Using a CAS to visualize some images of lines mapped via the harmonic cross-ratio

• Autorzy: Korczak E. , Marlewski A.

Warianty tytułu

PL

Wizualizacja obrazów prostych w pewnym przekształceniu realizowanym za pomocą dwustosunku korzystająca z systemu algebry komputerowej

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

Let K be a cubic curve in the projective space P 3 and let T1 and T2 be points determining a bisecant T1T2 of K. We fix a point A on K and a point B≠A which does not lay on K, and such that T1T2 ≠AB. We are interested in the set of points X generated by the equation (T1, T1; M, X) = –1 where M denotes the point at which AB meets the bisecant T1T2. So we consider the line congruence of order 1 and of class 3 in the aspect of the harmonic cross-ratio. We derive theoretic formulas for the set of X ‘s and we go on in the harmonic case– then the set of X ’s is a conic. We use the computer algebra system Derive 5 from Texas Instruments, Inc., USA, to produce visualizations of the images of resulting curves.

PL

Niech K będzie krzywą przestrzenną rzędu trzeciego w przestrzeni rzutowej P 3 i niech M będzie dowolnym punktem tej przestrzeni nieleżącym na K. W wiązce prostych, której wierzchołkiem jest M, znajduje się dokładnie jedna bisekanta. Punkty, w których przecina ona krzywą K, oznaczamy przez T1 i T2. Tematem pracy jest zbadanie miejsc geometrycznych punktów X i T1T2, dla których dwustosunek (T1, T2; M, X) = –1, gdy punkt M przebiega prostą, którą wyznaczają ustalone punkt krzywej K i punkt, który na K nie leży. Badanie to przeprowadzamy przy użyciu programu Derive 5 for Windows (Texas Instruments, Inc.).

Słowa kluczowe

EN

projective geometry; cross-ratio; conics; bisecant; visualization; computer algebra system

PL

geometria rzutowa; dwustosunek czterech punktów; krzywe; wizualizacja; system algebry komputerowej

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Geometrii i Grafiki Inżynierskiej
• Czasopismo: Journal Biuletyn of Polish Society for Geometry and Engineering Graphics
• Rocznik: 2012
• Tom: Vol. 23
• Strony: 11--19
• Opis fizyczny: Bibliogr. 7 poz.

Twórcy

autor

Korczak E.

• Poznań University of Technology, Faculty of Electrical Engineering, Department of Mathematics Piotrowo St. 45E, 60-965 Poznań, Poland

autor

Marlewski A.

• Poznań University of Technology, Faculty of Electrical Engineering, Department of Mathematics Piotrowo St. 45E, 60-965 Poznań, Poland

Bibliografia

• [1] Arrondo E.: Line congruences of low order. Milan J.of Math. 70 (2002), 223-243.
• [2] Calvet R.G.: Treatise of plane geometry. http://yalwadi.tripod.com/sitebuilder content/sitebuilderfiles/calvet-plane-geometry-through-geometric-algebra-200.pdf
• [3] Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften III 2.1. Teubner Leipzig, 1903-15.
• [4] Grosche G.: Projektive Geometrie I,II. Teubner Verlag, Leipzig, 1957.
• [5] Hudson H.: Cremona transformation in plane and space. Cambridge University Press, 1927, xx+454 pp.
• [6] Korczak E.: A Quadratic Transformation Based on a Straight Line and a Conic. J. for Geometry and Graphics, Vol.6 (2002), No.2, 151-165.
• [7] Sasaki T.: Line congruence and transformation of projective surfaces. Kyushu J.Math. 60 (2006), 101-243.