Numerical calculation of singular integrals for different formulations of Boundary Element

• Autorzy: Sikora J. , Polakowski K. , Pańczyk B.

Identyfikatory

DOI

10.15199/48.2017.11.37

Warianty tytułu

PL

Metoda regularyzacji numerycznego obliczania całek osobliwych stosowanych w różnych rozwiązaniach Metody Elementu Brzegowego

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

This paper presents a method of regularization for the numerical calculation of singular integrals used in different formulations of Boundary Element Method. The singular integrals arise when elements of order higher than zero are used for discretization. Very often in the Diffusive Optical Tomography for infant head modeling, triangular or square curvilinear boundary elements of the second order are used hence, our interest in the subject of effective and accurate calculation of singular integrals. Even for the classical formulation of BEM such a problem is extremely difficult. Some authors believe that the practical application possesses only flat triangular boundary elements of zero-order, and although there is some truth in this statement, Diffusion Optical Tomography elements of the second order show a significant advantage. This issue becomes even more interesting when we deal with the Galerkin BEM formulation offering the possibility of symmetrisation of the main matrix, which has fundamental importance for inverse problems. This matter becomes critical when we start to consider the Fourier BEM formulation, introduced by Duddeck. His approach provides the possibility of a solution in the case that there is no fundamental solution. The light propagation, which is described by the Boltzmann equation is such a case. Currently and most commonly, the Boltzman equation is approximated by the diffusion equation in strongly light scattering media. In the authors opinion, the problem of numerical integration of singular integrals has not yet been fully exhausted in the classic and Galerkin BEM formulation but the Fourier BEM formulation still expects the proposals of the solutions. Such an offer we would like to present in this paper.

PL

W artykule przedstawiono metodę regularyzacji numerycznego obliczania całek osobliwych stosowanych w różnych rozwiązaniach Metody Elementu Brzegowego. Całki osobliwe powstają, gdy do dyskretyzacji zostaną użyte elementy wyższego rzędu niż zero. Bardzo często w dyfuzyjnej tomografii optycznej użytej do modelowania głowy dziecka używa się trójkątnych lub kwadratowych krzywoliniowych elementów brzegowych drugiego rzędu i dlatego nasze zainteresowanie dotyczy tematu skutecznego i dokładnego obliczenia całek osobliwych. Nawet w przypadku klasycznego sformułowania MEB ten problem jest wyjątkowo trudny. Niektórzy autorzy uważają, że praktyczne zastosowanie mają tylko płaskie trójkątne elementy brzegowe zerowego rzędu i chociaż w tym stwierdzeniu jest trochę prawdy, to dyfuzyjna tomografia optyczna stosując elementy brzegowe drugiego rzędu wykazuje znaczącą przewagę. Kwestia ta staje się jeszcze bardziej interesująca, gdy mamy do czynienia ze sformułowaniem Galerkina MEB, oferującym możliwość użycia symetrycznej macierzy współczynników, która ma fundamentalne znaczenie przy rozwiazywaniu problemów odwrotnych. Ta kwestia staje się krytyczna, gdy zastosujemy sformułowanie Fouriera w MEB, wprowadzoną przez Duddecka. Jego podejście daje szanse rozwiązania w przypadku braku rozwiązania fundamentalnego. Rozchodzenie światła, opisane przez równanie Boltzmanna jest takim przypadkiem. Obecnie, równanie Boltzmana jest przybliżane równaniem dyfuzji w ośrodkach silnie rozpraszających światło. W opinii autorów, problem numerycznego całkowania całek osobliwych nie został w pełni wyczerpany w klasycznej formule MEB i dla sformułowania Galerkina, ale formuła MEB Fouriera nadal oczekuje nowych rozwiązań. Propozycję takiego rozwiązania chcielibyśmy zaprezentować w tym artykule.

Słowa kluczowe

EN

Boundary Element Method; Galerkin BEM; Fourier BEM; numerical integration of singular integrals

PL

metoda elementów brzegowych; MEB Galerkina; MEB Fouriera; całkowanie numeryczne całek osobliwych

• Wydawca: Wydawnictwo SIGMA-NOT
• Czasopismo: Przegląd Elektrotechniczny
• Rocznik: 2017
• Tom: R. 93, nr 11
• Strony: 181--185
• Opis fizyczny: Bibliogr. 16 poz., rys., tab.

