An exponential diophantine equation on triangular numbers

• Autorzy: Hamtat Abdelkader

Identyfikatory

DOI

10.14708/ma.v51i1.7196

Warianty tytułu

PL

Wykładnicze równanie diofantyczne na liczbach trójkątnych

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

Triangular numbers have the property that the difference of two consecutive terms in a sequence of triangular numbers is equal to the index of the first one. They also have the property that the difference of the squares of consecutive numbers is equal to the third power of the index of the first number. The aim of the work is to investigate the analogous exponential Diophantine equation. We consider the equation: the difference of the x-th powers of a sequence of triangular numbers is equal to the y-power of the index of the first one, for some positive integers x,y. We show that the above equation has only solutions (x,y)=(1,1) and (2,3).

PL

Liczby trójkątne mają tę właściwość, że różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu liczb trójkątnych jest równa indeksowi pierwszego. Mają też tę właściwość, że różnica kwadratów kolejnych liczb jest równa trzeciej potędze indeksu pierwszej liczby. Celem pracy jest zbadanie analogicznego diofantycznego równania wykładniczego. Rozważmy równanie: różnica x-tych potęg ciągu liczb trójkątnych jest równa potędze y indeksu pierwszej, dla pewnych dodatnich liczb całkowitych x, y. Pokazujemy, że powyższe równanie ma tylko rozwiązania (x, y) = (1, 1) i (2, 3).

Słowa kluczowe

EN

triangular numbers; diophantine equation

PL

liczby trójkątne; równanie diofantyczne

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2023
• Tom: Vol. 51, no. 1
• Strony: 99--107
• Opis fizyczny: Bibliogr. 14 poz.

Twórcy

autor

Hamtat Abdelkader

• University Centre of Tipaza Morsli Abdellah,Tipaza, Algeria Laboratory of Algebra and Number theory USTHB, Algiers, Algeria

• https://orcid.org/0000-0002-4415-375X

Bibliografia

• [1] M. Abouzaid. Les nombres de lucas et lehmer sans diviseur primitif. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 18(2):299–313, 2006.
• [2] Y. Bilu, G. Hanrot, and P. M. Voutier. Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers (with an appendix by M. Mignotte). J. Reine Angew. Math., 539:75–122, 2001. ISSN 0075-4102. doi: 10.1515/crll.2001.080. Zbl 0995.11010.
• [3] G. D. Birkhoff and H. S. Vandiver. On the integral divisors of an - bn. Ann. of Math.(2), 5(4):173–180, 1904.
• [4] A. Gelfond. Sur la divisibilité de la différence des puissances de deux nombres entiers par une puissance d’un idéal premier. Математический сборник, 7(1):7–25, 1940.
• [5] A. Hamtat and D. Behloul. On a Diophantine equation on triangular numbers. Miskolc Math. Notes, 18(2):779–786, 2017. ISSN 1787-2405. doi: 10.18514/MMN.2017.1536. Zbl 1399.11091.
• [6] L. Jesmanowicz. Several remarks on pythagorean numbers. Wiadom. Mat, 1(2):196–202, 1955.
• [7] W. J. LeVeque. On the equation ax − by = 1. American Journal of Mathematics, pages 325–331, 1952.
• [8] K. Mahler. Zur Approximation algebraischer Zahlen. I: Über den grössten Primteiler binärer Formen. Math. Ann., 107:691–730, 1933. ISSN 0025-5831. doi: 10.1007/BF01448915. Zbl 0006.10502.
• [9] T. Miyazaki, A. Togbé, and P. Yuan. On the Diophantine equation ax + by = (a + 2)z . Acta Math. Hung., 149(1):1–9, 2016. ISSN 0236-5294. doi: 10.1007/s10474-016-0608-z. Zbl 1389.11088.
• [10] A. Schinzel and W. Sierpinski. Sur les triangles rectangulaires dont les deux cotes sont des nombres triangulaires. Matematički Vesnik, 13(24):145–147, 1961.
• [11] W. Sierpinski. Liczby trójkątne (Eng. trans. "Triangular numbers"), volume 12 of Biblioteczka Matematyczna. Państwowy Zakład Wydawnictw Szkolnych, Warszawa, 1961.
• [12] W. Sierpinski. Trois nombres tétraédraux en progression arithmétique. Elemente der Mathematik, 18:54–55, 1963.
• [13] N. Terai. On jeśmanowicz’conjecture concerning primitive pythagorean triples. Journal of Number Theory, 141:316–323, 2014.
• [14] K. Zsigmondy. Zur theorie der potenzreste. Monatshefte für Mathematik und Physik, 3:265–284, 1892.

Uwagi

PL

Opracowanie rekordu ze środków MEiN, umowa nr SONP/SP/546092/2022 w ramach programu "Społeczna odpowiedzialność nauki" - moduł: Popularyzacja nauki i promocja sportu (2022-2023).