The toy model with two strong players in a weighted voting game

• Autorzy: Tomski A.

Identyfikatory

DOI

10.14708/ma.v42i2.524

Warianty tytułu

PL

Model-zabawka z dwoma silnymi graczami w grze ważonej

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The aim of this article is to compare a specific toy voting model with the results derived from the normal approximation techniques by Słomczyński et al in the previous papers. For this purpose we have constructed a model in which the optimal quota for the qualified majority has been estimated. The optimal quota is set in such a way that the voting power of each member of the voting body, measured by the (normalised) Penrose-Banzhaf index, is proportional to its voting weight. We present the ‘France-Germany’ model of two strong players each of which is c > 1 times stronger than each of the others and we estimate the quota in the case of c = 2. We check that these results are consistent with a formula derived from the normal approximation, where the quota we are looking for is the inflection point of the density function for this distribution.

PL

Celem niniejszego artykułu jest porównanie szczególnego typu wyborczego modelu-zabawki z wynikami uzyskanymi przy pomocy metod aproksymacji normalnej przez Słomczyńskiego i innych w poprzednich pracach. Dla tego celu skonstruowaliśmy model, w którym zostaje oszacowany próg optymalny dla większości kwalifikowanej. Próg optymalny jest to próg, który minimalizuje różnicę między siłą głosu członka ciała decyzyjnego, mierzoną za pomocą (znormalizowanego) indeksu Penrose‘a-Banzhafa, a jego wagą głosu. Wprowadzamy model „Francja-Niemcy” z dwoma silnymi graczami, w którym każdy z nich jest c > 1 razy silniejszy od reszty i szacujemy próg optymalny w przypadku c = 2. Sprawdzamy, że te wyniki są zgodne z oszacowaniem uzyskanym z aproksymacji normalnej, gdzie szukany próg jest punktem przegięcia krzywej gęstości rozkładu normalnego.

Słowa kluczowe

EN

toy model of voting with two strong players; Penrose-Banzhaf index; optimal quota; normal approximation

PL

model-zabawka z dwoma silnymi graczami; indeks Penrose‘a-Banzhafa; próg optymalny; aproksymacja normalna

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Matematyczne
• Czasopismo: Mathematica Applicanda
• Rocznik: 2014
• Tom: Vol. 42, No. 2
• Strony: 259--272
• Opis fizyczny: Bibliogr. 10 poz.

Twórcy

autor

Tomski A.

• Jagiellonian University Institute of Mathematics Łojasiewicza 6, 30-348 Kraków, Poland

Bibliografia

• [1] M.R. Feix, D. Leppelley, V. Merlin, and J.L. Rouet, On the voting power of an alliance and the subsequent power of its members, Social Choice and Welfare (28), 2007, 181–207.
• [2] I. M. Gelfand, M.M. Kapranov and A.V. Zelevinsky, Discriminants, resultants, and multidimensional determinants, Birkhäuser, 2010.
• [3] R.W. Gosper, Decision procedure for indefinite hypergeometric summation, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (75), 1979, 40–42.
• [4] M. Laakso and R. Taagepera, Efective number of parties: a measure with application to West Europe, Comparative Political Studies (12), 1979, 30–27.
• [5] L.S. Penrose, The elementary statistics of majority voting, Journal of the Royal Statistical Society (109), 1946, 53–57.
• [6] L.S. Penrose, On the Objective Study of Crowd Behaviour, H.K. Lewis & Co: London, 1952.
• [7] C.-F. Sturm, Collected Works (Edited by J.-C. Pont), Birkhäuser, 2009.
• [8] W. Słomczyński and K. Życzkowski, Voting in the European Union: The Square Root System of Penrose and a Critical Point, preprint cond-mat.04035396; May, 2004.
• [9] W. Słomczyński and K. Życzkowski, From a Toy Model to the Double Square Root Voting System, Homo Oeconomicus (24), 2007, 381–399.
• [10] F. Turnovec, J. Mercik and M. Mazurkiewicz, Shapley-Shubik or Penrose-Banzhaf? Badania operacyjne i systemowe. Podejmowanie decyzji. Podstawy metodyczne i zastosowania. Pod red. Romana Kulikowskiego, Janusza Kacprzyka, Romana Słowińskiego, Warszawa: ”Exit”,2004, 121–127