Effect Of Natural Convection On Directional Solidification Of Pure Metal

• Autorzy: Skrzypczak T. , Węgrzyn-Skrzypczak E. , Winczek J.

Identyfikatory

DOI

10.1515/amm-2015-0215

Warianty tytułu

PL

Wpływ konwekcji swobodnej na krzepnięcie kierunkowe czystego metalu

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The paper is focused on the modeling of the directional solidification process of pure metal. During the process the solidification front is sharp in the shape of the surface separating liquid from solid in three dimensional space or a curve in 2D. The position and shape of the solid-liquid interface change according to time. The local velocity of the interface depends on the values of heat fluxes on the solid and liquid sides. Sharp interface solidification belongs to the phase transition problems which occur due to temperature changes, pressure, etc. Transition from one state to another is discontinuous from the mathematical point of view. Such process can be identified during water freezing, evaporation, melting and solidification of metals and alloys, etc. The influence of natural convection on the temperature distribution and the solid-liquid interface motion during solidification of pure copper is studied. The mathematical model of the process is based on the differential equations of heat transfer with convection, Navier-Stokes equation and the motion of the interface. This system of equations is supplemented by the appropriate initial and boundary conditions. In addition the continuity conditions at the solidification interface must be properly formulated. The solution involves the determination of the temporary temperature and velocity fields and the position of the interface. Typically, it is impossible to obtain the exact solution of such problem. The numerical model of solidification of pure copper in a closed cavity is presented, the influence of the natural convection on the phase change is investigated. Mathematical formulation of the problem is based on the Stefan problem with moving internal boundaries. The equations are spatially discretized with the use of fixed grid by means of the Finite Element Method (FEM). Front advancing technique uses the Level Set Method (LSM). Chorin’s projection method is used to solve Navier-Stokes equation. Such approach makes possible to uncouple velocities and pressure. The Petrov-Galerkin formulation is employed to stabilize numerical solutions of the equations. The results of numerical simulations in the 2D region are discussed and compared to the results obtained from the simulation where movement of the liquid phase was neglected.

PL

Praca porusza problematykę modelowania kierunkowego krzepnięcia czystego metalu. Podczas tego procesu obserwuje się formowanie ostrego frontu krzepnięcia w postaci powierzchni separującej ciecz i ciało stałe w przypadku trójwymiarowym lub krzywej w przypadku płaskim. Położenie oraz kształt interfejsu krzepnięcia zmieniają się w czasie a wartości prędkości lokalnych zależą od różnicy intensywności strumieni ciepła po stronie ciała stałego i cieczy. Krzepnięcie z ostrym frontem należy do grupy procesów z przemianami fazowymi, które warunkowane są zmianami temperatury, ciśnienia, itp. Przejście fazowe z jednego stanu w drugi ma z matematycznego punktu widzenia charakter nieciągły. Procesy tego typu można zidentyfikować podczas zamarzania wody, parowania, topnienia i krzepnięcia metali i stopów, itp. W pracy zbadano wpływ zjawiska konwekcji swobodnej na chwilowy rozkład temperatury oraz ruch granicy narastania fazy stałej podczas krzepnięcia czystej miedzi w obszarze płaskim. Model matematyczny sformułowano na bazie równań różniczkowych transportu ciepła z konwekcją, Naviera-Stokesa i ruchu frontu krzepnięcia. Układ równań uzupełniono odpowiednimi warunkami początkowymi i brzegowymi oraz warunkami ciągłości na froncie. Rozwiązanie obejmuje chwilowe rozkłady temperatury, prędkości oraz położenie granicy międzyfazowej. Sformułowanie matematyczne zagadnienia bazuje na modelu z ruchomymi granicami wewnętrznymi, czyli tzw. modelu Stefana. Równania zostały zdyskretyzowane przestrzennie z wykorzystaniem metody elementów skończonych. W modelu numerycznym wykorzystano siatkę niezmienną w czasie. Do propagacji frontu użyto metody poziomic. Do wyznaczenia prędkości w cieczy wykorzystano metodę rzutowania, która poprzez eliminację ciśnienia z równania pędu pozwala na rozprzężenie prędkości i ciśnień. Równania rozwiązano z wykorzystaniem sformułowania Petrova-Galerkina. Omówiono wyniki analizy numerycznej oraz porównano je z wynikami otrzymanymi z symulacji, w której pominięto ruch cieczy.

Słowa kluczowe

EN

pure metal; solidification; sharp interface; natural convection; Finite Element Method (FEM); Level Set Method

PL

czysty metal; krzepnięcie; ostry front; konwekcja naturalna; metoda elementów skończonych; metoda poziomic

• Wydawca: Institute of Metallurgy and Materials Science of Polish Academy of Sciences ; Committee of Materials Engineering and Metallurgy of Polish Academy of Sciences
• Czasopismo: Archives of Metallurgy and Materials
• Rocznik: 2015
• Tom: Vol. 60, iss. 2A
• Strony: 835--841
• Opis fizyczny: Bibliogr. 38 poz., rys., tab., wykr., wzory

Twórcy

autor

Skrzypczak T.

• Institute of Mechanics and Machine Design Fundamentals, Faculty of Mechanical Engineering and Computer Science, Czestochowa University of Technology, 69 Dąbrowskiego Str., 42-201 Częstochowa, Poland

autor

Węgrzyn-Skrzypczak E.

