£-rozstrzygalność pewnego trójwartościowego systemu

• Autorzy: Piróg-Rzepecka K.
• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Artykuł ten dotyczy logiki zdaniowej S* przedstawionej w pracy [5]. Rozważana logika zawiera funktory: ∨,∧,⇒,⟺,¬,*, z których cztery pierwsze są dwuargumentowe, dwa ostatnie - jednoargumentowe. Logika S* posiada adekwatną matrycę trójelementową, której uniwersum jest zbiór {l, 0,-l}, wartościami wyróżnionymi są elementy 1 i -1, zaś działania odpowiadające funktorom określone są następującymi tabelkami: [wzór] Aksjomatami systemu S* jest dowolny układ aksjomatów klasycznego rachunku zdań oraz następujące wyrażenia: Al. *p ⟺ *¬ A2. *(p ∧ q) ⟺*p *∧ q, A3.p ⇒ *p. Regułami pierwotnymi systemu są: reguła podstawiania w zwykłym sformułowaniu oraz reguła odrywania dla implikacji o następującym schemacie:[wzór] Zbiór tez systemu aksjomatycznego S* pokrywa się ze zbiorem tautologii tej logiki. W pracy podany jest dowód £-rozstrzygalności systemu S*, tzn., że system ten spełnia następujące warunki: (I) Zbiory wszystkich jego formuł uznanych (tez systemu) i wszystkich jego formuł odrzuconych są rozłączne; (II) Kazda formuła danego systemu bądź jest formułą uznaną, bądź odrzuconą. Dowód -rozstrzygalności dotyczy również wersji inwariantnej.

EN

This paper concerns the propositional logic S* which has been introduced in the paper [5]. The logic S* is defined in the sentential language which involves the following symbols: ∨,∧,⇒,⟺,¬,*, from which the first four are two-argument and the last two - one-argument. The systems S* is defined axiomatically by any axiom system for the classical propositional logic augmented with the following list of axioms: Al. *p ⟺ *¬ A2. *(p ∧ q) ⟺*p *∧ q, A3.p ⇒ *p. Furthemore, as the primitive rules for this system we have: - rule for substitution (in the ordinary formulation), - rule Modus Ponens (detachement) for implication given by the following scheme:[formula] We prove that the system S* has an adequate (in the weak sense) three-element matrix. Let M be the matrix for which the set {l,0, -l} forms its universe and {l,-l} is the set of the designated elements. The operations of M which correspond to the above symbols are defined by the following tables:[formula] It is shown that the set of logical theses of S* coincides with the content of , M i.e. with the set of all formulas valid in M We also prove that the systems S* is Ł-decidable, i.e. S* satisfies the following conditions: (I) The set of all provable and a11rejected formulas of S* are disjoint; (II) Each formula of the language od S* ie either provable or rejected (in S*).

Słowa kluczowe

PL

system nonsense-logics; logika; teoria mnogości; aksjomatyzacja

EN

logic; set theory; axiomatization

• Wydawca: Wydawnictwo Uniwersytetu Humanistyczno-Przyrodniczego im. Jana Długosza w Częstochowie
• Czasopismo: Scientific Issues of Jan Długosz University in Częstochowa. Mathematics
• Rocznik: 1999
• Tom: Vol. 6
• Strony: 55--69
• Opis fizyczny: Bibliogr. 16 poz.

Twórcy

autor

Piróg-Rzepecka K.

• Uniwersytet Opolski Instytut Matematyki ul. Oleska 48 45 - 052 Opole

Bibliografia

• [1] L. .Aqvist, Reflections on the Logic of Nonsense, Theoria, vol. XXVIII, 1962, Part 2, 138-158.
• [2] D. A. Boczwar, Ob odnom trechznacznom isczislenii i jego primenenii k anlizu paradoksow klasiczeskogo rasszirennogo funkcjonalnogo usczislenia (ros.), Matematiczeskij sbornik, T.I (46), N. 2, 1938.
• [3] G. Bryll, Metody odrzucania wyrażeń, Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ, Warszawa 1996.
• [4] S. Halldén , The Logic of Nonsense, Uppsala Universitets .Arsskrift, 1949: 9.
• [5] K. Hałkowska, Algebry związane z teoriami zawierającymi definicje warunkowe, OTPN-PWN, Warszawa-Wrocław 1979.
• [6] K. Hałkowska, A. Zając, O pewnym trójwartościowym systemie rachunku zdań, Acta Universitatis Wratislaviensis, No 1017, Prace Filozoficzne LVII (Logika 13), Wrocław 1988, 41-49.
• [7] S. c. Kleene, Introduction to Metamathematics, North-Holland Publishing, Amsterdam 1952.
• [8] J. Łukasiewicz, Z zagadnień logiki i filozofii. Pisma wybrane, PWN, Warszawa 1961.
• [9] G. Malinowski, Logiki wielowartościowe, PWN, Warszawa 1990.
• [10] K. Piróg-Rzepecka, Systemy nonsense-logics, OTPN-PWN, Warszawa- Wrocław 1977.
• [11] W. A. Pogorzelski, Klasyczny rachunek zdań, PWN, Warszawa 1973.
• [12] K. Segerberg, A Contribution to Nonsetise-Loqics, Theoria, XXXI, 1965, 199-217.
• [13] J. Słupecki, G. Bryll, U. Wybraniec-Skardowska, Theory of Rejected Propositions, part I, Studia Logica 29, 1971, 75-123.
• [14] J. Słupecki, K. Hałkowska, K. Piróg-Rzepecka, Logika i teoria mnogości, wyd. 2. PWN, Warszawa 1994.
• [15] A. Zbrzezny, Systemy logiczne związane ze strukturami częściowymi, Praca doktorska - promotor: K. Hałkowska, Uniwersytet Wrocławski 1990.
• [16] A. A, Zinoviev, Filozoficzne problemy logiki wielowartościowej, PWN, Warszawa 1963.