex models and are prevalent in various applications, our results open a way of investigation of their periodic structure.

PL

Istnienie i struktura orbit okresowych stanowią istotną część badań układów dynamicznych. Obliczenia analityczne są jednak możliwe tylko w nielicznych przypadkach, a numeryczna identyfikacja orbit okresowych jest wykonalna jedynie wtedy, gdy są one atraktorami dla dużego zbioru warunków początkowych. Stanowi to szczególne wyzwanie, zwłaszcza w układach chaotycznych. W niniejszej pracy, opierając się na teoretycznych wynikach W. Gellera i M. Misiurewicza (2018), przedstawiamy procedurę umożliwiającą określenie trajektorii zdecydowanej większości orbit okresowych odwzorowań typu Lorenz. Podajemy także konkretne algorytmy wraz z gotowymi do użycia narzędziami obliczeniowymi, dostępnymi w otwartych repozytoriach. Ponieważ odwzorowania Lorenza występują jako podukłady wielu złożonych modeli i są powszechne w różnych zastosowaniach, nasze wyniki otwierają nowe możliwości badania ich okresowej struktury.

Słowa kluczowe

EN

Lorenz-like maps; periodic orbits; itinerary; rotation interval; Farey-Lorenz permutations; random binary sequences

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2024
• Tom: Vol. 52, no. 2
• Strony: 245--269
• Opis fizyczny: Bibliogr. 14 poz., tab., wykr.

Twórcy

autor

Llovera Trujillo Frank Fernando

• Gdańsk University of Technology, Doctoral School Gabriela Narutowicza 11/12 80-233 Gdańsk, Poland

• https://orcid.org/0000-0001-5979-3584

Bibliografia

• [1] L. Alsedà, J. Llibre, M. Misiurewicz and C. Tresser, Periods and entropy for Lorenz-like maps Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 39, 1989, 929-952.
• [2] P. Bartłomiejczyk, F. Llovera-Trujillo and J. Signerska-Rynkowska, Spike patterns and chaos in a map-based neuron model, Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. 33, 2023, 395-408.
• [3] P. Bartłomiejczyk, F. Llovera-Trujillo and J. Signerska-Rynkowska, Analysis of dynamics of a map-based neuron model via Lorenz maps, Chaos, 34, 2024, 043110
• [4] P. Bartłomiejczyk, F. Llovera Trujillo and J. Signerska-Rynkowska, FUPOlibrary, https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/135937-fupolibrary, MATLAB Central File Exchange, 2023. Retrieved September 27, 2023.
• [5] P. Bartłomiejczyk, F. Llovera Trujillo and J. Signerska-Rynkowska, FUPOlibrary, https://github.com/bartlomiejczyk/FUPOlibrary, GitHub repository, 2023. Retrieved September 27, 2023.
• [6] Y. Choi, Attractors from one dimensional Lorenz-like maps, Discrete Contin. Dyn. Syst., 11 (2004), 715-730.
• [7] M. Courbage, V. I. Nekorkin and L. V. Vdovin, Chaotic oscillations in a map-based model of neural activity, Chaos 17, 043109, 2007.
• [8] W. Geller andM. Misiurewicz, Farey-Lorenz permutations for interval maps, Int. J. Bifurcation Chaos, 28 (2018), 1850021.
• [9] R. L. Graham, D. E. Knuth and O. Patashnik, Concrete mathematics. Second Edition, Addison-Wesley Publishing Company, Inc, 1994.
• [10] A. Lempel and J. Ziv, On the Complexity of Finite Sequences, IEEE Trans. Inf. Theory 22 (1976), 75-81.
• [11] P. Oprocha, P. Potorski and P. Raith, Mixing properties in expanding Lorenz maps, Adv. Math. 343 (2019), 712-755.
• [12] F. Rhodes and Ch. L. Thompson, Rotation numbers for monotone functions on the circle, London Math. Soc. 34 (1986), 360-368.
• [13] J. E. Rubin, J. Signerska-Rynkowska, J. D. Touboul and A. Vidal, Wild oscillations in a nonlinear neuron model with resets: (II) Mixed-mode oscillations, Discrete Contin. Dyn. Syst. - B 22 (2017), 4003-4039.
• [14] Q. Thai, calc_lz_complexity, https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/38211-calc_lz_complexity, MAT-LAB Central File Exchange. Retrieved February 27, 2024.