• Institute of Mathematics, Faculty of Mechanical Engineering and Computer Science, Czestochowa University of Technology, 69 Dąbrowskiego Str., 42-201 Częstochowa, Poland

autor

Winczek J.

• Institute of Mechanics and Machine Design Fundamentals, Faculty of Mechanical Engineering and Computer Science, Czestochowa University of Technology, 69 Dąbrowskiego Str., 42-201 Częstochowa, Poland

Bibliografia

• [1] B. Chalmers, Principles of solidification, New York 1964.
• [2] W. Kurz, D.J. Fisher, Fundamentals of solidification, Switzerland 1998.
• [3] S. Chakraborty, P. Dutta, Int J Numer Meth Fl. 38, 895-917 (2002).
• [4] L. Sowa, A. Bokota, Arch Metall Mater. 57(4), 1163-1169 (2012).
• [5] L. Sowa, Archives of Mechanical Technology and Automation 32(1), 55-63 (2012).
• [6] T. Telejko, Z. Malinowski, M. Rywotycki, Arch Metall Mater. 54(3), 837-844 (2009).
• [7] A. Burbelko, J. Falkus, W. Kapturkiewicz, K. Sołek, P. Drożdż, M. Wróbel, Arch Metall Mater. 57(1), 379-384 (2012).
• [8] W. Piekarska, M. Kubiak, J Therm Anal Calorim. 110(1), 159-166 (2012).
• [9] W. Piekarska, M. Kubiak, Appl Math Model. 37, 2051-2062 (2013).
• [10] W. Piekarska, M. Kubiak, Saternus Z., Arch Metall Mater. 57(4), 1219-1227 (2012).
• [11] J. Szekely, P.S. Chhabra, Metall Trans B. 1B, 1195-1203 (1970).
• [12] F.M. Chiesa, R.I.L. Guthrie, J Heat Trans-T ASME 95, 377-390 (1974).
• [13] C. Gau, R. Viskanta, J Heat Trans-T ASME 108, 174-181 (1986).
• [14] F. Wolff, R. Viskanta, Exp Heat Transfer 1, 17-30 (1987).
• [15] B.W. Webb, R. Viskanta, Numer Heat Transfer 5, 539-558 (1986).
• [16] Y. Chen, Y.-T. Im, J. Yoo, J Mater Process Tech. 52(2-4), 592-609 (1995).
• [17] M. Giangi, F. Stella, Int J Comput Fluid D. 11(3-4), 341-349 (1999).
• [18] G. Kosec, B.Šarler, Mater Sci Forum 649, 205-210 (2010).
• [19] X. Wang, Y. Fautrelle, Int J Heat Mass Tran. 52(23-24), 5624-5633 (2009).
• [20] W. J. Boettinger, J. A. Warren, C. Beckermann, A. Karma, Ann Rev Mater Res. 32, 163-194 (2002).
• [21] A. Karma, W.J. Rappel, Phys Rev E 57, 4323-4349 (1998).
• [22] D.M. Anderson, G.B. McFadden, A.A. Wheeler, Physica D 135, 175-194 (2000).
• [23] D. Gurgul, A. Burbelko, Arch Metall Mater. 55(1), 53-60 (2010).
• [24] D. Adalsteinsson, J. A. Sethian, J Comput Phys. 118, 269-277 (1995).
• [25] T. Barth, J. Sethian, J Comput Phys. 145, 1-40 (1998).
• [26] S. Osher, J. A. Sethian, J Comput Phys. 79, 12-49 (1988).
• [27] D. Peng, B. Merriman, S. Osher, H. Zhao, J Comput Phys. 155, 410-438 (1999).
• [28] M. Sussman, E. Fatemi, J Sci Comput 20, 1165-1191 (1999).
• [29] S. Chen, B. Merriman, S. Osher, P. Smereka, J Comput Phys. 135, 8-29 (1997).
• [30] J. Chessa, P. Smolinski, T. Belytschko, Int J Numer Meth Eng. 53, 1959-1977 (2002).
• [31] G. Bell, Int J Heat Mass Tran. 21, 1357-1362 (1986).
• [32] G. Comini, S. D. Guidice, R. W. Lewis, O. C. Zienkiewicz, Int J Numer Meth Eng. 8, 613-624 (1974).
• [33] D. Rolph III, K.J. Bathe, Int J Numer Meth Eng. 18, 119-134 (1982).
• [34] A.J. Chorin, Math Comput. 22, 746-762 (1968).
• [35] T. Skrzypczak, E. Węgrzyn-Skrzypczak, Int J Heat Mass Tran. 55, 4276-4284 (2012).
• [36] T. Skrzypczak, Arch Metall Mater. 57(4), 1189-1199 (2012).
• [37] B. Mochnacki, J.S. Suchy, Modelowanie i symulacja krzepnięcia odlewów, Warszawa 1993.
• [38] J.A. Cahill, A.D. Kirshenbaum, J Phys Chem-US 66, 1080-1082 (1962).

Uwagi

PL

Opracowanie ze środków MNiSW w ramach umowy 812/P-DUN/2016 na działalność upowszechniającą naukę.