The conic of centers S2 of a pencil P2 1=2=3,4

• Autorzy: Wojtowicz B.

Warianty tytułu

PL

Stożkowe środków pęku P2 1=2=3,4

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The E-transformation is quadratic in the projective 2-dimensional space and based on the circle n2 and the center W, which lies on the circle n2 . In the E-transformation to the straight line a’ corresponds a conic a2. The elation has been defined, where a’ is a vanishing line, the line ta parallel to a’ and passing through the point W is the axis of elation. All lines that do not pass through the center of the transformation W will correspond to osculary conics passing through the three points 1=2=3 coinciding with the center W. The centers of these conics make also a conic of centers s2. Special cases are distinguished dependent on whether the base quadrangle 1=2=3,4 is concave or convex. The case with point 4 lying at infinity has been discussed. Two theorems have been formulated and proved.

PL

Praca jest kontynuacją artykułu „Pęki stożkowych nadściśle stycznych (P2 1=2=3,4)” ([6]), w której omówiono przekształcenie kwadratowe „E”, dla którego bazą jest okrąg n2, natomiast środkiem przekształcenia jest punkt W leżący na okręgu n2. Stwierdzono, że wszystkie proste, które nie przechodzą przez punkt W, przekształcają się w stożkowe wzajemnie ściśle styczne czyli przechodzące przez trzy punkty 1=2=3 pokrywające się z punktem W. Środki poszczególnych stożkowych pęku leżą na stożkowej, którą nazwano stożkowa środków i oznaczono s2. W pracy omówiono trzy przypadki, w których w zależności od czworokąta podstawowego 1=2=3,4 stożkowa środków s2 jest hiperbolą, elipsą, parabolą. Przedstawiono również twierdzenie, z którego wynika, iż mając zadaną stożkową środków s2 można wyznaczyć bazę n2 przekształcenia „E” oraz wyznaczyć średnice sprzężone lub asymptoty poszczególnych stożkowych pęku P2 1=2=3,4. W pracy pokazano, że pęk stożkowych P2 1=2=3,4, którego elementami są stożkowe a2, b2, c2,…. jest rzutowy do szeregu punktów rzędu drugiego, którego podstawą jest „stożkowa środków” s2, a elementami są punkty Sa, Sb, Sc, ... będące środkami stożkowych a2, b2, c2,…..

Słowa kluczowe

EN

projective geometry; conic of centers; base quadrangle; elation

PL

geometria rzutowa; ośrodek stożkowaty; podstawa czworoboku

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Geometrii i Grafiki Inżynierskiej
• Czasopismo: Journal Biuletyn of Polish Society for Geometry and Engineering Graphics
• Rocznik: 2008
• Tom: Vol. 18
• Strony: 19--25
• Opis fizyczny: Bibliogr. 8 poz.

Twórcy

autor

Wojtowicz B.

• Cracow University of Technology Warszawska 24, 31-155 Kraków, Poland

Bibliografia

• [1] Coxeter H.S.M.: Introduction to Geometry. John Wiley & Sons, Inc., New York, London 1961.
• [2] Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa. PWN, Warszawa 1956.
• [3] Szerszeń St.: Nauka o rzutach., PWN, Warszawa 1974.
• [4] Plamitzer A.: Elementy geometrii rzutowej. Lwów 1927.
• [5] Plamitzer A.: Geometria rzutowa. Komitet Wydawniczy Podręczników Akademickich, Warszawa 1938.
• [6] Wojtowicz B.: Pencils of osculary tangent conics. The Journal BIULETYN of Polish Society of Geometry and Engineering Graphics, Vol.17, Gliwice 2007.
• [7] Kaczmarek J.: Konstrukcje okręgów ściśle stycznych do stożkowych wynikające z przekształcenia elacyjnego. Zeszyty Naukowe – Geometria Wykreślna Warszawa 1964.
• [8] Jonak M.: Paraboles d'un faisceau ponctuel de coniques, Zeszyty Naukowe AGH im St. Staszica – Opuscula Mathematica, Vol.5, Kraków 1989.