O najmniejszych pierwiastkach pierwotnych modulo liczba pierwsza, które są liczbami złożonymi

• Autorzy: Paszkiewicz Andrzej

Identyfikatory

DOI

10.15199/59.2020.4–5.4

Warianty tytułu

EN

On the least primitive roots modulo a prime number which are composite

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

W artykule pokazano, na drodze analizy numerycznej wyników uzyskanych za pomocą badań komputerowych, jaki procent liczb pierwszych ma najmniejszy generator grupy multiplikatywnej, który jest liczbą złożoną. Ustalono, że związane z liczbami pierwszymi ich najmniejsze niereszty kwadratowe wykluczają pewne liczby złożone jako potencjalne ich generatory. Wyniki pracy mogą znaleźć praktyczne zastosowanie do konstrukcji systemów dystrybucji kluczy kryptograficznych w systemach Diffiego-Hellmana oraz zastosowania teoretyczne w multiplikatywnej teorii liczb.

EN

It has been shown by numerical analysis what percent of prime numbers have its least generator of the multiplicative group a composite number. It is stated, that the least quadratic non-residues of prime numbers exclude some composite numbers as their potential multiplicative generators. Results of the paper can be practically applied in modern cryptography to construction of key exchange schemes such as Diffie-Hellman protocol. It can also be applicable in multiplicative number theory.

Słowa kluczowe

PL

logarytm dyskretny; generator grupy skończonej; pierwiastek pierwotny; niereszta kwadratowa; schemat Diffiego-Hellmana; dystrybucja klucza

EN

discrete logarithm; generator of a finite group; primitive root; quadratic non-residue; Diffie-Hellman scheme; key distribution

• Wydawca: Wydawnictwo SIGMA-NOT
• Czasopismo: Przegląd Telekomunikacyjny + Wiadomości Telekomunikacyjne
• Rocznik: 2020
• Tom: nr 4-5
• Strony: 80--90
• Opis fizyczny: Bibliogr. 7 poz., rys.

Twórcy

autor

Paszkiewicz Andrzej

• Instytut Matematyki i Kryptologii, Wojskowa Akademia Techniczna

Bibliografia

• [1] Elliott P. D. T. A., L. Murata, On the average value of the least primitive root modulo p, J. of London Mathematical Soc., 1997, 56 (2), 435-454.
• [2] Paszkiewicz A., Badania eksperymentalne najmniejszych pierwiastków pierwotnych w ciałach skończonych GF(p) dla liczb pierwszych p mniejszych od pół miliarda, X Krajowe Sympozjum Telekomunikacji’94, t B, 72 – 81.
• [3] Paszkiewicz A., Najmniejsze pierwiastki pierwotne w ciałach skończonych. Praktyczna weryfikacja niektórych hipotez, XI Krajowe Sympozjum Telekomunikacji’95, t B, 255-263.
• [4] Paszkiewicz A., A. Schinzel, Numerical calculations of prime numbers with a given least primitive root, Math. Comp. 2001, 71 (240), 1781- 1797.
• [5] Paszkiewicz A., A. Schinzel, On the least prime primitive root modulo a prime, Math. Comp. 71 (2002), 1307-1321.
• [6] Paszkiewicz A., Badania własności liczb pierwszych i wielomianów nieprzywiedlnych pod kątem zastosowania w telekomunikacji, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2012.
• [7] Western A. E., J. C. P. Miller, Tables of indices and primitive roots, Royal Society Mathematical Tables, vol. 9, Cambridge 1968, XXXVII-L.

Uwagi

PL

Opracowanie rekordu ze środków MNiSW, umowa Nr 461252 w ramach programu "Społeczna odpowiedzialność nauki" - moduł: Popularyzacja nauki i promocja sportu (2020).