A Comparison of Iterative Methods of the Cubic Rate Convergence in the Problem of Transformation between Cartesian and Geodetic Coordinates

• Autorzy: Bajorek M. , Kulczycki M. , Ligas M.

Identyfikatory

DOI

10.7494/geom.2014.8.2.15

Warianty tytułu

PL

Porównanie metod iteracyjnych o zbieżności kubicznej w transformacji współrzędnych kartezjańskich na geodezyjne

• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

The problem of transformation between Cartesian and geodetic (ellipsoidal) coordinates occurs often in day-to-day geodetic practice. Thus, from years it attracts interest of many scientists and practitioners. Despite the fact that many algorithms of the conversion exist to this day one may still observe new methods and approaches to the problem. In this work a comparison as to the efficiency of iterative methods of the cubic rate convergence to the solution of "latitude equation" in three representations has been presented. Two of them are polynomial representations (quartic equations) and one is in the form of an irrational equation. A comparison has been performed on two ellipsoidal height intervals: from -10 km to 10 km, from 10 km to 36 000 km and from 0° to 90° for the latitude.

PL

Problem transformacji między współrzędnymi kartezjańskim i współrzędnymi geodezyjnymi (elipsoidalnymi) pojawia się często w praktyce geodezyjnej, dlatego od lat stanowi przedmiot zainteresowania wielu naukowców oraz praktyków. Mimo że znanych jest wiele algorytmów przeliczania współrzędnych, ciągle pojawiają się nowe metody i sposoby. W artykule przedstawiono porównanie efektywności metod iteracyjnych o zbieżności sześciennej oraz „równania szerokości" w trzech reprezentacjach. Dwie z nich to reprezentacje wielomianowe (równania czwartego stopnia), a jedna to reprezentacja w formie równania niewymiernego. Porównanie przeprowadzono dla dwóch przedziałów wysokości elipsoidalnej: od -10 km do 10 km oraz od 10 km do 36 000 km, a także dla przedziału szerokości geodezyjnej od 0° do 90°.

Słowa kluczowe

EN

Cartesian coordinates; geodetic coordinates; quartic equation; iterative methods

PL

współrzędne kartezjańskie; współrzędne geodezyjne; równanie czwartego stopnia; metody iteracyjne

• Wydawca: AGH University of Science and Technology Press
• Czasopismo: Geomatics and Environmental Engineering
• Rocznik: 2014
• Tom: Vol. 8, no. 2
• Strony: 15--25
• Opis fizyczny: Bibliogr. 18 poz., tab.

Twórcy

autor

Bajorek M.

• AGH University of Science and Technology, Faculty of Mining Surveying and Environmental Engineering, Department of Geomatics, Kraków, Poland

autor

Kulczycki M.

• AGH University of Science and Technology, Faculty of Mining Surveying and Environmental Engineering, Department of Geomatics, Kraków, Poland

autor

Ligas M.

• AGH University of Science and Technology, Faculty of Mining Surveying and Environmental Engineering, Department of Geomatics, Kraków, Poland

Bibliografia

• [1] Borkowski K.: Transformation of geocentric to geodetic coordinates without approximation. Astrophysics and Space Science, vol. 139,1987, pp. 1-4.
• [2] Bowring B.R.: Transformation from spatial to geographical coordinates. Survey Review, vol. 23,1976, pp. 323-327.
• [3] Fukushima T.: Fast transform from geocentric to geodetic coordinates. Journal of Geodesy, vol. 73(11), 1999, pp. 603-610.
• [4] Fukushima T.: Transformation from Cartesian to geodetic coordinates accelerated by Halley´s method. Journal of Geodesy, vol. 79(12), 2006, pp. 689-693.
• [5] Gonzalez-Vega L., Polo-Blanco I.: A symbolic analysis of Vermeille and Borkowski polynomials for transforming 3D artesian to geodetic coordinates. Journal of Geodesy, vol. 83(11), 2009, pp. 1071-1081.
• [6] Gutierrez J.M., Hernandez M.A.: An acceleration of Newton´s method: Super-Halley method. Applied Mathematics and Computation, vol. 117(2-3), 2001, pp. 223-239.
• [7] Hedgley D.R., Edwards Flight Research Center (Calif): An exact transformation from geocentric to geodetic coordinates for nonzero altitudes. NASA Technical Report 458, United States National Aeronautics and Space Administration, Washington 1976
• [8] Heiskanen W.A., Moritz H.: Physical Geodesy. W.H. Freeman and Company, San Francisco 1967.
• [9] Hobson E.W.: A treatise on plane trigonometry. Cambridge at the UniversityPress 1918.
• [10] Kincaid D., Cheney W.: Numerical Analysis. Brooks / Cole Publishing Company, Pacific Grove, California, 1991.
• [11] Kou J.: Some variants of Cauchy´s method with accelerated fourth-order convergence. Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 213(1), 2008, pp. 71-78.
• [12] Ligas M.: Various parameterizations of "latitude" equation - Cartesian to geodetic coordinates transformation. Journal of Geodetic Science, vol. 3(2), 2013, pp. 87-94.
• [13] Lin K.C., Wang J.: Transformation from geocentric to geodetic coordinates using Newton´s iteration. Bulletin Geodesique, vol. 69,1995, pp. 300-303.
• [14] Moritz H.: Geodetic Reference System 1980. Bulletin Geodesique, vol. 54, 1980, pp. 395-405.
• [15] Sommerville D.M.Y.: Analytical conics. G. Bell and sons, London 1961.
• [16] Wang H.: On new third-order convergent iteratwe formulas. Numerical Algorithms, vol. 48(4), 2008, pp. 317-325.
• [17] Zaguskin W.L.: Przegląd metod numerycznych rozwiązywania równań. PWN, Warszawa 1965.
• [18] Vermeille H.: Direct transformation from geocentric coordinates to geodetic coordinates. Journal of Geodesy, vol. 76(8), 2002, pp. 451-454.