Quantum mechanical scalar particle with polarisability in the Coulomb field, analytical and numerical consideration

• Autorzy: Chychuryn A. , Red’kov V.
• Języki publikacji: EN

Abstrakty

EN

In the article the quantum-mechanical problem of a charged particle with additional characteristic, polarisability, in presence of external Coulomb field is investigated. After separation of the variables the problem is reduced to the Heun type differential equation with four singular points. There are found parameter restrictions when a general solution can be given in a simple analytical form. In the case of zero polarisability, exact analytical solutions can be constructed in hypergeometric functions, their visualization is given. In the case of non-zero polarisability, with the help of numerical methods and functional object DifferentialRoot there are constructed approximate solutions describing quantum-mechanical bound states, their visualization is given. In the paper, applying numerical and analytical methods, and performing visualization of the results, we use the Mathematica 9.

PL

W artykule zbadano problem kwantowo-mechaniczny z naładowaną cząstką i dodatkową charakterystyką polaryzowalności w obecności zewnętrznego pola Coulomba. Po rozdzieleniu zmiennych problem sprowadza się do równania różniczkowego typu Heunego, które ma cztery punkty osobliwe. Znaleziono ograniczenia parametrów, gdy rozwiązanie ogólne zostaje podane w prostej postaci analitycznej. W przypadku zerowej polaryzowalności dokładne rozwiązanie analityczne może być przedstawione w funkcjach hipergeometrycznych (przedstawiono ich wizualizację). W przypadku niezerowej polaryzowalności za pomocą metod numerycznych i funkcjonalnego obiektu DifferentialRoot sporządzono rozwiązania przybliżone, które opisują stany związane z mechaniką kwantową (przedstawiono ich wizualizację). Przy stosowaniu metod numerycznych i analitycznych oraz przy wykonaniu wizualizacji rezultatów użyto programu Mathematica 9.

Słowa kluczowe

EN

quantum mechanics; Coulomb field; polarisability; analytical solutions; Heun equation; numerical methods; visualization

PL

mechanika kwantowa; pola Coulomba; polaryzowalność; rozwiązania analityczne; równanie Heunego; metody numeryczne; wizualizacja

• Wydawca: Oficyna Wydawnicza Europejskiej Uczelni
• Czasopismo: Studia i Materiały / Europejska Uczelnia Informatyczno-Ekonomiczna w Warszawie
• Rocznik: 2013
• Tom: Nr 2(6)
• Strony: 73--89
• Opis fizyczny: Bibliogr. 21 poz., wykr.

Twórcy

autor

Chychuryn A.

• Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Pawła II, ul. Konstantynów 1H, 20-708 Lublin
• Europejska Wyższa Szkoła Informatyczno-Ekonomiczna w Warszawie, ul. Białostocka 22, 03-741 Warszawa

autor

Red’kov V.

• B.I. Stepanov Institute of Physics, NAS of Belarus Prospekt Nezavisimosti 68, 220072 Minsk, Belarus

Bibliografia

• [1] Birkhoff G., Rota G. C., Ordinary differential Equations, John Wiley & Sons, New York, 1969.
• [2] Bogush A. A., Krylov G. G., Ovsiyuk E. M., Red’kov V. M., Maxwell equations in complex form of Majorana-Oppenheimer, solutions with cylindric symmetry in Riemann and Lobachevsky spaces, “Ricerche di matematica”, Vol. 59, No. 1, 2010, p. 59-96.
• [3] Heun K., Zur Theorie der Riemann’schen Functionen zweiter Ordnung mit vier Verzweigungspunkten, “Math. Ann.“, Vol. 33, 1889, p. 161-179.
• [4] Heun’s differential equation, ed. A. Ronveaux, F. Arscott, Oxford University Press, Oxford 1995.
• [5] http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/DifferentialRoot.html
• [6] http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/NDSolve.html
• [7] Kisel V. V., Ovsiyuk E. M., Red’kov V. M., On the wave functions and energy spectrum for a spin 1 particle in external Coulomb field, “NPCS”, Vol. 13, No. 4, 2010, p. 352-367.
• [8] Kisel V., Ovsiyuk E., Krylov G., Amirfachrian M. and Red’kov V., Wave functions of a particle with polarizability in the Coulomb potential, “Nonlinear Dynamics and Applications”, Vol. 18, Minsk 2011, p. 168-179.
• [9] Otchik V. S., Red’kov V. M., Quantum mechanical Kepler problem in spaces of constant curvature, Preprint of the Institute of Physics, National Academy of Sciences of Belarus, Minsk, 1986, preprint No. 298.
• [10] Ovsiyuk E. M., On solutions of Maxwell equations in the space-time of Schwarzschild black hole, “NPCS”, Vol. 15, No. 1, 2012, p. 81-91.
• [11] Ovsiyuk E. M., Quantum Kepler problem for spin 1/2 particle in spaces of constant curvature. I. Pauli theory, “NPCS”, Vol. 14, No. 1, 2011, p. 14-26.
• [12] Ovsiyuk E. M., Veko O. V., Kisel V. V., Red’kov V. M., New problems of quantum mechanics and the Heun equation, ”Nauchno-technicheskie vedomosti”, Saint Petersburg State Polytechnic University, ser. fiz.-mat., No. 1 (141), 2012, p. 137-145 (in Russian).
• [13] Ovsiyuk E. M., Veko O. V., Red’kov V. M., On simulating a medium with special reflecting properties by Lobachevsky geometry, “NPCS.”, Vol. 16, No. 4, 2013, pp. 331-344.
• [14] Ovsiyuk E., Florea O., Chichurin A., Red’kov V. Electromagnetic Field in Schwarzschild Black Hole Background. Analytical Treatment and Numerical Simulation, “Computer Algebra Systems in Teaching and Research”, Vol. IV, No. 1, 2013, p. 204-214.
• [15] Ovsiyuk E., Veko O., Amirfakchrian M., On Schrodinger equation with potential and the bi-confluent Heun functions theory, “NPCS”, Vol. 15, No. 2, 2012, p. 163-170.
• [16] Red’kov V., Chichurin A., A Symbolic-Numerical Method for Solving the Differential Equation Describing the States of Polarizable Particle in Coulomb Potential, “Programming and Computer Software”, No. 2, 2014, pp. 86-92.
• [17] Red’kov V. M., Ovsiyuk E. M., Quantum Mechanics in Spaces of Constant Curvature, Nova Science Publishers, Inc., New York 2012.
• [18] Red’kov V. M., Ovsiyuk E. M., Veko O. V., Spin 1/2 particle in the field of the Dirac string on the background of de Sitter space-time, “Uzhhorod University Scientific Herald, Ser. Physics”, No. 32, 2012, p. 131-140.
• [19] Shahverdyan T. A., Mogilevtsev D. S., Ishkhanyan A. M., Red’kov V. M., Completereturn spectrum for a generalized Rosen-Zener two-state term-crossing model, ”NPCS”, Vol. 16, No. 1, 2013, p. 86-92.
• [20] Slavyanov S. Ju., Lay W., Special functions. A unified theory based on singularities, Oxford 2000, 154 p.
• [21] Zajcev V. F., Polyanin D. A., Handbook on the ordinary differential equations, Nauka, Moscow 2001.