Zastosowanie rachunku wariacyjnego do minimalizacji zniekształceń w odwzorowaniach kartograficznych

• Autorzy: Pędzich P. , Strychalska K.

Warianty tytułu

EN

Application of variational calculus to minimize map projection distortions

• Języki publikacji: PL

Abstrakty

PL

Minimalizacja zniekształceń odwzorowawczych jest podstawowym problemem kartografii matematycznej. Do opracowania map danego obszaru dobiera się takie odwzorowania, które mają niewielkie zniekształcenia odwzorowawcze w kartowanym obszarze. Często też dobiera się odwzorowania w zależności od celu jakiemu służy dana mapa, np. w geodezji stosuje się odwzorowania równokątne, ponieważ wykonuje się pomiary kątowe, w statystyce do prezentacji danych stosuje się odwzorowania równopolowe, ponieważ dane odniesione są do pól powierzchni. Przyjęcie kryterium zachowania bez zniekształceń jednej wielkości (np. kątów, pól powierzchni) powoduje znaczne zniekształcenia innego typu. Przykładowo odwzorowania równopolowe posiadają znaczne zniekształcenia kątów, a odwzorowania równokątne znaczne zniekształcenia pól powierzchni. Dlatego też interesującym celem prac badawczych z zakresu kartografii matematycznej wydaje się poszukiwanie odwzorowań takich, które nie są ani równokątne ani równopolowe, lecz posiadają niewielkie zniekształcenia obu typów. Odwzorowania takie mogą znaleźć zastosowanie w opracowaniu map przeglądowych np. w systemach nawigacji samochodowej lub internetowych serwisach o charakterze lokalizacyjnym typu Google Maps. Powszechnie stosowane w tego typu systemach odwzorowanie Merkatora nie jest dobrym rozwiązaniem ponieważ daje fałszywy obraz rzeczywistości. Autorzy artykułu przedstawili możliwości zastosowania rachunku wariacyjnego do minimalizacji zniekształceń odwzorowawczych. Rachunek wariacyjny jest jedną z metod optymalizacji stosowaną w wielu badaniach naukowych, zajmuje się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych. Zastosowanie rachunku wariacyjnego pozwala na opracowanie odwzorowań kartograficznych, w których w równym stopniu minimalizuje się zniekształcenia kątów i pól powierzchni.

EN

Minimizing of distortions in map projections is a basic problem of mathematical cartography. In creation of a map of a given area map projections with minimal distortion are used. Often, the choice of map projection depends on the purpose of the map, for example for military purpose conformal projections are used, because the map is used for determining the direction of flight of artillery bullets, in calculating the property tax equal-area map projections are applied. Acceptance of one distortion criterion (e.g. conformal or equal-area) results in significant distortion of another type. For example, equal-area map projections have substantial distortion angles and conformal map projections have significant distortions of areas. Therefore, in mathematical cartography there are used map projections which are neither conformal nor equal-area i.e. unrestricted projections. Such map projections could be used in development of review maps e. g. in car navigation systems or location type web sites e.g. Google Maps. The authors describe application of variational calculus to minimize map distortions. The variational calculus is an optimization method used in many scientific studies, which deal with problems of determining one or more functions or a certain class of functions for which the integral reaches the extreme (highest or lowest value). The use of variational calculus allows development of cartographic mappings equally minimizing the distortion of angles and surface areas.

Słowa kluczowe

PL

odwzorowania kartograficzne; rachunek wariacyjny; minimalizacja zniekształceń odwzorowawczych

EN

map projections; variational calculus; minimization of map projection distortions

• Wydawca: Polskie Towarzystwo Informacji Przestrzennej
• Czasopismo: Roczniki Geomatyki
• Rocznik: 2014
• Tom: T. 12, z. 3(65)
• Strony: 303--316
• Opis fizyczny: Bibliogr. 19 poz., rys.

Twórcy

autor

Pędzich P.

• Politechnika Warszawska, Wydział Geodezji i Kartografii, Zakład Kartografii

autor

Strychalska K.

• Politechnika Warszawska, Wydział Geodezji i Kartografii, Zakład Kartografii

Bibliografia

• 1. Van Brunt B., 2004: The calculus of variations. Springer-Verlag New York.
• 2. Bugajewski L., Snyder J., 1995: Map projections – a reference manual. Taylor&Francis.
• 3. Bugajewski L., Warchiramiejewa L., Kazakowa Z., 1986: Matematyczeska kartografia, Niedra Moskwa.
• 4. Canters F., 2002: Small-scale map projection design, [In:] Fisher, P., Raper, J. (Eds.), Research Monographs in Geographic Information Systems. London and New York: Taylor & Francis.
• 5. Canters, F., 2007: Low-error map projections for pan-European equal-area mapping. Proceedings of the 23th International Cartographic Conference, August 4-10, Moscow, Russia, CD-ROM.
• 6. Fenna D., 2007: Cartographic science – a compedium of map projections with derivations. CRC Press.
• 7. Gajderowicz I., 2009: Odwzorowania kartograficzne. Podstawy. Wydawnictwo Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie.
• 8. Gdowski B., 1967: Kryterium Airy i Fioriniego oraz ich uogólnienia w zastosowaniu do klasy normalnych odwzorowań azymutalnych. Geodezja i Kartografia rocznik XVI, nr 4.
• 9. Grafarend E., Krumm F., 2006: Map Projections – Cartographic information systems. Springer.
• 10. Grzymkowski R., Pochciał J., 2009: Elementy rachunku wariacyjnego. Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jana Skalmierskiego, Gliwice.
• 11. Latuszek K., 2013: Zastosowanie metody optymalizacji nieliniowej Neldera-Meada do konstrukcji odwzorowań kartograficznych o możliwie najlepszym rozkładzie zniekształceń odwzorowawczych – na przykładzie odwzorowania azymutalnego. Roczniki Geomatyki t. 11, z. 5(62): 75-85, PTIP Warszawa.
• 12. Łodygowski T., Kąkol W., 2003: Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach inżynierskich. http://www.ikb.poznan.pl/almamater/biblioteka/podreczniki_akademicki/tl-wk_metoda_elementow_skonczonych/
• 13. Miller O., 1953: A new conformal projection for Europe and Asia [sic! powinno być Afryka], Geographical Review vol. 43: 405-409.
• 14. McQuarrie D., 2006: Matematyka dla przyrodników i inżynierów. Wydawnictwo Naukowe PWN.
• 15. Panasiuk J., Balcerzak J., U. Pokrowska, 1995: Wybrane zagadnienia z podstaw teorii odwzorowań kartograficznych. Oficyna Wydawnicza Politechnika Warszawska, Warszawa.
• 16. Pędzich P., 2002: Opracowanie odwzorowania kartograficznego o optymalnym rozkładzie zniekształceń według kryterium Czebyszewa dla ograniczonego obszaru powierzchni elipsoidy. Rozprawa doktorska, Politechnika Warszawska, Warszawa.
• 17. Pędzich P., 2008: Wybrane aspekty konstruowania odwzorowań kartograficznych o możliwie najmniejszych zniekształceniach odwzorowawczych. Roczniki Geomatyki t. 6, z. 4: 89-101, PTIP Warszawa.
• 18. Scheid F., 1989: Shaum’s outline of theory and problems of numerical analysis. McGraw-Hill Companies.
• 19. Snyder J.P., 1987: Map projections – a working manual. United States Government Printing Office, Washington.