Law of the iterated logarithm type results for random vectors with infinite second moments

• Autorzy: Einmahl U.

Identyfikatory

DOI

10.14708/ma.v44i1.1193

Warianty tytułu

PL

Prawa typu iterowanego logarytmu dla wektorów losowych z nieskończonym drugim momentem.

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

This survey paper is an extended version of the author’s presentation at the conference in honor of Professor F. Thomas Bruss at the occasion of his retirement as Chair of Mathématiques Générales from the Unversité Libre de Bruxelles which was held September 9-11, 2015 in Brussels. I first present some results generalizing the classical Hartman-Wintner law of the iterated logarithm to 1-dimensional variables with infinite second moments and then I show how these results can be further extended to the d-dimensional setting. Finally, I look at general functional law of the iterated logarithm type results.

PL

Ten tekst jest rozszerzoną wersją prezentacji autora na konferencji A path through probability in honour of F. Thomas BRUSS która odbyła się na Unversité Libre de Bruxelles w Brukseli w dniach 9-11 września 2015 roku. W pierwszej części przedstawiam niektóre wyniki uogólniając klasyczne prawo Hartmana-Wintnera iterowanego logarytmu dla zmiennych 1-wymiarowych z nieskończonym drugim momentem, a następnie pokazuję, jak te wyniki mogą być rozszerzone do zagadnień d-wymiarowych. Wywody kończę na ogólnym funkcjonalnym prawie tego typu.

Słowa kluczowe

EN

Hartman-Wintner LIL; functional LIL; infinite variance; LIL behavior; very slowly varying function; cluster sets; strong invariance principle

PL

PIL Hartmana-Wintnera; funkcjonalne PIL; nieskończona wariancja; zachowania typu PIL; funkcje wolno zmieniające się; zbiory skupień; zasada silnej niezmienniczości

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2016
• Tom: Vol. 44, No. 1
• Strony: 167--181
• Opis fizyczny: Bibliogr. 22 poz.

Twórcy

autor

Einmahl U.

• Vrije Universiteit Brussel, Departement Wiskunde, Pleinlaan 2, B-1050 Brussel, Belgium

Bibliografia

• [1] Chow, Y. S. and Teicher, H. (1988): Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales 2nd edition, Springer, Berlin Heidelberg New York.
• [2] Einmahl, U. (1989): Stability results and strong invariance principles for partial sums of Banach space valued random variables. Ann. Probab. 17, 333–352. Zbl 0669.60035 doi: 10.1214/aop/1176991512.
• [3] Einmahl, U. (1995): On the cluster set problem for the generalized law of the iterated logarithm in Euclidean space. Ann. Probab. 23, 817–851. Zbl 0833.60029 doi: 10.1214/aop/1176988292.
• [4] Einmahl, U. (2007): A generalization of Strassen’s functional LIL. J. Theoret. Probab. 20, 901–915. Zbl 1140.60015 doi: 10.1007/s10959-007-0091-0.
• [5] Einmahl, U. (2009): A new strong invariance principle for sums of independent random vectors. J. Math. Sciences 163, 311–327. Zbl 1288.60040 doi: 10.1007/s10958-009-9676-8.
• [6] Einmahl, U. and Kuelbs, J. (2001): Cluster sets for a generalized law of the iterated logarithm in Banach spaces. Ann. Probab. 29, 1451–1475. Zbl 1021.60002 doi: 10.1214/aop/1015345758.
• [7] Einmahl, U. and Kuelbs, J. (2014): Cluster sets for partial sums and partial sum processes. Ann. Probab. 42, 1121–1160. doi: 10.1214/12-AOP827.
• [8] Einmahl, U. and Li, D. (2005): Some results on two-sided LIL behavior. Ann. Probab. 33, 1601–1624. doi: 10.1214/009117905000000198.
• [9] Einmahl, U. and Li, D. (2008): Characterization of LIL behavior in Banach space. Trans. Am. Math. Soc. 360, 6677–6693. doi: 10.1090/S0002-9947-08-04522-4.
• [10] Feller, W. (1968): An extension of the law of the iterated logarithm to variables without variance. J. Math. Mech. 18, 343-355. doi: 10.1512/iumj.1969.18.18027.
• [11] Hartman, P. and Wintner, A. (1941): On the law of the iterated logarithm. Amer. J. Math. 63, 169–176. doi: 10.2307/2371287.
• [12] Kesten, H. (1972): Sums of independent random variables without moment conditions. Ann. Math. Statist. 43, 701–732. doi: 10.1214/aoms/1177692541.
• [13] Klass, M. (1976): Toward a universal law of the iterated logarithm I. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 36, 165–178. doi: 10.1007/BF00533999.
• [14] Klass, M. (1977): Toward a universal law of the iterated logarithm II. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 39, 151–165. doi: 10.1007/BF00535183.
• [15] Kuelbs, J. (1985): The LIL when X is in the domain of attraction of a Gaussian law. Ann. Probab. 13, 825–859. doi: 10.1214/aop/1176992910.
• [16] Ledoux, M. and Talagrand, M. (1991): Probability in Banach spaces. Springer, Berlin Heidelberg New York.
• [17] Li, D., Qi, Y. and Rosalsky, A. (2007): Some results on one-sided iterated logarithm type behavior. Acta Sci. Math. (Szeged) 73, 367-395. Zbl 1135.60308 MR 2339871.
• [18] Liu, W., Fu, K and Zhang, L. (2008): A LIL for independent non-identically distributed random variables in Banach space and its applications. Science in China Series A: Mathematics, 51, 219-232. doi: 10.1007/s11425-007-0197-y.
• [19] Martikainen, A. I. (1984): Criteria for strong convergence of normalized sums of independent random variables and their application. Theory Probab. Appl. 29 502–516. doi: 10.1137/1129065.
• [20] Philipp, W. (1979): Almost sure invariance principles for sums of B-valued random variables. In: Probability in Banach spaces II. Lecture Notes in Mathematics 709, 171–193. Springer, Berlin Heidelberg New York. doi: 10.1007/BFb0071957.
• [21] Strassen, V. (1964): An invariance principle for the law of the iterated logarithm. Z. Wahrsch. Verw. Geb. 3, 211–226. doi: 10.1007/BF00534910.
• [22] Strassen, V. (1966): A converse to the law of the iterated logarithm. Z. Wahrsch. Verw. Geb. 4, 265–268. doi: 10.1007/BF00539114.

Uwagi

Opracowanie ze środków MNiSW w ramach umowy 812/P-DUN/2016 na działalność upowszechniającą naukę.