Twórcy

autor

Sikora J.

• Electrical Engineering and Computer Science Faculty, Lublin University of Technology, 20-618 Lublin 38A Nadbystrzycka str.

autor

Polakowski K.

• The Faculty of Electrical Engineering, Warsaw University of Technology, 00-661 Warszawa, Pl. Politechniki 1, Poland

autor

Pańczyk B.

• Electrical Engineering and Computer Science Faculty, Lublin University of Technology, 20-618 Lublin 38A Nadbystrzycka str.

Bibliografia

• [1] Aliabadi M.H., Hall W.S.: The regularizing transformation integration method for boundary element kernels. Comparison with series expansion and weighted Gaussian integration methods. Engineering Analysis with Boundary Elements, 6(2): 66–70, 1989.
• [2] Arridge S.R.: Optical tomography in medical imaging. Inverse Problems, 15(2):R41–R93, 1999.
• [3] BEMlab web page address: http://bemlab.org/wiki/Main_Page
• [4] Bond C.: A new integration method providing the accuracy of Gauss–Legendre with error estimation capability. http://www.crbond.com/papers/gbint.pdf.
• [5] Duddeck F.M.E.: Fourier BEM. Springer–Verlag, 2002. Lecture Notes in 258 Applied Mechanics, Volume 5.
• [6] Grzywacz T., Sikora J., Wojtowicz S.: Substructuring Methods for 3-D BEM Multilayered Model for Diffuse Optical Tomography Problems, IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 44, Issue: 6, June 2008, pp. 1374-1377.
• [7] Łukasik E., Pańczyk B., Sikora J.: Calculation of the Improper Integrals for Fourier Boundary Element Method, Informatics Control Measurement in Economy and Environmental Protection (IAPGOS), ISBN 2083-0157, No. 3 2013, pp.7-10.
• [8] Maischak, M.: Maiprogs. http://www.ifam.unihannover.de/~maiprogs, 2013.
• [9] Polakowski K.: Tomography Visualization Methods for Monitoring Gases in the Automotive Systems, Chapter in: New Trends and Developments in Automotive Industry, Edited by M. Chiaberge, (ISBN: 978 - 953 - 307 - 999 - 8), INTECH, 2011, pp. 193 - 208.
• [10] Rymarczyk T., Filipowicz S.F., Sikora J., Polakowski K.: Applying the level set methods and the immersed interface method in EIT, PRZEGLĄD ELEKTROTECHNI-CZNY (Electrical Review), R. 85 NR 4/2009, pp. 68-70.
• [11] Sikora J., Zacharopoulos A., Douiri A., Schweiger M., Horesh L., Arridge S.R. and Ripoll J.: Diffuse photon propagation in multilayered geometries. Physics in Medicine and Biology, vol. 51, 2006, pp. 497-516.
• [12] Sikora J.: Boundary Element Method for Impedance and Optical Tomography, Warsaw University of Technology Publisher, 2007.
• [13] Śmigaj W., Betcke T., Arridge S.R., Phillips J., Schweiger M.: Solving Boundary Integral Problems with BEM++, ACM Transactions on Mathematical Software, Vol. 41, No. 2, Article 6, Publication date: January 2015, DOI: http://dx.doi.org/10.1145/2590830.
• [14] Wieleba P., Sikora J.: Open Source BEM Library - Advances in Engineering Software, 2008, issn = 0965-9978, doi = 10.1016/j.advengsoft.2008.10.007.
• [15] Wieleba P., Sikora J.: BEMLAB – Universal, Open source, Boundary Element Method library applied in Micro-Electro-Mechanical Systems, Studies in Applied Electromagnetics and Mechanics 35, Electromagnetic Nondestructive Evaluation (XIV) Eds. T. Chady at. all., IOS Press, 2011, pp. 173-182.
• [16] http://portal.tugraz.at/portal/page/portal/Files/i2610/files/Forschung/Software/HyENA/html/index.html

Uwagi

Opracowanie ze środków MNiSW w ramach umowy 812/P-DUN/2016 na działalność upowszechniającą naukę (zadania 2017).